1、第 2 课时 角度和物理问题知能目标解读1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解三角形的实际问题.2.学会处理测量角度问题等解三角形的实际问题.3.用解三角形的知识,解决有关的实际问题,目的是进一步巩固所学知识,提高分析和解决简单的实际问题的能力、动手操作能力以及用数学语言进行交流的能力,增强应用数学的意识,以达到学习数学的目的.重点难点点拨重点:构建数学模型探求角度测量方法. 难点:将实际问题抽象成数学模型.学习方法指导要测量角的大小,可利用测角仪或通过测量出距离计算角的大小,根据所测出的三角形中的量,运用正、余弦定理和三角形中的有关性质计算出所要求的角.在计算面积和航海问题中,也都与
2、求角的问题相联系.要清楚问题中的角的含义,如方向角、方位角、仰角、俯角等,根据已知线段和角以及要求的角,选择有充分条件的三角形求解.知能自主梳理1.测量角度就是在三角形内利用 和 求角的正弦值或余弦值,再根据需要求出所求的角.2.坡面和水平面的夹角叫做 .3.坡面的铅直高度与水平宽度之比(如图中的 ) ,叫做 .LH答案 1.正弦定理 余弦定理2.坡角3.坡比思路方法技巧命题方向 测量角度问题例 1 在南海伏季渔中,我渔政船甲在 A 处观测到一外国偷渔船乙在我船北偏东60的方向,相距 a 海里,偷渔船正在向北行驶,若我船速度是渔船速度的 倍,问我3船应沿什么方向前进才能追上渔船?此时渔船已行驶
3、多少海里?解析 如图所示,设乙船沿 B 点向北行驶的速度大小为 v,则甲船行驶的速度大小为 v,两船相遇的时间为 t,则 BC=vt,AC= vt,33在 ABC 中, ABC=120,AB=a,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos120,即3v2t2=a2+v2t2+vat,2 v2t2-vat-a2=0,解得 t1= ,t2=- (舍去).va BC=a, CAB=30.即甲船应沿北偏东 30的方向去追赶乙船,在乙船行驶 a 海里处相遇.说明 解答此类问题,首先应明确各个角的含义,然后分析题意,分清已知和所求,再根据题意画出正确的示意图,将图形中的已知量与未知量之间的关系
4、转化为三角形的边与角的关系,运用正、余弦定理求解变式应用 1在地面上某处,测得塔顶的仰角为 ,由此处向塔走 30 米,测得塔顶仰角为 2 ,再向塔走 10 米,测得塔顶仰角为 4 ,试求角 的度数.3分析 如图所示,求角 ,必须把角 、2 、4 和边长 30、10 尽量集中3在一个三角形中,利用方程求解.解析 解法一: PAB= , PBC=2 , BPA=, BP=AB=30,又 PBC=2, PCD=4, BPC=2 , CP=BC=10 ,3在 BPC 中,根据正弦定理得:,4sin2iPBC即 = ,i310i ,3102sinco由于 sin2 0,cos2 = ,20OB, ABO
5、=25.49或 ABO=154.51,当 ABO=25.49时, AOB=136.51,AB= 4.7710 8(km).18sin当 ABO=154.51时, AOB=7.49,AB= 9.0310 7(km).iAOB答:此时地球与金星之间的距离约为 4.77108km 或 9.03107km.名师辨误做答例 4 海岸 A 处,发现北偏东 45方向,距 A 处( -1)n mile 的 B 处有一艘3走私船,在 A 处北偏西 75的方向,距离 A 处 2n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 n 3mile/h 的速度追截走私船.此时,走私船正以 10n mile/h 的速度从 B
6、处向北偏东 30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?误解 缉私船用 t 小时,在 D 处追上走私船,在 ABC 中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos CAB=( -1) 2+22-2( -1)2cos1206,33 BC= .6在 BCD 中, BD=10t,CD=10 t,3由余弦定理,得 CD2=BC2+BD2-2BCBDcos CBD,(10 t) 2=6+(10t) 2-2 10t(- ) ,3621整理,得 100t2-5 t-3=0,解得 t= .106 BD= ,又 BC= , CBD=120. BCD= BDC=30.故缉私船沿东偏北 30的方向
7、能最快追上走私船. 辨析 述解法错误的原因在于默认为 CBD=120,而没有给出证明,并且多余的求出时间 t. 正解 缉私船用 t 小时在 D 处追上走私船.在 ABC,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB =( -1) 2+22-2( -1)2cos1206,33 BC= .6在 BCD 中,由正弦定理,得sin ABC= sin BAC= ,BCA2 ABC=45, BC 与正北方向垂直. CBD=120.在 BCD 中,由正弦定理,得,Dsinsi ,BCti102i310sin BCD= , BCD=30.故缉私船沿东偏北 30的方向能最快追上走私船.课堂巩固训
