1、学科：数学教学内容：平行四边形的识别 学习目标 1掌握平行四边形识别的四种方法2能综合运用平行四边形的性质和识别的方法去解决一些实际问题学法指导1平行四边形的定义是识别平行四边形的最基本的方法，要把它和四种识别方法加在一起灵活地运用2通过定理的证明，使我们逐步学习分别从题设或结论出发，运用综合法和分析法寻找几何证明思路3判断一个命题是否正确，可采用反例法，即举出一个符合题设，但不符合结论的例子基础知识讲解平行四边形的识别方法1两组对角分别相等的四边形是平行四边形2两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3对角线互相平分的四边形是平行四边形4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形5除以上四种识别方
2、法外，还有一种最基本的识别方法，即两组对边分别平行的四边形为平行四边形，这种方法也叫定义法重点难点重点：利用平行四边形的识别方法来判断一个四边形是否是平行四边形难点：五种识别方法的选择是本章的难点，综合应用平行四边形的性质和识别方法来解决实际问题也是本章的难点易错误区分析1利用本节内容解题时常犯“错用识别方法”的错误例如：已知如图 12-1-19，所示 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，OE 上 AD 于E，OFBC 于 F求证：四边形 AECF 是平行四边形错证：在AOE 和COF 中OEAD，OFBC AEO=CFO=90四边形 ABCD 为平行四边形OAOC，ADBC EAC
3、ACFAOECOF（AAS） OF=OE四边形 AECF 是平行四边形错误分析：上面证明由 OFOE，OA=OC 不能说明 EF 与 AC 互相平分，因为原题设中没有说明 E、O、F 三点共线，因此先证 E、O、F 三点共线正确证：在AOE 和COF 中OEAD OFBC AEOCFO90四边形 ABCD 为平行四边形OAOC，ADBC EAC=ACFAOECOF（AAS） OFOE又ADBC，OEAD，OFBCE、O、F 三点共线四边形 AECF 是平行四边形例如：判断命题“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”是否正确错解：这个命题正确分析：错解的原因主要是与一组对边平行且相等
4、的识别方法相混淆正确解法：这个命题不正确，例如：如图 12-1-20，作一个 ABCD（其中A 是锐角）以 C 为圆心，以 CB 为半径画弧交 AB 的延长线于点 E，连结 CE，则有 CDAE，ADCE，显然四边形 AECD 虽满足命题的条件，但它不是平形四边形典型例题例 1已知如图 12-1-21 所示，在 ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两点，且AE=CF，M、N 是 AB、CD 上的点，且 BMDN.求证：四边形 MENF 是平行四边形分析：由平行四边形的识别方法按照已知条件应从边入手，由已知及平行四边形可知AMECNF，则有 MENF，同理AMFCNE，则有 MFNE证明：
5、在 ABCD 中，AB CD 12又BMDN AM=CN 且 AE=CF AMECNF（SAS）MEFN 同理可证AMFCNE MFNE四边形 MENF 是平行四边形例 2如图 12-1-22 所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有 45角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F，E，D 共线解：取 AC、BC 的中点 E、D 连结 ED，则沿 ED 切割下来，如图使点 E 不变，点 C 与点A 重合，再焊接上去最简单证明：在 RtABC 中 ACBC
6、B=45又E、D 分别为 AC、BC 的中点ECDC CEDCDE45AEFCED45 AEF+AED=CED+AED180F、E、D 在一条直线上 EAFC90 AFCD又AFCDDB 四边形 AFDB 是平行四边形，且B45例 3如图 12-1-23，在 ABCD 的对角线上取两点 E、F，且 BFDE，请至少用两种不同的方法证明四边形 AECF 是平行四边形，并指出哪种方法最简便分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分证明方法（一）在ABF 和CDE 中，ABCD，BFDE，ABFCDEABFCDE AFCE同理可证 AECF，故四边形 AECF 是平行四边形方法（二）连 AC
7、交 BD 于 O在 ABCD 中，OAOC，OBODBFDE OE=OF 四边形 AECF 为平行四边形例 4如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么？分析：这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行解：如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形，当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平行如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘
8、就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形例 5如图 12-1-24，在四边形 ABCD 中，ADBC，AD24cm，AB8cm，动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm秒的速度运动，动点 Q 从 C 点开始沿 CB 边以 3cm秒的速度运动，P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒，t 为何值时四边形 PQCD 为平行四边形分析：要使四边形 PQCD 为平行四边形，因为 PDQC，只要满足 PD=QC 即可解：ADBC 只要 PDQC 时，四边形 PQCD 就是平行四边形此时有 24-t3t解得 t6 当
9、t6 时，四边形 PQCD 为平行四边形创新思维例 1如图 12-1-25，ABC 是边长为 a 的等边三角形，P 是ABC 内的任意一点，过点 P 作 EFAB 交 AC，BC 于点 E、F，作 GHBC 交 AB，AC 于点 G、H，作 MNAC 交 AB、BC于 M、N，请你猜想 EF+GH+MN 的值是多少？其值是否随 P 位置的改变而变化，并证明你的结论分析：把线段 EF、MN、GH 通过平行四边形或等边三角形，利用相等的线段转移到同一条边 AB 上解：EF+GH+MN2a，EF+GH+MN 的值不随 P 的位置改变而变化证明：ABC 是等边三角形 ABC60GHBC AGHB60，
10、AHGC60AGH 是等边三角形GH=AG=AM+MC（l）同理可证：BMN 是等边三角形 MNMBMG+GB（2）MNAC，EFAB四边形 AMPE 是平行四边形 PEAM同理可证四边形 BFPG 是平行四边形 PFGBEFPE+PFAM+GB（3）（l）+（2）+（3）得EF+GH+MNAM+GB+MG+GB+AM+MG2（AM+MG+GB）2AB2a例 2已知如图 12-1-26 所示，ABC 中，AB9，AC10，试求 BC 边上中线 AD 的取值范围分析：求线段的取值范围只有把已知线段和所求线段平移到一个三角形中，由三角形的三边关系来确定线段的取值范围，由题意可知：根据已知三角形 A
11、BC 求作一个平行四边形即可求得解：如图所示延长 AD 至 E，使 ADDE，连结 BE、CEADDE BDDC四边形 ABEC 为平行四边形 ACBE=10在ABE 中，AB9，BE1010-9AE1O+9，即 1AE190.5AD95例 3如图 12-1-27，在 ABCD 中 MNAC 且交 DA 延长线于 M，交 DC 延长线于 N，交AB 于 P，交 BC 于 Q（1）请指出图中平行四边形的个数（2）图中 MP 与 NQ 能相等吗？为什么？分析：由 ADBC 可得 AMQC 同理可得 PANC解：（1）有 3 个平行四边形即 AMQC， APNC， ABCD（2）MP 与 NQ 能相
12、等因为 MQAC PNAC 所以 MQPN因为 MPMQ-PQ QNPN-PQ所以 MPNQ中考练兵1不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件是（ ）AABCD，ADBC BABCD，ABCDCABCD，ADBC DABCD，ADBC解：由平行四边形的识别方法可得 A、B、D都能判定四边形 ABCD 是平行四边形，因为有一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平形四边形，所以选 C2已知四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于点 0，如果只给出条件“ABCD” ，那么还不能判定四边形 ABCD 为平行四边形，给出以下 4 种说法，其中说法正确的是（ ）如果再加上条件“BCAD”那么四
13、边形 ABCD 一定是平行四边形如果再加上条件“BADBCD” ，则四边形 ABCD 一定是平行四边形如果再加上条件“AOCO”那么四边形 ABCD 一定是平行四边形如果再加上条件“DBA=CA B” ，则四边形 ABCD 一定是平行四边形A和 B和C和 D和分析：关于由 ABCD 知ABDCDB，如果用 ADBC 及 DBBD 一般地不能得到ABDCDB 或ACBCAD关于由 ABDC 知ABDCDB，如果BADBCD，再用 BDDB 可得ABDCDB，于是 ABDC，进而 AB DC关于由 ABCD 知OAB OCD，OBAODC，若AOOC 则AOBCOD 于是 ABDC，即 AB DC
14、，故可得 ABCD关于由DBA=CAB知 OAOB，又 ABCD 知DBA=BDC，同理也会有 OCOD 且 OA 不一定等于 OC，如图 12-1-28 所示就是一个反例解：综合上述知正确，故选 C随堂演练一、填空题1过 ABCD 的顶点 A、C 分别作对角线 BD 的垂直线，垂足为 E、F，则四边形 AECF 是 .2延长ABC 的中线 AD 到 E，使 DEAD 则四边形 ABEC 是 四边形3在四边形 ABCD 中A50欲使四边形为平行四边形，则B= ，C ，D .4在四边形中，任意相邻两个内角互补，则这个四边形是 四边形5如图 12-1-29，在 ABCD 中，E、F 为 AB、CD
15、 的中点，连结 DE、EF、BF 则图中共有个平行四边形6在 ABCD 中连结 BD 作 AEBD，CFBD，垂足分别为 E、F，连结 CE、AF，点 P、Q在线段 BD 上，且 BPDQ，连结 AP、CP、AQ、CQ，MN 分别交 AB、CD 于 M、N 连结AM、CM、NA、NC，那么图中平行四边形（除 ABCD 外）有 个，它们是 .二、选择题1能判断四边形是平行四边形的条件是（ ）A一组对边平行，另一组对边相等B一组对边平行，一组对角相等C一组对边平行，一组邻角互补D一组对边相等，一组邻角相等2能确定平行四边形的大小和形状的条件是（ ）A已知平行四边形的两邻边B已知平行四边形的两邻角C
16、已知平形四边形的两对角线D已知平行四边形的两边及夹角3平行四边形一边为 32，则它的两条对角线长不可能为（ ）A20 和 18 B40 和 50C60 和 30 D32 和 504如图 12-1-30 所示，已知 ABCD 的对角线的交点是 O，直线 EF 过 O 点且平行于BC，直线 GH 过 O 且平行 AB，则图中有（ ）个平行四边形A5 个 B6 个 C7 个 D10 个5能判定四边形为平行四边形的是（ ）A一组对角相等 B两条对角线互相垂直C两条对角线互相平分 D一对邻角互补6以下结论正确的是（ ）A对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形B一边长为 5，两条对角线分别是 4
17、 和 6 的四边形是平行四边形C一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形D对角线相等的四边形是平行四边形7在 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、AD 上，如果点 E，F 分别由下列各种情况得到的，那么四边形 AECF 不一定是平行四边形的是（ ）AAE、CF 分别平分DAB、BCDBAE，CF 使BEACFDCE、F 分别是 BC、AD 的中点DBE BC，AF AD5328 ABCD 对角线交点为 O，OBC 的周长为 59cm，且 AD28cm，两对角线之差为14cm，则对角线长为（ ）A12cm 和 9cm B24cm 和 38cmC85cm 和 225cm D155cm
18、 和 295cm三、解答题1如图 12-1-31 所示，在 ABCD 中，AE 平分BAD，CF 平分BCD，四边形 AECF 是平行四边形吗？2如图 12-1-32 所示，四边形 ABCD 中BD，12，则四边形 ABCD 是平行四边形吗？为什么？3如图 12-1-33 所示，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 分别是OD、OB 上一点，若ECDFAB，ECAF，则四边形 AECF 是平行四边形吗？为什么？4如图 12-1-34 所示，四边形 ABCD 中 AB=CD，DBC90，FDAD 于 D，求证四边形 ABCD 是平行四边形5如图 12-1-35 所示，AB
19、C 中 DE 在 BC 边上，N、M 在 AB、AC 上，且 EN 与 DM 互相平分，MDAB，NEAC 求证：BDDECE参考答案一、填空题1平行四边形 点拨：由一组对边平行且相等，即可判断2平行四边形3130，50，1304平行四边形 点拨：由题意可得两组对边分别平行54 个 点拨： ABCD， ADFE， EFCB， EDFB63 个 AECF， APCQ， AMCN二、选择题1B 2D 3A 4D 5C 6C 7B 8B三、解答题1解：四边形 AECF 是平行四边形点拨：由 ABCD 知BCDBAD，又 AE 平分BAD，CF 平分BCD，故EAFECF，又AFEC，故AEC+EAF
20、18O，即AEC+ECF18O，所以AECF，故四边形 AECF 是平行四边形2解：四边形 ABCD 是平行四边形由12 得 DCAB，所以D+DAB18O，又BD，所以DAB+B180，所以 ADBC，即四边形 ABCD 为平行四边形3解：是平行四边形点拨：ABCD，故ACDCAB，又ECDFAB，故ACD-ECDCAB-FAB，即ACECAF，所以 CE=AF，CEAF，故 AFCE 是平行四边形4证明：BDAD BDA=90DBC90，DCAB，DBDBADBCBD ADBC四边形 ABCD 是平行四边形5证明：NE，MD 互相平分四边形 MNDE 为平行四边形 MN DE又MDAB，NEAC 四边形 MNBD、MNEC 为平行四边形MNBD，MNCE BD=DECE
