1、听课随笔第十一课时 函数的奇偶性（2）【学习导航】 学习要求 1熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题【精典范例】一函数的单调性和奇偶性结合性质推导：例 1：已知 y=f(x)是奇函数，它在(0，+)上是增函数，且 f(x)x 20因为 y=f(x)在(0，+上是增函数，且 f(x)f(x1)0于是 F(x1) F(x 2)= )(f)(2f所以 F(x)= 在(，0)上是减函数。)xf【证明】设 ，则 ， 在 上是增函数，120120()fx0,) ， 是奇函数，()()ff ， ，x2xf ， ， 在 上也是增函数12ff
2、1()f()f,说明：一般情况下，若要证 在区间 上单调，就在区间 上设 fxAA12x二利用函数奇偶性求函数解析式：例 2：已知 是定义域为 的奇函数，当 x0 时，f (x)=x|x2|，求 x0 且满足表达式 f(x)=x|x2|所以 f(x)= x|x2|=x|x+2|又 f(x)是奇函数，有 f(x)= f(x)所以f(x)= x|x+2|所以 f(x)=x|x+2|故当 x)(xf0，求实数 m 的取值范围解：因为 f(m1)+f(2m1)0所以 f(m1) f(2m1)因为 f(x)在(2，2)上奇函数且为减函数所以 f(m1)f(12m)所以12m所以 f(a2a+1)D与 a
3、 的取值无关2. 定义在 上的奇函数 ，则常数 ， 1,21xmfnn；3. 函数 是定义在 上的奇函数，且为增函数，若 ，fx()()1， faf()()102求实数 a 的范围。解： 定义域是f()()，12a即00或2a又 ffa()()12是奇函数fx()affa()()1122在 上是增函数fx()，2即 a0解之得 1故 a 的取值范围是 01a思维点拔：一、函数奇偶性与函数单调性关系若函数 是偶函数，则该函数在关于对称的区间上的单调性是相反的，()yfx且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数；若函数 是奇函数，则该函数在关()yfx于对称区间上的点调性是相同的追踪训练1已知 是
4、偶函数，其图象与 轴共有四个交点，则方程 的所有实数解()yfxx()0f的和是 （C）4 2 0 不能确定()AB()D2. 定义在( ，+) 上的函数满足 f(x )=f(x)且 f(x)在(0，+)上，则不等式 f(a)bC.|a|b03. 是奇函数，它在区间 （其中 ）上为增函数，则它在区间fx()mn， 0n上（D）nm，A. 是减函数且有最大值 f()B. 是减函数且有最小值C. 是增函数且有最小值D. 是增函数且有最大值 fm()4 已知函数 ax7+6x5+cx3+dx+8，且 f(5)= 15，则 f(5)= 31 5定义在实数集上的函数 f(x)，对任意 ，有xyR， 且 。fxyff()()2)0（1）求证 ；（2）求证： 是偶函数。01f(解（1）令 ，则有 2ff()()，（2）令 ，则有x0fyffyf()()()202这说明 是偶函数fyf()x【师生互动】学生质疑教师释疑听课随笔