8、练一、选择题1.在某测量中,设 A 在 B 的南偏东 3427,则 B 在 A 的( )A.北偏西 3427 B.北偏东 5533C.北偏西 5532 D.南偏西 5533答案 A2.如果在测量中,某渠道斜坡的坡比为 ,设 为坡角,那么 cos 等于( )43A. B. 53 5C. D. 4 3 答案 B 解析 由题意,得 tan= , ,434cosin ,即 ,169cosin2169cos2 为锐角,cos= .53.一船以 22 km/h 的速度向正北航行,在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 45,1 小时 30 分后航行到 B 处,在 B 处看灯塔 S 在船的南偏东 15,则灯塔
9、S 与 B 之间的距离为 ( )A.66 km B.132 kmC.96 km D.33 km答案 A解析 如图, ASB=180-15-45=120,AB=22 ,632由正弦定理,得 ,45sin10si6SB SB=66km.二、填空题4.一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120的方向航行,已知河水流速为 2 km/h,则经过 h,该船实际航程为 .3答案 6 km解析 如图,水流速和船速的合速度为 v,在 OAB 中: OB2=OA2+AB -2OAABcos60, OB=v=2 km/h.3即船的实际速度为 2 km/h,则经过 h,其路程为 2 =6 km.335.一
10、只蚂蚁沿东北方向爬行 xcm 后,再向右转 105爬行 20cm,又向右转 135,这样继续爬行可回到出发点处,那么 x= .答案 cm360解析 如图 ABC 中, A=451560, B=45+30=75, ACB=45,由正弦定理知 ,ACBxsin20si x= .3620课后强化作业一、选择题1.已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60,则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A.北偏东 10 B.北偏西 10C.南偏东 10 D.南偏西 10答案 B解析 如图,由题意知 ACB=180-40-60
11、80, AC=BC, ABC=50, =60-50=10.2.甲船在 B 岛的正南 A 处, AB=10km,甲船以 4 km/h 的速度向正北航行,同时,乙船自 B岛出发以 6km/h 的速度向北偏东 60的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们航行的时间是 ( )A. min B. h7150 715C.21.5min D.2.15h答案 A解析 如图,设经过 x 小时时距离为 s,则在 BPQ 中,由余弦定理知:PQ2=BP2+BQ2-2BPBQcos120,即 s2=(10-4x) 2+(6x) 2-2(10-4x)6x(- )21=28x2-20x+100.当 x=- 时, s2最小
12、,此时 x= h= min.145ab45703.如图所示, B、 C、 D 三点在地面同一直线上, DC=a,从 C、 D 两点测得 A 点的仰角分别为 、 ( ),则 A 点离地面的高 AB 等于( )A. B. sina cosinaC. D. ico答案 A解析 由 tan = ,tan = ,联立解得 AB .CBaAsina4.一质点受到平面上的三个力 、 、 (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知1F23 、 成 60角,且 、 的大小分别为 2 和 4,则 的大小为 ( )1F2 3FA.6 B.2C.2 D.25 7答案 D解析 由题意,得 + + 0,1F23 、 - ,
13、1F23( + )2= 2, + 2+2 2,1F123F4+16+224cos60 2, 228,3| |=2 .故选 D.F75.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60方向上,另一灯塔在船的南偏西 75方向上,则这艘船的速度是每小时( )A.5 海里 B.5 海里3C.10 海里 D.10 海里答案 C解析 如图,依题意有 BAC=60, BAD=75, CAD= CDA=15,从而 CD=CA=10,在 Rt ABC 中,求得 AB=5,这艘船的速度是 =10(海里/小时).5.06.江岸边有一炮台高
14、30 米,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为 45和 30,而且两条船与炮台底部连线成 30角,则两条船相距( )A.10 米 B.100 米3 3C.20 米 D.30 米答案 D解析 设炮台顶部为 A,两条船分别为 B,C,炮台底部为 D,可知 BAD=45, CAD=60, BDC=30, AD=30.分别在 Rt ADB,Rt ADC 中,求得 BD=30,DC=30 .在 DBC3中,由余弦定理得 BC2=DB2+DC2-2DBDCcos30,解得 BC=30.7.如图,在一幢 20m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为 60,底部的俯角为 45,那么这座塔吊的高是( )A.20(
