1、指数函数与对数函数对照表前面我们刚学了指数函数，现在我们又学了对数函数，而且同底的指数函数和对数函数互为反函数，你能分清它们之间的区别与联系吗？下表可帮助同学们理顺它们之间的关系，以形成对它们的整体认识指数函数和对数函数对照表名称 指 数函数 对数函数一般形式 (01)xya， log(01)ayx，定义域 R （0，）值域 （0，） R函数值变化情况当 1a时，00xx， ， ， ，当 1a时，0xx， ，当 1a时，log10lax， ， ， ；当 时，log10l.ax， ， ，单调性当 1a时， xya是增函数；当 0时， 是减函数当 1a时， logayx是增函数；当 0时， 是减函
2、数图象xya（a0 且 a1） 的图象与 logayx（a0 且 a1）的图象关于直线 y=x 对称当 a1 时， 当 0a1 时，补充性质当 a1 时，图象向上越靠近 y 轴，底数越大；当 0a1 时，图象向上越靠近 y 轴，底数越小当 a1 时，图象向右越靠近 x 轴，底数越大；当 0a1 时，图象向右越靠近 x 轴，底数越小理解并熟记表格最后一项中的补充性质，对我们认识函数的性质，运用数形结合的思想解题都有很大好处对数函数创新题两例函数中的创新题，一般会给出新定义、新运算等，这就要求我们读懂题目，并把新概念、新定义、新运算与所学知识相结合，在较高层次上分析问题、解决问题例 1 定义：函数
3、 ()yfx，xD ，若存在常数 C，对于任意 x1D，存在惟一的x2D，使得 12fC，则称函数 ()fx在 D 上的“均值”为 C，已知()f=lgx，x10，100 ，则函数 =lgx 在10， 100上的均值为（ ） （A） 32（B） 4（C） 10（D ）10解析：由题意，当 10x 1100 时，x 2 也要在10，100内，且 12lgxC，即x1x2 是常数.令 1m，又 0 1x ， 10 ，m=1000 ，11()lg0322fxfC.点评：本题是新定 义题，其关键是在10，100上 x2 被 x1 惟一确定，且1212()lg()fxfx为常数，故可令 21m，然后依据
4、 x210，100 ，求出m1000，再由 2()ffC求出 .例 2 给定 (1)logna，n*，定义使 a1a2a3ak为整数的k（k*）叫做“企盼数” ，求区间（1，62）内的所有企盼数的和.解： ()l2n，a 1a2a3aklog 23log34log45log（k+1） （k+2 ）= 2lgllg(2)l()log()1kk .设 2lo()为整数 m，即 2lo()(mZ). 2mk，即 2mk，又k（1，62） ，即 12 m262，32 m64，m=2 ， 3，4， 5，代入 得到 k=2，6，14，30.区间（1，62）内所有“企盼数”之和为 26143052.“同正异
5、负” 你注意到了吗结合对数函数的图象，我们可以归纳出下面的重要 性质性质：在对数函数 y=lo gax（ a0 且 a1）中，（1）若 0a1 且 0x1，或 a1 且 x1，则有 y 0；（2）若 0a1 且 x1，或 a1 且 0x1，则有 y 0以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负在对数函数的学习中，以上性质往往容易被忽视，但它恰恰就是解决一些对数函数问题的关键所在下面结合几个实例加以分析例 1 如果 loga3log b30，那么 a，b 间的关系是（ ） （A）0ab1 （B）1ab（C）0ba1 （D）1ba解析：由于 loga3log b30，31，结合“同区间为正” 可得
6、：a1，b1，又由 loga3 logb30 得 330logl，即 log3blog 3a，所以 ba，所以 ba1，故选（B） 例 2 若定义在区间（ ，）内的函数 f（x ）=log 2a（x+1）满足 f（x）0，则 a 的取值范围是（ ） （A） 0， （ B） 102，（C） 12， （ D） （，）解析： -1x 0，0x+11，又 f（x）0，结合“同区间为正”可得：2a1，解得 0a 12，故选（A） 例 3 已知 logl4aa，且log ba=-log ba，则有（ ） （A）a1 且 b1 （B ）0a1 且 b1（C）a1 且 0b1 （D）0a1 且 0b1解析：
7、logl4aa， log40同理可得 logba0结合同区间为正，异区间为负，得 0a1，b1，故选（B ） 例 4 设 0a1，函数 f（x）=log a（a 2x-2ax-2） ，则使 f（ x）0 的 x 的取值范围是（ ） （A） （-，0） （B ） （，）（C） （，log a3） （D ） （log a3，）解析：由于a1，由“异区间为负”可得：a 2x-2ax-21，则（a x-3） （a x+1）0，所以 ax 3，即 xlog a3，故可排除（ A） 、 （B） 、 （D） ，选（C） 例 5 若 log2a 10，则 a 的取值范围是（ ） （A） ， （ B） （，+）（C） 12， （D） 102，解析：由“异区间为负”可得： 21a，或 210a，解得 12a1，故选（C）
