1、高考中函数问题新趋势透视高中数学教与学 2007 釜离考中函数问题新趋势透视李昭平(安徽省太湖中学,246400)函数是贯穿于高中数学的一条主线,它的知识点多,覆盖面广,思想丰富,综合性强,应用广泛,与其它知识的联系非常紧密.近几年来,随着向量,导数,概率统计,函数极限等新增内容的引入,拓宽了高考对函数问题的命题空间,出现了很多新的交汇题型.下面结合部分高考题或高考模拟题介绍高中函数问题的七大新趋势,供复习参考.新趋势 1 与概率统计交汇例 1(2005 年湖南高考题) 某城市有甲,乙,丙 3 个旅游景点,一位客人游览这 3 个景点的概率分别为 0.4,0.5,0.6,且客人游览哪个景点互不影
2、响.设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.(1)求的分布列及数学期望;(2)记“函数- 厂()=一 3+1 在区间2,+.)上递增“ 为事件 A,求事件 A 的概奎.思路确定可能取的值,计算概率,判断函数-厂()的单调性.解(1)设 A,A:,A,分别表示客人游览甲,乙,丙旅游景点 3 件事件,则 A.,A,A 相互独立,且 P(A)=0.4,P(A:)=0.5,P(A)=0.6.因为客人游览的景点数可能为 0,1,2,3,相应地,客人没有游览的景点数可能为 3,2,1,0,所以的取值为 1,3.P(=3)=P(A1A2A3)+P(AlA2A3)=P(A.)P(A2
3、)P(A3)+P(A1)P(A:)P(A3)=20.40.50.6=0.24.P(=1)=10.24=0.76.于是的分布列为?32?13P0.760.24数学期望=10.76+30.24=1.48.(2)当 F-1 时,函数- 厂()=一 3x+l在区间2,+.)上递增;当=3 时,函数-厂()=一 9x+1 在区间2,+.)上不递增,因此 P(A)=P(=1)=0.76.点评函数与概率统计的交汇在高考中还是初见端倪,虽然难度不大,但具有内容新,背景新,结构新的特点,预计在今后的高考中将会设计得更加灵活,更能体现知识间的内在联系.新趋势 2 与数列,导数交汇例 2(2006 年上海春招题)
4、已知函数-厂()=2 一 2 一,数列o满足-厂(1og:o)=一2n(n N).试判断数列 o的单调性 ,思路构建关于 o 的方程,利用导数的符号确定数列的单调性.解由已知有 o 一一=一 2n,即 o:+n2na 一 1=0.解得 0=一 n 土/n+1.而 00,所以口=n+1 一 n.令=g(n), 贝 4 由 g()=一 1/+1知g(n)=It,二一 10.n+1故数列o是单调减数列 .点评这里由已知函数-厂()获得数列n的通项,再将 o=g(n)视为 n 的函数,第 J 搠利用函数导数的符号判断数列o的单调性,比利用单调性的定义简单得多.导数为函数问题的解决提供了新途径.例 3(
5、2006 年重庆高考题) 设函数)的定义域为 D.若存在D,使)=. 成立,则称是函数)的一个不动点.已知定义域为 R 的函数)满足:f(f(x)一+)=)一+,并且有且仅有一个不动点,求函数)的解析表达式.思路理解“不动点 “的定义 ,赋值,构建方程.解设是)惟一的一个不动点.因为对任意 ER 都有/-(厂()一+)=/)一+,故由不动点的惟一性,有/)一+=0.在上式中令=.,由)=%,得o=0,o=00=1.当.=0 时 )一+=0, 即)=一.但)=一有两个不动点 0,2,不符合题意,故0.当.=1 时 Or()一+=1 即)=一+1.方程一 +1=有两个相等的实数根,符合题意.故所求
6、的函数为)=一+1(R).点评本题以抽象函数为载体,以“不动点“ 为主线 ,重点考查学生对新定义的理解和把握,以及赋值法求解抽象函数问题的能力.“不动点“ 问题是近两年高考题和高考模拟题中出现的一种新题型,极富思考性和挑战性,能有效考查学生的理性思维水平,预计这类问题在今后的高考中将会设计得更加灵活,更能体现高考“能力立意“的命题思想.新趋势 3 与向量,导数交汇例 4(2006 年合肥市高考模拟题)设平面向量口=(孚,一),b(,字 )?若存在三个实数,t,Ji,使=a+(t 一 Ji)b,Y=一 sa+t 西且上 Y.(1)求函数关系式 s=t);高中瓠学教与学(2)若函数 s=t)在1,
