1、第一节 定积分概念与性质教学目的：使学生了解定积分概念，掌握定积分的性质。一、定积分问题举例1 曲边梯形的面积曲边梯形 设函数 yf(x)在区间 a b上非负、连续 由直线 xa、xb、y0 及曲线 yf (x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间 a b中任意插入若干个分点ax0 x1 x2 xn1 xn b 把a b分成 n 个小区间x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn
2、1 xn 它们的长度依次为 Dx1 x1x0 Dx2 x2x1 Dxn xn xn1 经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形 在每个小区间xi1 xi 上任取一点 x i 以x i1 xi 为底、f (x i)为高的窄矩形近似替代第 i 个窄曲边梯形( i1 2 n) 把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积 A 的近似值 即Af (x 1)Dx1 f (x 2)Dx2 f (x n )Dxn 来源:iixf1)(求曲边梯形的面积的精确值 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积 A 的近似值就越接近曲边梯形面积 A 的精确值
3、因此 要求曲边梯形面积 A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记maxDx1 Dx2 Dxn 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令 0 所以曲边梯形的面积为 niixfA10)(lm2 变速直线运动的路程设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔T 1 T 2上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S 求近似路程 我们把时间间隔T 1 T 2分成 n 个小的时间间隔 Dti 在每个小的时间间隔 Dti 内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔 Dti 内某点 x i 的速度 v(t i) 物体在时间
4、间隔 Dti 内 运动的距离近似为 DSi v(t i) Dti 把物体在每一小的时间间隔 Dti 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 T 2内所经过的路程 S 的近似值 具体做法是 在时间间隔T 1 T 2内任意插入若干个分点T 1t 0 t 1 t 2 t n1 t nT 2 把T 1 T 2分成 n 个小段t 0 t 1 t 1 t 2 t n1 t n 各小段时间的长依次为Dt 1t 1t 0 Dt 2t 2t 1 Dt n t n t n1 相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为DS 1 DS 2 DS n 在时间间隔t i1 t i上任取一个时刻 i (t i1 i t
5、 i) 以 i 时刻的速度 v( i)来代替t i1 t i上各个时刻的速度 得到部分路程 DS i 的近似值 即 DS i v( i) Dt i (i1 2 n) 于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 S 的近似值 即 niit1)(求精确值 记 maxDt 1 Dt 2 Dt n 当 0 时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程 niitvS10)(lm设函数 yf(x)在区间 a b上非负、连续 求直线 xa、xb、y 0及曲线 yf (x)所围成的曲边梯形的面积 (1)用分点 ax0x1x 2 xn1xn b 把区间a b分成 n 个小区间 x0 x1 x1
6、x2 x2 x3 xn1 xn 记 Dxixixi1 (i1 2 n)(2)任取 x ixi1 xi 以 xi1 xi为底的小曲边梯形的面积可近似为(i1 2 n) 所求曲边梯形面积 A 的近似值为if) iixfA1(3)记 maxDx1 Dx2 Dxn 所以曲边梯形面积的精确值为 iif10)(lm设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔T 1 T 2上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S (1)用分点 T1t0t1t2 t n1tnT2 把时间间隔 T 1 T 2分成 n 个小时间段 t 0 t1 t1 t2 tn1 tn 记 Dti titi1
7、 (i1 2 n)(2)任取 iti1 ti 在时间段 ti1 ti内物体所经过的路程可近似为 v(i)Dti (i1 2 n) 所求路程 S 的近似值为 niitv1)(3)记 maxDt1 Dt2 Dtn 所求路程的精确值为 iivS10)(lm来源:二、定积分定义抛开上述问题 的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义 定义 设函数 f(x)在a b 上有界 在a b 中任意 插入若干个分点a x 0 x1 x2 xn1 xnb 把区间a b 分成 n 个小区间x0 x1 x1 x2 xn1 xn 各小段区间的长依次为Dx1x1x0 Dx2x2x1
