1、- 1 -第 二 节 命 题 及 其 关 系 、 充 分 条 件 与 必 要 条 件 1.理解命题的概念2了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解充分条件、必要条件与充要条件的含义知识点一 命题及四种命题 1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以_的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做_，判断为假的语句叫做_2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有_的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性_答案1判断真假 真命题 假命题- 2 -2(1)若 q，则 p 若綈 p，则綈 q
2、 若綈 q，则綈 p (2)相同 没有关系1(选修 11P8 习题 1.1A 组第 2(1)题改编)命题“若 a， b 都是奇数，则 a b 是偶数”的逆否命题为_解析：“ a， b 都是奇数”的否定为“ a， b 不都是奇数” ， “a b 是偶数”的否定为“a b 不是偶数” ，故其逆否命题为“若 a b 不是偶数，则 a， b 不都是奇数” 答案：若 a b 不是偶数，则 a， b 不都是奇数2命题“单调函数不是周期函数”的逆否命题是_解析：命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数” ，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数” ，简化为“周期函数不是单调函数” 答
3、案：周期函数不是单调函数知识点二 充分条件与必要条件 1若 pq 且 qp，则 p 是 q 的_条件， q 是 p 的_条件；若 pq 且 qp，则 p 是 q 的_条件， q 也是 p 的_条件2若 A、 B 为两个集合，满足 A B，则 A 是 B 的_条件， B 是 A 的_条件；若 A B，则 A 是 B 的_条件答案1充分不必要 必要不充分 充分必要 充分必要2充分不必要 必要不充分 充分必要3(2016天津卷)设 x0， yR，则“ xy”是“ x|y|”的( )A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件解析：由 xy 推不出 x|y|，由 x|y|能推出
4、 xy，所以“ xy”是“ x|y|”的必要而不充分条件答案：C- 3 -4(选修 11P12 习题 1.2A 组第 4 题改编)圆( x a)2( y b)2 r2经过原点的一个充要条件是( )A ab0 B a0 且 b0C a2 b2 r2 D r0解析：圆( x a)2( y b)2 r2经过原点的一个充要条件是：原点(0,0)是此方程的解，即 a2 b2 r2，故选 C.答案：C5设 xR，则 x2 的一个必要不充分条件是( )A x1 B x3 D x2x1，但 x1x2.答案：A热点一 四种命题及其关系 【例 1】 (1)命题“若 x23 x40，则 x4”的逆否命题及其真假性为
5、( )A “若 x4，则 x23 x40”为真命题B “若 x4，则 x23 x40”为真命题C “若 x4，则 x23 x40”为假命题D “若 x4，则 x23 x40”为假命题(2)给出以下四个命题：“若 x y0，则 x， y 互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若 q1，则 x2 x q0 有实根”的逆否命题；若 ab 是正整数，则 a， b 都是正整数其中真命题是_(写出所有真命题的序号)【解析】 (1)根据逆否命题的定义可以排除 A，D，因为 x23 x40，所以 x4 或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题(2)命题“若 x y0，则 x， y 互为相
6、反数”的逆命题为“若 x， y 互为相反数，则x y0” ，显然为真命题；不全等的三角形的面积也可能相等，故为假命题；原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故为真命题；若 ab 是正整数， a， b 不一定都是正整数，例如 a1， b3，故为假命题- 4 -【答案】 (1)C (2)【总结反思】1写一个命题的其他三种命题时的 2 个注意点(1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提2命题真假的 2 种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断.设 mR，命题“若
7、 m0，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是( )A若方程 x2 x m0 有实根，则 m0B若方程 x2 x m0 有实根，则 m0C若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0D若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0解析：“方程 x2 x m0 有实根”的否定是“方程 x2 x m0 没有实根” ；“ m0”的否定是“ m0” ，故命题“若 m0，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是“若方程x2 x m0 没有实根，则 m0” 答案：D热点二 充分必要条件的判定 考向 1 定义法判断充分必要条件【例 2】 (2016天津卷)设 an是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“
