1、专题研究：数列的求和例题解析【例 1】 求下列数列的前 n 项和 Sn：()23()1148123321244124561， ， ， ， ， ；， ， ， ， ， ；， ， ， ， ， ()nn解 S=(13n)n824812 ()nn=n(+)211()nn(2)S=31+13)+(23+2)n2n-4n2341n=3()()11358222nnn(3)先对通项求和a=1 S(2)(1+412)n n-4 nn=2n(1+412)n- n【例 2】 求和：(1)+314+(3)21579238112nn()()解 1n(+)213141Sn )()()1n(2)n(+3) S=4123457
2、91212123()nnnn 43521()n(3)(+) S=n312258132() ()nn =13()264n【例 3】 求下面数列的前 n 项和：17(3n2) ， ， ， ， ，112aa分 析 将 数 列 中 的 每 一 项 拆 成 两 个 数 ， 一 个 数 组 成 以 为 公 比 的 等1a比数列，另一个数组成以 3n2 为通项的等差数列，分别求和后再合并解 设数列的通项为 an，前 n 项和为 Sn则 a=1(3) S147(3n2)n)2an当 时 ， 当 时 ，a=1S1annn()()231322nan说明 等比数列的求和问题，分 q=1 与 q1 两种情况讨论【 例
3、 4】 a=k(N*)aak设 ， 则 数 列 ， ， ，123572123的前 n 项之和是 ABCD 61316162nnn()()解 bb=nn设 数 列 ， ， ， ， 的 通 项 为 则 572123aa又 a=12n=(1)2n b6n(+)(+)26数列b n的前 n 项和 Sn=b1 b2b n=6n+1(A)()()12331选 【例 5】 求在区间a，b(ba，a ，bN) 上分母是 3 的不可约分数之和 解 法 一 3a1a2b1区 间 ， 上 分 母 为 的 所 有 分 数 是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 它 是 以为 首 项 ， 以 为 公 差 的 等
4、 差 数 列 13234523aab项 数 为 ， 其 和 3ba1S=2(3ba1)(b其中，可约分数是 a，a 1，a 2，b其 和 S=2()(故不可约分数之和为 1(ab)3a1)(ba) =b2a 2解法二 S=3+1a23+4a5+3b21 而 又 有 S=(a)()(a)()(b)()bba(a)13243523113两式相加：2S=(ab)(ab)(ab)其个数为以 3 为分母的分数个数减去可约分数个数即 3(ba)1(ba 1)=2(ba) 2S=2(ba)(ab) S=b2a 2【例 6】 求下列数列的前 n 项和 Sn：(1)a，2a 2，3a 3，na n，(a0、1)
5、；(2)1，4，9，n 2，；(3)1，3x，5x 2，(2n1)x n-1，(x 1)()1438， ， ， ， ， n解 (1)Sn=a2a 23a 3na n a0 aSn=a22a 33a 4 (n1)a nna n+1SnaS n=aa 2a 3a nna n+1 a1 ()()1121Sannn(2)Sn=149 n 2 (a 1)3a 3=3a23a1 231 3=312311332 3=322321433 3=332331n3(n1) 3=3(n1) 23(n1)1(n1) 3n 3=3n23n1把上列几个等式的左右两边分别相加，得(n1) 31 3=3(122 2n 2)3(
6、1 2n)n=(2 31() 122 23 2n 2()n=n321 ()(1)=n216 (3) Sn=1 3x5x 27x 3(2n1)x n-1 xSn=x3x 25x 3(2n 3)x n-1(2n1)x n两式相减，得(1x)S n=12x(1xx 2x n-2)(2n1)x n=1()2 S(n)xn+1 1212xnn()()(4) S=12n 32341nn两式相减，得 121221311Snn n()21nn S=说明 求形如a nbn的数列的前 n 项和，若其中a n成等差数列， bn成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化归思想 【 例
7、 7】 aS=nn设 等 差 数 列 的 前 项 和 为 ， 且 ，()an12nN*，若 bn=(1) nSn，求数列b n的前 n 项和 Tn分析 求b n的前 n 项和，应从通项 bn 入手，关键在于求a n的前 n 项和 Sn，而由已知只需求a n的通项 an 即可解 法 一 a=1(2)a11 是 等 差 数 列 ，当 时 ， 解 得 ()2当 时 ， 解 得 或 当 时 ， ， 由 ， 解 得 或n2a=3a1=3(a)=5a12223 333，由 a2=1，解得 a3=1又 ， ， ， 舍S0 =1a1()n 233()1即 a1=1，a 2=3，a 3=5， d=2an=12(
8、n 1)=2n 1Sn=135(2n1)=n 2bn=(1) nSn=(1) nn2Tn=1 22 23 24 2(1) nn2当 n 为偶数时，即 n=2k，kN*Tn=(1 22 2)( 3 24 2) (2k1) 2(2k) 2=37(4k1)=3+4k(21)n当 n 为奇数时，即 n=2k1，kN*Tn=1 22 23 24 2(2k1) 2=1 22 23 24 2(2k 1) 2(2k) 2(2k) 2=(2k1)k(2k) 2=k(2k1) T(1)nN*S=(a+)n2ann 1n 也 可 利 用 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 ， 求 ()2解 法 二 n=1a() S(+)121取 ， 则 又 可 得 ： 22()na an1 an=2n1 以下同解法一说明 本题以“等差数列”这一已知条件为线索，运用方程思想，求数列a n的通项 an，在求数列b n的前 n 项和中，通过化简、变形把一般数列的求和问题转化为等差数列的求和问题由于(1) n 的作用，在变形中对 n 须分两种情况讨论