8、 Dxn xn xn1 在每个小区间x i1 xi上任取一个点 x i (xi1 x i xi) 作函数值 f (x i)与小区间长度 Dxi 的乘积f (x i) Dxi (i1 2 n) 并作出和 niifS1)(记 maxDx1 Dx2 Dxn 如果不论对a b怎样分法 也不论在小区间x i1 xi上点 x i 怎样取法 只要当 0 时 和 S 总趋于确定的极限 I 这时我们称这个极限 I 为函数 f (x)在区间a b 上的定积分 记作 badxf)(即 niibadxf10lm)(其中 f (x)叫做被积函数 f (x)dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫
9、做积分上限 a b 叫做积分区间 定义 设函数 f(x)在 a b上有界 用分点 ax0x1x2 xn1xnb 把a b分成 n 个小区间 x 0 x1 x1 x2 xn1 xn 记 Dxixixi1(i1 2 n)任 x ixi1 xi (i1 2 n) 作和 iixfS1记 maxDx1 Dx2 Dxn 如果当 0 时 上述和式的极限存在 且极限值与区间a b的分法和 x i 的取法无关 则称这个极限为函数 f(x)在区间 a b上的定积分 记作 来源:df)(即 niibaxfdxf10)(lm)(根据定积分的定义 曲边梯形的面积为 badxfA)(变速直线运动的路程为 dtvST)(2
10、1说明 (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即 bababaduftfdxf )()()(2)和 通常称为 f (x)的积分和 来源:niixf1)(3)如果函数 f (x)在 a b上的定积分存在 我们就说 f (x)在区间a b 上可积 函数 f(x)在a b上满足什么条件时 f (x)在 a b上可积呢？定理 1 设 f (x)在区间a b 上连续 则 f (x) 在a b 上可积 定理 2 设 f (x)在区间a b 上有界 且 只有有限个间断点 则 f (x) 在 a b上可积 定积分的几何意义 在区间a b上 当 f(x)0 时 积分 在几何上 表示
11、由曲线 yf (x)、两条直线badxf)(xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积 当 f(x)0 时 由曲线 y f (x)、两条直线xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值 baniiniiba dxfxffdf )()(lm)(l)( 1010当 f (x)既取得正值又取得负值时 函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴的上方 而其它部分在 x 轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在 x 轴上方的图形面积赋以正号 在 x 轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分 的几何意义为 它是介于 x 轴、函badf)(数 f(x
12、)的图形及两条直线 xa、xb 之间的各部分面积的代数和 用定积分的定义计算定积分 例 1. 利用定义计算定积分 dx210解 把区间0 1分成 n 等份 分点为和小区间长度为(i1 2 n1) (i1 2 n) nxi xi取 (i1 2 n) 作积分和iiiniixf1211() )12(633nni )12(6n因为 当 l0 时 n 所以31)2(16lim)(li10210 nxfdxnni利定积分的几何意义求积分:例 2 用定积分的几何意义求 10)(dx解: 函数 y1x 在区间0 1上的定积分是以 y1x 为曲边 以区间0 1为底的曲边梯形的面积 因为以 y1x 为曲边 以 区
13、间0 1为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为 1 所以2)(0dx三、定积分的性质两点规定 (1)当 ab 时 0)(adxf(2)当 ab 时 abxff)(性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和 (差) 即 bababa dxgxfdgxf )()(证明: baf)(ni iif10)(lmniinii xgxf1010)(l)(l babadf)()(性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即babadxfkxf)()(这是因为 niibaff10)(lm)( baniidxfkxfk)()(l10性质 3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即 bccaba dxfxfdf )()()(这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 值得注意的是不论 a b c 的相对位置如何总有等式cba dxfxfdf )()()(成立 例如 当 ab 积分中值公式都成立 w。w-w*k&s%5￥w。w-w*k&s%5￥u 来源:
