1、第 3 课时 简单线性规划的应用知能目标解读1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题.2.能利用简单线性规划知识解决实际问题.重点难点点拨重点：1.准确理解题意，由线性约束条件列出不等式，找出目标函数.2.数形结合找出最优解的存在位置，特别是整数最优解问题.难点：最优解存在位置的探求和整点最优解的找法.学习方法指导1.列线性规划问题中的线性约束条件不等式时，要准确理解题意，特别是“至多” 、“至少” “不超过”等反映“不等关系”的词语.还要注意隐含的限制条件，如 x、 y 是正数.x、 y 是正整数等等.有时候把约束条件用图示法或列表表示，便于准确的写出不等式组.2.线性规划的应用：
2、线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题，其关键是列出这些限制条件，不能有遗漏的部分，如有时变量要求为正实数或自然数.其次是准确找到目标函数，如果数量关系多而杂，可以用列表等方法把关系理清.应用线性规划的方法，一般须具备下列条件：（1）一定要能够将目标表达为最大或最小化的问题；（2）一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同选择的可能性存在；（3）所求的目标函数是有约束（限制）条件的；（4）必须将约束条件用数字表示为线性等式或线性不等式，并将目标函数表示为线性函数.线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题中：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最
3、多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.3.解线性规划应用题的步骤：（1）转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(2)求解解这个纯数学的线性规划问题.求解过程：作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线 l.平移将 l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置.求值解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.（3）作答就应用题提出的问题作出回答.4.可行域内最优解为整点的问题的处理用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精确度要求较高，
4、平行直线系 f(x,y) t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准.那么如何解决这一实际问题呢？确定最优整数解常按以下思路进行：(1)若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解（在包括边界的情况下） ；(2)若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线 l、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解.这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范.(3)采用优值调整法，此法的一般步骤为：先求出非整点最优解及其相应的最优值；调整最优值，代入约束条件，解不等式组；根据不等式组的解筛选出整点最优解.知能自主梳理线性规划解决的常见问题有
5、 问题、 问题、问题、 问题、 问题等.答案 物资调配 产品安排 合理下料 产品配方 方案设计思路方法技巧命题方向 求实际应用问题中的最大值例 1 某公司计划 2011 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？分析 设出未知数，列出约束条件，作出可行域，确定最优解.解析 设公司在甲、乙两个电视台
6、做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟，总收益为 z 元.由题意得x+y300500x+200y90000，目标函数为 z=3000x+2000y.x0， y0x+y300二元一次不等式组等价于 5 x+2y900 ，x0， y0作出可行域（如图所示） ，如上图，作直线 l:3000x+2000y=0,当直线 z=3000x+2000y 过点 M 时， z 最大.x+y=300由 ，得 M（100，200）.5x+2y=900 zmax=3000100+2000200=700 000(元).因此该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大值为 7
7、0 万元.说明 解答线性规划应用题应注意以下几点：（1）在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；（2）线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；（3)结合实际问题，分析未知数 x、 y 等是否有限制，如 x、 y 为正整数、非负数等；（4）分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；（5）图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范.但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解.变式应用 1 某
8、公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：单位产品所需资金（百元）资金空调机 洗衣机月资金供应量（百元）成本 30 20 300劳动力(工资) 5 10 110单位利润 6 8试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？解析 设生产空调机 x 台，洗衣机 y 台，则30x+20y30000，5 x+10y11000 x， yN,3x