15、1+ )m B.20(1+ )m3 3C.10( )m D.20( )m26 26答案 B解析 由仰角与俯角的意义可知, DAE=60, EAC45,又 EC20m, BC=AE=20m,在 AED 中, DE=AEtan6020 m.3塔吊的高度是 20(1+ )m.8.如下图所示,一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75距塔 68海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为( )A. 海里/小时 B.34 海里/小时2617 6C. 海里/小时 D.34 海里/小时2答案 A解析 由题意知 PM=68, MPN=120, N
16、=45,由正弦定理知 MN=68 =34 ,120sin45iMP236速度为 (海里/小时).673二、填空题9.一角槽的横断面如图所示,四边形 ABED 是矩形,已知 DAC=50, CBE=70,AC=90, BC=150,则 DE= .答案 210解析 由题意知 ACB=120,在 ACB 中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB=902+1502-290150(- )44100.21 AB=210,DE=210.10.在静水中划船的速度是每分钟 40m,水流的速度是每分钟 20m,如果船从岸边 A 处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船前进的方向指向河
17、流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为 .答案 30解析 水流速度与船速的合速度为 v,方向指向河岸,如图由题意可知 sin =2140船水v =30.11.有一长为 100 米的斜坡,它的倾斜角为 45,现在要把倾斜角改成 30,则坡底要伸米.答案 50( )26解析 如图所示,在 ABC 中, C=90, ABC=45,AB=100, AC=50 .2又在 ACD 中, ADC=30, DAB=45-3015.sin15=sin(45-30)= .426在 ABD 中,由正弦定理,得,ADBBsinsi BD= =50( )(米).214603i5102612.在灯塔上面相距 50 米的两点
18、 A、 B,测得海内一出事渔船的俯角分别为 45和 60,试计算该渔船离灯塔的距离 . 答案 25( +1) (米)3 解析 由题意,作出图形如图所示,设出事渔船在 C 处,根据在 A 处和 B 处测得的俯角分别为 45和 60,可知 CBD=30, BAC=45+90=135, ACB=180-135-30=15,又 AB=50,在 ABC 中,由正弦定理,得 ,30sin15iAC AC= 25( ) (米).4261501sin3AB26出事渔船离灯塔的距离 CD= (米).13525AC三、解答题13.甲船在 A 处遇险,在甲船西南 10 海里 B 处的乙船收到甲船的求救信号后,测得甲
19、船正沿着北偏西 15的方向,以每小时 9 海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在 40 分钟内追上甲船,问乙船应以多大速度、向何方向航行?(注:sin2147= )143分析 解答本题可先画示意图,然后运用余弦定理求解速度,用正弦定理求乙船的航向.解析 设乙船速度为 v 海里/时,在 ABC 中,由余弦定理可知:BC2=AC2+AB2-2ACABcos CAB, 120cos9321093v v=21 海里/时.又由正弦定理可知: ,BACsinsisin B= ,14320i139nCA B2147,即乙船应按北偏东 4521472313的方向航行.14.A、 B 是海平面上的两个点,相距 80
20、0 m,在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45, BAD=120,又在 B 点测得 ABD=45,其中 D 是点 C 到水平面的垂足,求山高 CD.解析 如图,由于 CD平面 ABD, CAD=45,所以 CD=AD.因此,只需在 ABD 中求出AD 即可.在 ABD 中, BDA=180-45-120=15,由 (m).138042615sin45sin1i ABDAB得 CD平面 ABD, CAD=45, CD=AD=800( +1)2 186(m).3答:山高 CD 为 2 186 m.15.如图所示,海中一小岛周围 3.8 n mile 内有暗礁,一船从 A 由西向东航行望见此岛在北
21、75东.船行 8 n mile 后,望见此岛在北 60东,如果该船不改变航向继续前进,有没有触礁的危险.解析 在 ABC 中, AC=8, ACB=90+60=150, CAB=90-75=15, ABC=15. ABC 为等腰三角形, BC=AC=8,在 BCD 中, BCD=30,BC=8, BD=BCsin30=43.8.故该船没有触礁危险.16.如图所示, A、 B 两个小岛相距 21n mile,B 岛在 A 岛的正南方,现在甲船从 A 岛出发,以 9n mile/h 的速度向 B 岛行驶,而乙船同时以 6n mile/h 的速度离开 B 岛向南偏东 60方向行驶,问行驶多少时间后,两船相距最近,并求出两船的最近距离.解析 行驶 t 小时后,甲船行驶了 9tn mile 到达 C 处,乙船行驶了 6tn mile 到达 D处.当 9t3 .37721当 t 时, BC=9t-21,则 CD2=(9t-21) 2+(6t) 2-2(9t-21)6 tcos6063 t2-252t+441=63(t-2) 2+189189.综上可知, t=2 时, CD 取最小值 3 ,故行驶 2h 后,甲、乙两船相距最近为 3 n 21 21mile.