1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【学习要求】1掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式2会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明学习重点：面向量数量积的运算律及常用的公式学习难点：利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明【学法指导】引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是非常必要的向量 a、b 的数量积 ab 虽与代数中数 a、b 的乘积 ab 形式相似，实质差别很大实数中的一些运算性质不能随意简单地类比到向量的数量积上来例如，ab0 不能推出 a0 或b0；abbc ac；(ab)ca(bc)也未必成立.一知识导学1向量的数量积(内积)_叫做向量 a 和 b 的数量积(或
2、内积)，记作 ab.即ab_叫做向量 a 在 b 方向上的投影，_叫做向量 b在 a 方向上的投影2向量数量积的性质设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量(1)aeea_；(2)abab_且 ab_ab；(3)aa_或|a|_；(4)cosa，b_；(5)|ab|_|a|b|.3向量数量积的运算律(1)ab_ (交换律)；(2)(a)b_(结合律)；(3)(ab)c_(分配律).二探究与发现【探究点一】向量数量积运算律的提出问题 1 类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：问题 2 在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再
3、成立的有哪些？试各举一反例说明【探究点二】向量数量积的运算律已知向量 a，b，c 和实数 ，向量的数量积满足下列运算律：运 算 律 实 数 乘 法 向 量 数 量 积 判 断正 误 交 换 律 ab ba 结 合 律 (ab)c a(bc) 分 配 律 (a b)c ac bc 消 去 律 ab bc( 0) a c abba(交换律)；(a)b(ab)a(b)(数乘结合律)；(ab)cacbc(分配律)【探究点三】平面向量数量积的运算性质实数中，某些多项式乘法公式“移植”到平面向量的数量积运算中仍然成立，请你根据下面多项式乘法中的一些乘法公式类比相应的向量数量积的运算性质.表中的结论可以用作
4、公式使用：例如，若向量 a、b、c 满足 abc0 且|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca_.【典型例题】例 1 给出下列结论：若 a0，ab0，则 b0；若 abbc，则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0，其中正确结论的序号是_跟踪训练 1 设 a，b，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：acbc(ab)c；(bc)a(ca)b 不与 c 垂直；|a|b|ab|；(3a2b)(3a2b)9|a| 24|b| 2.其中正确的序号是_例 2 已知|a|6，|b|4，a 与 b 的夹角为 60，求(a2b)(a3b)多 项 式 乘 法 向 量 数 量 积
5、 (a b)2 a2 ab b2 (a b)2 a2 ab b2 (a b)(a b) a2 b2 (a b c)2 a2 b2 c22ab 2 2a 跟 踪 训 练 2 已 知 向 量 a与 b的 夹 角 为 120， 且 |a| 4， |b| 2， 求 ：(1)(2ab)(a3b)；(2)|3a4b|.例 3 已知|a|3，|b|4，且 a 与 b 不共线，k 为何值时，向量 akb 与 akb 互相垂直跟踪训练 3 已知 e1与 e2是两个互相垂直的单位向量，k 为何值时，向量 e1ke 2与ke1e 2的夹角为锐角？三、巩固训练1已知|a|2，|b|1，a 与 b 之间的夹角为 60，
6、那么向量 a4b 的模为 ( )A2 B2 C6 D1232已 知 |a| 1， |b| ， 且 (a b)与 a 垂 直 ， 则 a 与 b 的 夹 角 是2( )A60 B30 C135 D453设|a|3，|b|2，|c|5，向量 a 与 b 的夹角为 ，向量 b 与 c 的夹角为 ，则 6 3|(ab)c|_；|a(bc)|_.四、小结：1两向量 a 与 b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当 a0，b0,090时)，也可以为负(当 a0，b0,90180时)，还可以为 0(当 a0或 b0 或 90时)2数量积对结合律一般不成立，因为(ab)c|a|b|cosa，bc 是一个与 c 共线的向量，而(ac)b|a|c|cosa，cb 是一个与 b 共线的向量，两者一般不同3在实数中，若 ab0 则 a0 或 b0，但是在数量积中，即使 ab0，也不能推出a0 或 b0，因为其中 cos 有可能为 0.4在实数中，若 abbc，b0 则 ac，在向量中 abbc，b0 ac.