9、+2y3000即 x+2y2200，利润 z=6x+8y.x,yN3x+2y=3000 x=400 由 ，得 .x+2y=2200 y=900画图可知当直线 6x+8y=z 经过可行域内点 A（400，900）时， z 取最大值，zmax=6400+8900=9600（百元）.答：当生产空调机 400 台，洗衣机 900 台时，可获最大利润 96 万元.命题方向 求实际应用问题中的最小值例 2 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C.一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个
10、单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？分析 可以先设出未知数，列出约束条件和目标函数，再在可行域内找出最优解.解析 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位，所花的费用为 z 元，则依题意得： z=2.5x+4y,且 x,y 满足x0， y0, x0， y012x+8y64. 即 3 x+2y16 .6x+6y42 x+y76x+10y5
11、4 3 x+5y27让目标函数表示的直线 2.5x4 y=z 在可行域上平移.由此可知 z=2.5x+4y 在 B(4,3)处取得最小值.(如图)因此，应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐，就可满足要求.变式应用 2 某公司租赁甲、乙两种设备生产 A、 B 两类产品，甲种设备每天能生产 A类产品 5 件和 B 类产品 10 件，乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元，设备乙每天的租赁费为 300 元.现该公司至少要生产 A 类产品50 件， B 类产品 140 件，所需租赁费最少为 元.答案 2300分析 甲、乙两
12、种设备每天生产 A 类、 B 类产品件数已知；甲、乙两种设备的租赁已知；生产 A 类、 B 类产品数量已知.解答本题可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解.解析 设需租赁甲种设备 x 台，乙种设备 y 台，租赁费 z 元，5x+6y50由题意得 10 x+20y140x,y0 且 x,yN,z=200x+300y.作出如图所示的可行域.令 z=0,得 l0:2x+3y=0,平移 l0可知，当 l0过点 A 时， z 有最小值.5x+6y=50又由 ，得 A 点坐标为（4，5）.10x+20y=140所以 zmax=4200+5300=2300.探索延拓创新命题方向 线性
13、规划中的整点问题例 3 要将两种大小不同的钢板截成 A、 B、 C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A 规格 B 规格 C 规格第一种钢板 2 1 2第二种钢板 1 2 3今需要 A、 B、 C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用钢板张数最少.解析 设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张.2 x+y15可得 x+2y18 ，且 x,y 都是整数，2x+3y27x0, y0求目标函数 z=x+y 取最小值时的 x,y.作出可行域如图所示：平移直线 z=x+y 可知直线经过点（ ，
14、）时， z 取最小值.此时 x+y= ，但5183957与 都不是整数，所以可行域内点（ ， ）不是最优解.如何求整点最优解呢？51839法一：平移求解法：首先在可行域内打网格，其次找出 A（ ）附近的所有整点，接着平移直线53918，l:x+y=0，会发现当移至 B（3，9） ， C（4，8）时，直线与原点的距离最近，即 z 的最小值为 12.法二：特值验证法:由法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点 A0（0，15） ， A1（1，13） ， A2（2，11） ， A3（3，9） ， A4（4，8） ，A5（5，8） ， A6（6，7）
15、， A7（7，7） ， A8（8，7） ， A9（9，6） ， A10（10，6） ， A27（27，0）.将这些点的坐标分别代入 z=x+y，求出各个对应值，经验证可知，在整点 A3（3，9）和 A4（4，8）处 z 取得最小值.法三：调整优值法:由非整点最优解（ ）知， z= ,5391， z12，令 x+y=12,则 y=12-x 代入约束条件整理，得 3 x ,29 x=3,x=4，这时最优整点为（3，9）和（4，8）.变式应用 3 某人有楼房一幢,室内面积共计 180 m2，拟分割成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为 18 m2，可住游客 5 名，每名旅客每天住宿费 40 元；小
16、房间每间面积为15 m2，可以住游客 3 名，每名游客每天住宿费为 50 元；装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？解析 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，收益为 z 元，则 x,y 满足18x+15y180 6x+5y601 000x+600y8 000，即 5 x+3y40x0， y0， x0， y0z=200x+150y.作出可行域，如图所示.当直线 z=200x+150y 经过可行域上的点 M 时， z 最大.6x+5y=60解方程组 ，得点 M 的坐标
17、为（ ） ，7602，5x+3y=40由于点 B 的坐标不是整数，而最优解（ x,y）是整点，所以可行域内点 M（ ）7602，不是最优解.经验证：经过可行域内的整点，且使 z=200x+150y 取得最大值，整点是（0，12）和（3，8） ，此时 zmax=1800 元.答：应只隔出小房间 12 间，或大房间 3 间、小房间 8 间，可以获得最大利润，最大利润为 1800 元.名师辨误做答例 4 已知一元二次方程 x2+ax+b=0 的一个根在-2 与-1 之间，另一个根在 1 与 2之间，如图示以 a,b 为坐标的点（ a,b）的存在范围.并求 a+b 的取值范围.误解 令 f（ x）=
