1、1配餐作业(十三) 变化率与导数、导数的计算(时间：40 分钟)一、选择题1(2016惠州模拟)已知函数 f(x) cosx，则 f() f ( )1x (2)A B3 2 1 2C D3 1解析 f( x) cosx (sin x)，1x2 1x f() f (1) 。故选 C。(2) 1 2 3答案 C2曲线 ye x在点 A(0,1)处的切线斜率为( )A1 B2Ce D.1e解析 由题意知 ye x，故所求切线斜率 ke xError!x0 e 01。故选 A。答案 A3设曲线 y 在点 处的切线与直线 x ay10 平行，则实数 a等于( )1 cosxsinx (2， 1)A1 B
2、.12C2 D2解析 y ， yError! x 1， 1 cosxsin2x 2由条件知 1， a1。故选 A。1a答案 A4若存在过点(1,0)的直线与曲线 y x3和 y ax2 x9 都相切，则 a等于( )154A1 或 B1 或2564 214C 或 D 或 774 2564 74解析 因为 y x3，所以 y3 x2，2设过点(1,0)的直线与 y x3相切于点( x0， x )，30则在该点处的切线斜率为 k3 x ，20所以切线方程为 y x 3 x (x x0)，30 20即 y3 x x2 x 。20 30又点(1,0)在切线上，所以 x00 或 x0 。32当 x00
3、时，切线方程为 y0，由 y0 与 y ax2 x9 相切可得 a ；154 2564当 x0 时，切线方程为 y x ，由32 274 274y x 与 y ax2 x9 相切，可得 a1。274 274 154综上， a的值为1 或 。故选 A。2564答案 A5(2017上饶模拟)若点 P是曲线 y x2ln x上任意一点，则点 P到直线 y x2距离的最小值为( )A1 B. 2C. D.22 3解析 因为定义域为(0，)，所以 y2 x 1，解得 x1，则在 P(1,1)处的1x切线方程为 x y0，所以两平行线间的距离为 d 。故选 B。22 2答案 B6(2016安庆二模)给出定
4、义：设 f( x)是函数 y f(x)的导函数， f( x)是函数f( x)的导函数，若方程 f( x)0 有实数解 x0，则称点( x0， f(x0)为函数 y f(x)的“拐点” 。已知函数 f(x)3 x4sin xcos x的拐点是 M(x0， f(x0)，则点 M( )A在直线 y3 x上 B在直线 y3 x上C在直线 y4 x上 D在直线 y4 x上解析 f( x)34cos xsin x， f( x)4sin xcos x，由题意知4sinx0cos x00，所以 f(x0)3 x0，故 M(x0， f(x0)在直线 y3 x上。故选 B。答案 B二、填空题7(2016天津高考)
5、已知函数 f(x)(2 x1)e x， f( x)为 f(x)的导函数，则 f(0)的值为_。3解析 由题意得 f( x)(2 x3)e x，则得 f(0)3。答案 38若直线 l与幂函数 y xn的图象相切于点 A(2,8)，则直线 l的方程为_。解析 由题意知， A(2,8)在 y xn的图象上，2 n8， n3， y3 x2，直线 l的斜率 k32 212，又直线 l过点(2,8)。 y812( x2)，即直线 l的方程为 12x y160。答案 12 x y1609(2017沈阳模拟)在平面直角坐标系 xOy中，点 M在曲线 C： y x3 x1 上，且在第二象限内，已知曲线 C在点
6、M处的切线的斜率为 2，则点 M的坐标为_。解析 y3 x21，曲线 C在点 M处的切线的斜率为 2，3 x212， x1，又点 M在第二象限， x1， y(1) 3(1)11，点 M的坐标为(1,1)。答案 (1,1)10若函数 f(x) x2 axln x存在垂直于 y轴的切线，则实数 a的取值范围是12_。解析 f(x) x2 axln x，12 f( x) x a 。1x f(x)存在垂直于 y轴的切线， f( x)存在零点，即 x a0 有解，又 x0， a x 2。1x 1x答案 2，)三、解答题11已知函数 f(x) x3 x16。(1)求曲线 y f(x)在点(2，6)处的切线
7、的方程；(2)直线 l为曲线 y f(x)的切线，且经过原点，求直线 l的方程及切点坐标。解析 (1)可判定点(2，6)在曲线 y f(x)上。 f( x)( x3 x16)3 x21， f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为 k f(2)13。切线的方程为 y613( x2)，即 y13 x32。(2)设切点坐标为( x0， y0)，4则直线 l的斜率 k为 f( x0)3 x 1，20y0 x x016，30直线 l的方程为 y(3 x 1)( x x0) x x016。20 30又直线 l过原点(0,0)，0(3 x 1)( x0) x x016，整理得，20 30x 8，30 x02，