7、+) 上是单调函数,求 Ji的取值范围.思路将向量间的几何(位置)关系数量化(转变为坐标关系), 利用导数研究函数的单调性.解(1)IaI=I 西 I=1,a?b=0.又上 Y.?Y=0,即a+(t 一 k)b?(一 sa+6)=0.-.一s+(t 一 k)t=0,.s=t)=t 一 Jl .(2(t)=3t 一 Ji.?.t)在1,+)上是单调函数,.在1,+)上有(t)0 或(t)0.由 f(t)=3t 一 0,得Ji3tJi(3t)mink3.由(t)=3t 一 Ji03t.因为在t1,+) 上,3t 是增函数, 所以不存在 Ji,使.II3t 在1,+)上恒成立,故的取值范围是 Ji3
8、.点评本题以向量为载体,函数为主线,融函数,向量,导数,含参数的不等式等知识于一体,能有效考查学生综合运用数学知识解决函数问题的能力.其中利用导数处理三次函数的单调性是解题的关键.新趋势 4 与函数极限浔数交汇例 5(2006 年重庆高考题) 已知函数)=(+c)e,其中 6,cR 为常数 .若 6:4(c 一 1),且 lim:4,试证明:一662.思路去掉极限符号,获得关于 b,c 的关系式.证明由)=(+C)e,得()=(2+6)e+(+6+C)e.所以 0)=C,f(0)=6+c.于是=U=f(0)=4,即 6+C=4.又因为 64(cJ),故 6+46120.一 662.33.高中戡
9、学教与学 2007 亟点评本题融超越函数,函数极限于一体,灵活运用导数的定义求极限值是解题的关键.新趋势 5 与高等数学知识交汇例 6(2007 年安庆市高考模拟题)先阅读以下两个定义:定义 l若函数,()在区间 D 上可导,ll1f()存在,且导函数,()在区间 D 上也可导,则称函数,()在区间 D上存在二阶导数,记作“(),即 “()=(,().定义 2若函数,()在区间,J上的二阶导数恒为正,即,“()0 恒成立,则称函数,()在区间 D 上为凹函数 .已知函数)=+ax+b 在=1 处取得极值.(1)试判断,()=+b 在(1,+)是否为凹函数 ,写出理由 ;(2)求证:对于任意的
10、,(1,+),都有)丢,(-)+:)成立.思路弄懂新定义,按定义证明,作差证明不等式.解(1)因为,()=筇+6, 所以/()=3x+2ax.函娄厂()=+ 口+6 在=1 处取得极值,llJf(1)=3+2a=0=一.而,“()=6x+2a=6x 一 3.当时()=6x 一 30,故/.()=3+fix2+6 在(,+)为凹函数?(2)任取(,+),则,(,)+,(:)lJ_2,()=一+b+;一+62【(寻 (6=(l 一 2)(l+2).34.一(l2)=(1 一 2)(I+21).1.1._.I,2T,.1+210,.-(l2)(1+21)0.即),(+f(x2)?点评本题以高等数学中
11、的凹函数与其二阶导数的关系为背景,通过给出凹函数与二阶导数的定义(设置新情境),考查学生阅读,理解,迁移新知识的能力.在高等数学与高中数学的知识交汇处命题,是近几年高考命题的一种发展趋势.在这种问题中,又以函数问题居多,复习中要予以重视.新趋势 6 与物理问题交汇例 7(2007 年南昌市高考模拟题)若已知某质点的运动方程为 S(t)=+1 一 at,要使在 t0,+)上的每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于 1,求实数 n 的取值范围.思路利用质点运动函数的导数的物理意义列出关于 n 的不等式.解 sr(c)t1?/+.lS(t)l1,?II 引,I 厢“I .寿一I 一即 J-仲高志“当 t
12、.,+) 时,( 而 t+)=第 J 钾高三数学综合测试一,选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共60 分.在每小题给出的 4 个选项中,有且只有?个是符合题目要求的 )1.已知全集 U=口,b,c,d,e,集合 A=b,c,CB=c,d,贝 0(CA)nB 等于()(A)口,e(B)b,c,d(C)n,C,e(D)c2.已知,()在= 处可导 ,则.1,()-f(一 2),lira一一(A)一 2f(X0)(B)2f(.)(C)一,(.)(D)f()3.在等差数列口 中,若口 4+口 6+口 8+口 l0+=120,则口 9 一 口.的值为()(A)14(B)15(C)16(D)174?若命题 p:I5 一 2.3,命题 q:_=j0,贝 0P 是q 的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