8、 q0)，a2n1 a2n a1q2n2 a1q2n1 a1q2n2 (1 q)若 qa，则綈 p 是綈 q 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】 因为綈 p： a0，綈 q：0 a1，所以綈 q綈 p 且綈 p綈 q，所以綈 p 是綈 q 的必要不充分条件【答案】 B考向 3 等价转化法判断充分必要条件【例 4】 已知 p： x y2， q： x， y 不都是1，则 p 是 q 的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】 因为 p： x y2， q： x1，或 y1，所以綈 p： x y2，綈 q： x1
9、且 y1.因为綈 q綈 p 但綈 p綈 q，所以綈 q 是綈 p 的充分不必要条件，即 p 是 q 的充分不必要条件. 故选 A.【答案】 A【总结反思】充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据 pq， qp 进行判断(2)集合法：根据 p， q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题.(1)若 p： k， kZ， q： f(x)sin( x )( 0)是偶函数，则 p 是 q 的( ) 2A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件(2)(20
10、17安徽合肥质检)“ x2”是“ x22 x80”成立的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(3)给定两个命题 p， q.若綈 p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是綈 q 的( )- 6 -A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：(1)(定义法)若 k， kZ，则 f(x) 2sin cos( x k)Error!所以函数 f(x)是偶函数；若 f(x)( x 2 k )sin( x )( 0)是偶函数，则 k， kZ.故选 A. 2(2)(集合法)记集合 A x|x2，由 x22 x80，可解得 x2，记为集合B
11、x|x2，因为 A B，所以“ x2”是“ x22 x80”成立的充分不必要条件故选 B.(3)(等价法)因为綈 p 是 q 的必要不充分条件，则 q綈 p 但綈 pq，其逆否命题为 p綈 q 但綈 qp，所以 p 是綈 q 的充分不必要条件答案：(1)A (2)B (3)A热点三 充分必要条件的应用 【例 5】 (1)若“ m10”的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是_(2)若“ xm1”是“ x22 x30”的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是_【解析】 (1)由不等式 x22 x30，得 x3 或 x0”的充分不必要条件，所以 x|m13 或 x0，得 x3 或 xm1”是“
12、x22 x30”的必要不充分条件，所以 x|x3 或 xm1，所以Error!解得 0 m2，故 m 的取值范围为0,2【答案】 (1)(，24，) (2)0,2【总结反思】根据充分条件、必要条件求参数范围时，把问题转化为集合之间的包含关系，通过集合之间的包含关系确定参数范围，但要注意转化的准确性.设 p：实数 x 满足 x24 ax3 a20，且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则 a 的取值范围是_- 7 -解析： x24 ax3 a20， x2， q： x|x2綈 p 是綈 q 的必要不充分条件， p 是 q 的充分不必要条件， x|3a2， a4 或 3a2，解得 a4 或 a .又
13、 a0， a1)在其定义域内是减函数，则 loga20， a1)，则函数 f(x)log ax 在其定义域内不是减函数B若 loga20， a1)，则函数 f(x)log ax 在其定义域内不是减函数C若 loga20( a0， a1)，则函数 f(x)log ax 在其定义域内是增函数D若 loga20， a1)，则函数 f(x)log ax 在其定义域内是增函数(2)命题“若 a2 b20，则 a b0”的否命题是( )A若 a2 b20，则 a0 且 b0B若 a2 b20，则 a0 或 b0C若 a2 b20，则 a0 且 b0D若 a2 b20，则 a0 或 b0解析：(1)易知原命题的逆否命题是“若 loga20( a0， a1)，则函数 f(x)log ax 在其定义域内不是减函数” (2)命题“若 a2 b20，则 a b0”的否命题是“若 a2 b20，则 a0 或 b0” 答案：(1)A (2)B
