1、1专题限时集训(八)空间几何体表面积或体积的求解(对应学生用书第 130页)建议 A、B 组各用时：45 分钟A组 高考达标一、选择题1一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图 816所示，则其俯视图为( )图 816C 根据正视图和侧视图知，正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，所以它的俯视图是一个正方形，正方形的右下角是以一个实线画出的三角形，左上角是一个以实线画出的三角形，依题意可知该几何体的直观图如图所示，故选 C.2(2017杭州学军中学高三模拟)已知某几何体的三视图如图 817所示，则该几何体的表面积为( )图 817A16 B26C32 D20254 3C
2、由三视图可知该几何体的直观图如下，由图可知，该几何体的各个面都是直角三角2形，故表面积为 (45344345)32，故选 C.123在三棱锥 PABC中， AB BC ， AC6， PC平面 ABC， PC2，则该三棱锥的外接球15表面积为( ) 【导学号：68334102】A. B. 253 252C. D. 833 832D 由题可知， ABC中 AC边上的高为 ，球心 O在底面 ABC的投影即为15 32 6ABC的外心 D，设 DA DB DC x， x23 2( x)2，解得6x ， R2 x2 2 1 (其中 R为三棱锥外接球的半径)，外接球的表面546 (PC2) 758 838
3、积 S4 R2 ，故选 D.8324已知某几何体的三视图如图 818所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为( )图 818A. B2 3 3C3 D43 3B 分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱 ABCA1B1C1截去四棱锥 ABEDC得到的，故其体积V 223 2 2 ，故选 B.34 13 1 22 3 35如图 819，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )3图 819A88 4 B88 22 6 2 6C22 D. 2 612 22 64A 在正方体中还原出该四面体 CA1EC1如图所示，可求得该四面体的表面积为88 4
4、 .2 6二、填空题6某几何体的三视图如图 820所示(单位：cm)，则该几何体的体积为_cm 3，表面积为_ cm 2. 【导学号：68334103】图 820由三视图知该几何体为一个半球被割去 后剩下的部分，其球半径为 1，所2 114 14以该几何体的体积为 1 3 ，表面积为12 34 43 2 41 2 1 22 1 2 .12 34 34 14 1147三棱锥 PABC中， D， E分别为 PB， PC的中点，记三棱锥 DABE的体积为 V1， PABC的体积为 V2，则 _.V1V2如图，设 S ABD S1， S PAB S2， E到平面 ABD的距144离为 h1， C到平面
5、 PAB的距离为 h2，则 S22 S1， h22 h1， V1 S1h1， V2 S2h2，所以13 13 .V1V2 S1h1S2h2 148(2017浙江省新高考仿真训练卷(一)某简单几何体的三视图如图 821所示，则该几何体的体积是_，外接球的表面积是_图 82124 25 由三视图得该几何体是一个底面为对角线为 4的正方形，高为 3的直四棱柱，则其体积为 44 324.又直四棱柱的外接球的半径为 R ，所以12 (32)2 22 52四棱柱的外接球的表面积为 4 R225.三、解答题9. 如图 822， P为正方形 ABCD外一点， PB平面 ABCD， PB AB2， E为 PD的
6、中点图 822(1)求证： PA CE；(2)求四棱锥 PABCD的表面积解 (1)证明：取 PA的中点 F，连接 EF， BF，则EF AD BC，即 EF， BC共面 PB平面 ABCD， PB BC，又 BC AB且 PB AB B， BC平面 PAB， BC PA. 3分 PB AB， BF PA，又 BC BF B， PA平面 EFBC， PA CE. 6分(2)设四棱锥 PABCD的表面积为 S，5 PB平面 ABCD， PB CD，又 CD BC， PB BC B， CD平面 PBC， CD PC，即 PCD为直角三角形， 8分由(1)知 BC平面 PAB，而 AD BC， AD
7、平面 PAB，故 AD PA，即 PAD也为直角三角形SABCD224，S PBC S PAB S PDA 222，12S PCD 2 2 ， 12分12 22 22 2 S 表 SABCD S PBC S PDA S PAB S PCD102 . 15分210如图 823，一个侧棱长为 l的直三棱柱 ABCA1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度)若液面恰好分别过棱 AC， BC， B1C1， A1C1的中点 D， E， F， G.图 823(1)求证：平面 DEFG平面 ABB1A1；(2)当底面 ABC水平放置时，求液面的高【导学号：68334104】解 (1)证明：因为 D， E分别为
8、棱 AC， BC的中点，所以 DE是 ABC的中位线，所以DE AB.又 DE平面 ABB1A1， AB平面 ABB1A1，所以 DE平面 ABB1A1.同理 DG平面ABB1A1，又 DE DG D，所以平面 DEFG平面 ABB1A1.6分(2)当直三棱柱 ABCA1B1C1容器的侧面 AA1B1B水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱 ABCA1B1C1容器的高，即侧棱长 l，当底面 ABC水平放置时，设液面的高为 h， ABC的面积为 S，则由已知条件可知， CDE ABC，且 SCDE S，所以 S 四边形 ABED S. 11分14 34由于两种状态下液体
