1、2.3.1 平面向量基本定理学习目标: 1. 理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义2在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量3会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题学习重点：会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题学习难点：会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题一知识导学1.平面向量基本定理(1)定理：如果 e1， e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量 a， 实数 1， 2，使 a 1e1 2e2.(2)基底：把 的向量 e1， e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底2 两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个 向量 a
2、 和 b，作 a， b，则 (0 180)OA OB 叫做向量 a 与 b 的夹角范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是 当 0时， a 与 b 当 180时， a 与 b (2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90，则称 a 与 b 垂直，记作 _.二探究与发现【探究点一】 平面向量基本定理的提出(1)平面内的任何向量都能用这个平面内两个不共线的向量来表示如图所示， e1， e2是两个不共线的向量，试用 e1， e2表示向量 ， ， ， ， ， a.AB CD EF GH HG 通过观察，可得：_， _， _，AB CD EF _， _， a_.GH HG (2)平面向量基本定理的内容是什
3、么？什么叫基底？【探究点二】平面向量基本定理的证明(1)证明定理中 1， 2的存在性如图， e1， e2是平面内两个不共线的向量， a 是这一平面内任一向量， a 能否表示成 1e1 2e2的形式，请通过作图探究 a 与 e1、 e2之间的关系(2)证明定理中 1， 2的唯一性如果 e1、 e2是同一平面内的两个不共线的向量， a 是和 e1、 e2共面的任一向量，且存在实数 1、 2使 a 1e1 2e2，证明 1， 2是唯一确定的(提示：利用反证法)【探究点三】 向量的夹角(1)已知 a、 b 是两个非零向量，过点 O 作出它们的夹角 .(2)两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向
4、量夹角时，要注意什么事项？(3)在等边三角形 ABC 中，试写出下面向量的夹角：a ， ；AB AC b ， ；AB CA c ， ；BA CA d ， .AB BA 【典型例题】例 1 已知 e1， e2是平面内两个不共线的向量，a3 e12 e2， b2 e1 e2， c7 e14 e2，试用向量 a 和 b 表示 c.跟踪训练 1 如图所示，在平行四边形 ABCD 中， M， N 分别为 DC， BC 的中点，已知 c，AM d，试用 c， d 表示 ， .AN AB AD 例 2 如图，梯形 ABCD 中， AB CD，且 AB2 CD， M、 N 分别是 DC 和 AB 的中点，若
5、AB a， b，试用 a、 b 表示 、 、 .AD DC BC MN 跟踪训练 2 如图，已知 ABC 中， D 为 BC 的中点， E， F 为 BC 的三等分点，若 a， b，用 a、 b 表示 、 、 .AB AC AD AE AF 例 3 在 OAB 中， ， ， AD 与 BC 交于点 M，设 a， b，以 a， b 为基OC 14OA OD 12OB OA OB 底表示 .OM 跟踪训练 3 如图所示，已知 AOB 中，点 C 是以 A 为中心的点 B 的对称点， 2 ， DCOD DB 和 OA 交于点 E，设 a， b.OA OB (1)用 a 和 b 表示向量 、 ；OC
6、DC (2)若 ，求实数 的值OE OA 三、巩固训练1等边 ABC 中， 与 的夹角是 ( )AB BC A30 B45 C60 D1202设 e1、 e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： e1与 e1 e2； e12 e2与e22 e1； e12 e2与 4e22 e1； e1 e2与 e1 e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_(写出所有满足条件的序号)3如图，已知 a， b， 3 ，用 a， b 表示 ，则 _.AB AC BD DC AD AD 4已知 G 为 ABC 的重心，设 a， b.试用 a、 b 表示向量 .AB AC AG 四课堂小结1对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决