8、 y0(2) 3(2)1626，得切点坐标(2，26)， k3(2) 2113。直线 l的方程为 y13 x，切点坐标为(2，26)。答案 (1) y13 x32(2)y13 x，切点坐标为(2，26)12设函数 y x22 x2 的图象为 C1，函数 y x2 ax b的图象为 C2，已知过 C1与 C2的一个交点的两切线互相垂直，求 a b的值。解析 对于 C1： y x22 x2，有 y2 x2，对于 C2： y x2 ax b，有 y2 x a，设 C1与 C2的一个交点为( x0， y0)，由题意知过交点( x0， y0)的两条切线互相垂直。(2 x02)(2 x0 a)1，即 4x
9、 2( a2) x02 a10，20又点( x0， y0)在 C1与 C2上，故有Error!2x ( a2) x02 b0。20由消去 x0，可得 a b 。52答案 52(时间：20 分钟)1(2016江西五校联考)已知函数 fn(x) xn1 ， nN *的图象与直线 x1 交于点 P，若图象在点 P处的切线与 x轴交点的横坐标为 xn，则 log2 016x1log 2 016x2log 2 016x2 015的值为( )A1 B1log 2 0162 012Clog 2 0162 012 D1解析 由题意可得点 P(1,1)， f n(x)( n1) xn，所以点 P处的切线的斜率为
10、5n1，故可得切线的方程为 y1( n1)( x1)，所以与 x轴交点的横坐标 xn ，nn 1则 log2 016x1log 2 016x2log 2 016x2 015log2 016x1x2x2 015log 2 016 1，故选 D。12 016答案 D2曲边梯形由曲线 y x21， y0， x1， x2 所围成，过曲线 y x21( x1,2)上一点 P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( )A. B.(32， 2) (32， 134)C. D.(52， 134) (52， 2)解析 设 P(x0， x 1)， x01,2，则易知曲线 y x2
11、1 在点 P处的切线方程为20y( x 1)2 x0(x x0)，20 y2 x0(x x0) x 1，设 g(x)2 x0(x x0) x 1，则 g(1) g(2)2( x 1)20 20 202 x0(1 x02 x0)， S 普通梯形 1 x 3 x01 2 ， P点坐标为g 1 g 22 20 (x0 32) 134时， S 普通梯形 最大。故选 B。(32， 134)答案 B3函数 f(x)e x x2 x1 与 g(x)的图象关于直线 2x y30 对称， P， Q分别是函数 f(x)， g(x)图象上的动点，则| PQ|的最小值为_。解析 因为 f(x)与 g(x)的图象关于直
12、线 2x y30 对称，所以当 f(x)与 g(x)在P， Q处的切线与 2x y30 平行时，| PQ|的长度最小。 f( x)e x2 x1，令ex2 x12，得 x0，此时 P(0,2)，且 P到 2x y30 的距离为 ，所以| PQ|min25。5答案 2 54(2016广州一模)已知函数 f(x)e x m x3， g(x)ln( x1)2。(1)若曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线斜率为 1，求实数 m的值；(2)当 m1 时，证明： f(x)g(x) x3。解析 (1)因为 f(x)e x m x3，所以 f( x)e x m3 x2。因为曲线 y f(x)在点(0
13、， f(0)处的切线斜率为 1，所以 f(0)e m1，解得 m0。(2)证明：因为 f(x)e x m x3， g(x)ln( x1)2，6所以 f(x)g(x) x3等价于 ex mln( x1)20。当 m1 时，e x mln( x1)2e x1 ln( x1)2。要证 ex mln( x1)20，只需证明 ex1 ln( x1)20，设 h(x)e x1 ln( x1)2，则 h( x)e x1 。1x 1设 p(x)e x1 ，则 p( x)e x1 0。1x 1 1 x 1 2所以函数 p(x) h( x)e x1 在(1，)上单调递增。1x 1因为 h e 20，(12) 12所以函数 h( x)e x1 在(1，)上有唯一零点 x0，且 x0 。1x 1 ( 12， 0)因为 h( x0)0，所以 ex01 ，1x0 1即 ln(x01)( x01)。当 x(1， x0)时， h( x)0，所以当 x x0时， h(x)取得最小值 h(x0)。所以 h(x) h(x0)e x01ln( x01)2 ( x01)20。1x0 1综上可知，当 m1 时， f(x)g(x) x3。答案 (1)0 (2)见解析