9、体积相等，所以 V 液体 Sh S 四边形 ABEDl Sl，即 h l.34 34因此，当底面 ABC水平放置时，液面的高为 l. 15分34B组 名校冲刺一、选择题61(2017杭州质量检测)如图 824，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为( )图 824A三棱台 B三棱柱C四棱柱 D四棱锥B 根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示这是一个三棱柱2某几何体的三视图如图 825所示，则该几何体的体积为( )图 825A. B.23 43C. D.53 73B 根据三视图可知，几何体是由一个直三棱柱
10、与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为 1,2，高为 1)；该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为 1,2，高为 1)，因此该几何体的体积为211 211 ，选 B.12 13 12 433某几何体的三视图如图 826所示，则该几何体的体积为( )7图 826A64 B4C. D252D 由三视图知，该几何体为一个底面半径为 1，高为 1的圆柱体，与底面半径为 1，高为 2的半圆柱体构成，所以该三视图的体积为 1 21 1 222，故选 D.124从点 P出发的三条射线 PA， PB， PC两两成 60角，且分别与球 O相切于 A， B， C三点，若 O
11、P ，则球的体积为( )3A. B.3 23C. D.43 83C 设 OP交平面 ABC于 O，由题得 ABC和 PAB为正三角形，所以 O A AB AP.33 33因为 AO PO， OA PA，所以 ， ， ，OPOA APAO AOAB 33 AOAP 33所以 OA 1，OPO AAP 3 33即球的半径为 1，所以其体积为 1 3 .43 43选 C.二、填空题5一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 1，顶点在同一个球8面上，则该球的体积为_. 【导学号：68334105】由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径 r1, 其高 h1，球半径为556R ，该球
12、的体积 V R3 3 .r2 (h2)2 1 14 54 43 43 (54) 5566如图 827，在三棱锥 ABCD中， ACD与 BCD都是边长为 4的正三角形，且平面 ACD平面 BCD，则该三棱锥外接球的表面积为_图 827 取 AB， CD的中点分别为 E， F，连接 EF， AF， BF，由题意知 AF BF， AF BF2803， EF ，易知三棱锥的外接球球心 O在线段 EF上，312AF2 BF2 6所以 OE OF .6设外接球的半径为 R，连接 OA， OC，则有R2 AE2 OE2， R2 CF2 OF2，所以 AE2 OE2 CF2 OF2，( )62 OE22 2
13、 OF2，所以 OF2 OE22，又 OE OF ，则 OF2 ， R2 ，所以该三棱锥外接球的表面积为 4 R2 .683 203 803三、解答题7如图 828，矩形 CDEF和梯形 ABCD互相垂直， BAD ADC90，AB AD CD， BE DF.12图 828(1)若 M为 EA中点，求证： AC平面 MDF；(2)若 AB2，求四棱锥 EABCD的体积解 (1)证明：设 EC与 DF交于点 N，连接 MN，在矩形 CDEF中，点 N为 EC中点，9因为 M为 EA中点，所以 MN AC. 2分又因为 AC平面 MDF， MN平面 MDF，所以 AC平面 MDF. 4分(2)取
14、CD中点为 G，连接 BG， EG，平面 CDEF平面 ABCD，平面 CDEF平面 ABCD CD，AD平面 ABCD， AD CD，所以 AD平面 CDEF，同理 ED平面 ABCD， 7分所以 ED的长即为四棱锥 EABCD的高. 8分在梯形 ABCD中， AB CD DG， AB DG，12所以四边形 ABGD是平行四边形， BG AD，所以 BG平面 CDEF.又 DF平面 CDEF，所以 BG DF，又 BE DF， BE BG B，所以 DF平面 BEG， DF EG. 11分注意到 Rt DEGRt EFD，所以 DE2 DGEF8， DE2 ，2所以 VEABCD S 梯形
15、ABCDED4 . 15分13 28如图 829，在多面体 ABCDM中， BCD是等边三角形， CMD是等腰直角三角形， CMD90，平面 CMD平面 BCD， AB平面 BCD，点 O为 CD的中点，连接 OM.图 829(1)求证： OM平面 ABD；(2)若 AB BC2，求三棱锥 ABDM的体积解 (1)证明： CMD是等腰直角三角形， CMD90，点 O为 CD的中点， OM CD. 1分平面 CMD平面 BCD，平面 CMD平面 BCD CD， OM平面 CMD， OM平面 BCD. 2分 AB平面 BCD， OM AB. 3分 AB平面 ABD， OM平面 ABD， OM平面
16、ABD. 4分(2)法一：由(1)知 OM平面 ABD，点 M到平面 ABD的距离等于点 O到平面 ABD的距离. 5分10过点 O作 OH BD，垂足为点 H. AB平面 BCD， OH平面 BCD， OH AB.6分 AB平面 ABD， BD平面 ABD， AB BD B， OH平面ABD.7分 AB BC2， BCD是等边三角形， BD2， OD1， OH ODsin 60 . 9分32 V 三棱锥 ABDM V 三棱锥 MABD ABBDOH13 12 22 . 11分13 12 32 33三棱锥 ABDM的体积为 . 12分33法二：由(1)知 OM平面 ABD，点 M到平面 ABD的距离等于点 O到平面 ABD的距离. 5分 AB BC2， BCD是等边三角形， BD2， OD1. 6分连接 OB，则 OB CD， OB BDsin 60 .7分3 V 三棱锥 ABDM V 三棱锥 MABD V 三棱锥 OABD V 三棱锥 ABDO ODOBAB13 12 1 2 . 12分13 12 3 33三棱锥 ABDM的体积为 . 15分33