18、x2+ax+b.由题设f（-2）0 2 a-b-40f（-1）0 ， a-b-10 ，f（1）0 a+b+10f（2）0 2 a+b+40 作出平面区域如图.令 t=a+b，则 t 是直线 b=-a+t 的纵截距，显然当直线 b=-a+t 与直线 a+b+1=0 重合时，t 最大， tmax=-1.当直线 b=-a+t 经过点（0，-4）时. t 最小， tmin=-4，-4 t-1.辨析 误解中忽视了点（ a,b）的存在范围不包含边界.正解 令 f（ x）= x2+ax+b.由题设f（-2）0 2 a-b-40f（-1）0， a-b-10f（1）0 a+b+10f（2）0 2 a+b+40
19、,作出平面区域如图.令 t=a+b，则 t 是直线 b=-a+t 的纵截距，显然当直线 b=-a+t 与直线 a+b+1=0 重合时，t 最大， tmax=-1.当直线 b=-a+t 经过点（0，-4）时.t 最小， tmin=-4，又点（ a,b）的范围是如图阴影部分且不含边界，-41,在约束条件 y mx，下，目标函数 z=x+5y 的最大值为4，x+y1则 m 的值为 .答案 3解析 本题是线性规划问题.先画出可行域，再利用最大值为4 求 m.由 m1 可画出可行域如图所示，则当直线 z=x+5y 过点 A 时 z 有最大值.由y=mx得 A( ),代入得 =4,1,15mx+y=1即解
20、得 m=3.11.某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送 180t 支援物资的任务，该公司有 8 辆载重为 6t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10t 的 B 型卡车，有 10 名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 4 次， B 型卡车 3 次，每辆卡车每天往返的成本费用为 A 型卡车为 320元， B 型卡车为 504 元.每天调配 A 型卡车 辆， B 型卡车 辆，可使公司所花的成本费用最低.答案 5 2 解析 设每天调出 A 型车 x 辆， B 型车 y 辆，公司所花的成本为 z 元，x8y4 0 x8 x+y10 0 y4依题意有 4 x6+3y10180 x+y10 .x
21、0, y0 4x+5y30x,yN x,yN目标函数 z=320x+504y(其中 x,yN).作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示，即可行域.由图易知，直线 z=320x+504y 在可行域内经过的整数点中，点（5，2）使 z320 x+504y取得最小值，z 最小值 320550422608（元）.12.购买 8 角和 2 元的邮票若干张，并要求每种邮票至少有两张.如果小明带有 10 元钱，共有 种买法答案 12解析 设购买 8 角和 2 元邮票分别为 x 张、 y 张，则0.8x+2y10 2 x+5y25x,yN ，即 x2 .x2, y2 y2x,yN2 x12，2 y5，当 y
22、=2 时，2 x15，2 x7，有 6 种；当 y=3 时，2 x10，2 x5，有 4 种；当 y=4 时，2 x5，2 x2， x=2 有一种；当 y=5 时，由 2x0 及 x0 知 x=0，故有一种.综上可知，不同买法有：6+4+1+1=12 种.三、解答题13.制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含 A 药品 3 g、 B 药品 4 g、 C 药品 4 g，乙种烟花每枚含 A 药品 2 g、 B 药品 11 g、 C 药品 6 g.已知每天原料的使用限额为 A 药品 120 g、 B 药品 400 g、 C 药品 240 g.甲种烟花每枚可获利 2 元，乙种烟花每枚可获利 1 元，问每天
23、应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大.解析 设每天生产甲种烟花 x 枚，乙种烟花 y 枚，获利为 z 元，则3x+2y1204x+11y4004x+6y240 ，作出可行域如图所示.x0y0目标函数为： z=2x+y.作直线 l：2 x+y=0，将直线 l 向右上方平移至 l1的位置时，直线经过可行域上的点 A 且与原点的距离最大.此时 z=2x+y 取最大值. 解方程组4x+6y-240=0 x=24得 .3x+2y-120=0 y=24故每天生产甲、乙两种烟花各 24 枚才能使获利最大.14.（2012开封高二检测）某人承包一项业务，需做文字标牌 4 个，绘画标牌 5 个，现有两种规格
24、的原料，甲种规格每张 3m2,可做文字标牌 1 个，绘画标牌 2 个，乙种规格每张2m2，可做文字标牌 2 个，绘画标牌 1 个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？解析 设需要甲种原料 x 张，乙种原料 y 张，则可做文字标牌（ x+2y）个，绘画标牌（2 x+y）个.2x+y5由题意可得： x+2y4 所用原料的总面积为 z=3x+2y,作出可行域如图.x0y0在一组平行直线 3x+2y=t 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线 2x+y=5 和直线 x+2y=4 的交点（2,1）,最优解为： x=2,y=1使用甲种规格原料 2 张，乙种规格原料 1 张，可使总
25、的用料面积最小.15.电视台某广告公司特约播放两部片集，其中片集甲每片播放时间为 20 分钟，广告时间1 分钟，收视观众为 60 万；片集乙每片播放时间为 10 分钟，广告时间为 1 分钟，收视观众为 20 万，广告公司规定每周至少有 6 分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于 86 分钟的节目时间（含广告时间）.（1）问电视台每周应播放两部片集各多少集，才能使收视观众最多？（2）在获得最多收视观众的情况下，片集甲、乙每集可分别给广告公司带来 a 和 b（万元）的效益，若广告公司本周共获得 1 万元的效益，记 S= + 为效益调和指数，求效a1b益调和指数的最小值.(取 1.41)2解析 （1）设片集甲、乙分别播放 x、 y 集，则有x+y621x+11y86，x,yN要使收视观众最多，则只要 z=60x+20y 最大即可.如图作出可行域，易知满足题意的最优解为（2，4） ，zmax=602+204200，故电视台每周片集甲播出 2 集，片集乙播出 4 集，其收视观众最多.（2）由题意得：2 a+4b=1,S= + =( + )(2a+4b)=6+ + 6+4 11.64（万元）.a1b2a4所以效益调和指数的最小值为 11.64 万元.
