1、2.1.2 指数函数及其性质课外拓展复合函数的概念及其性质一、复合函数的概念函数 y=f（ u)的定义域为集合 B，函数 u=g（ x)的定义域为集合 A，值域为集合 D.如果DB，那么对于 A 中每个 x 值，通过中间变量 u， y 都有唯一的值与之对应.这样， y 是 x 的函数，记作 y=f（ g（ x).这个函数是由 y=f（ u)， u=g（ x)复合而成的函数，我们把它叫做复合函数，其中 y=f（ u)叫做外层函数， u=g（ x)叫做内层函数.例如，函数 是由函数 ， +2x+1 复合而成的.其中，（ ） =32+2+1 （ ） =3 （ ） =2是外层函数， +2x+1 是内层
2、函数.（ ） =3 （ ） =2注意：1.复合函数 y=f（ g（ x)的第二种表示法是 y=f（ u)， u=g（ x)；2.复合函数 y=f（ g（ x)的定义域是使 y=f（ u)和 u=g（ x)同时都有意义的 x 值组成的集合；3.在复合函数 y=f（ g（ x)中，外层函数的定义域就是内层函数的值域,因为外层函数y=f（ u)中 u 的取值不仅要使 y=f（ u)有意义，而且必须是内层函数 u=g（ x)的函数值.二、复合函数的定义域例 1 已知函数 f（ x)的定义域为（1，2 ，求函数 y=f（ x+1)的定义域.分析：由已知函数的定义域，求复合函数的定义域，只需将所求式中括号
3、内的式子看成已知式中的 x，再解不等式，求其定义域.解：由 11.80 0.83.20.83.2点评：中间量法是指利用性质不易比较时，运用 0，1 等中间量进行比较，从而使问题获解.三、分类讨论法例 3 比较 与 （ a0，且 a1)的大小.22+1 2+2分析：解答此题既要讨论幂指数 +1 与 +2 的大小关系，又要讨论底数 a 与 1 的大小关22 2系.解：（1)令 +2，得 x1 或 x2当 a1 时，若 +2，从而有 ；22+12 22+12+2当 01 时，若 +2，从而有 ；22+12+2点评：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及指数函数问题时，通常将底数与 1 的大小关系作为分类标准.四、比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若 A-B0AB,A-B1 或 0，试比较 与 的大小.解： 00， 0. = . ()又 00， = 1. ()又 c0， 1，即 .()
