1、第 6 讲 正弦定理和余弦定理A 级 基础演练 (时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2b 2 bc，sin 3C2 sin B，则 A ( 3)A30 B60 C120 D150解析 由 a2b 2 bc，sin C2 sin B，得 a2 bcb 2， 2 .由余弦3 3 3cb 3定理，得 cos A ，所以b2 c2 a22bc c2 3bc2bc c2b 32 3 32 32A30 ，故选 A.答案 A2.(2012四川 )如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA至 E，
2、使 AE1，连结 EC、ED，则 sinCED( )A. B.31010 1010C. D.510 515解析 依题意得知，CD1，CE ，DE ，cosCEDCB2 EB2 5 EA2 AD2 2 ，所以 sinCED ，选 B.CE2 ED2 CD22CEED 31010 1 cos2CED 1010答案 B3在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若角 A，B，C 依次成等差数列，且 a1，b ，则 SABC ( 3)A. B. C. D22 332解析 A ，B，C 成等差数列， AC 2B ， B60.又 a1，b ， ，3asin A bsin Bsin A ，
3、asin Bb 32 13 12A30，C90.S ABC 1 .12 3 32答案 C4(2012湖南 )在ABC 中， AC ，BC2，B60，则 BC 边上的高等于 ( 7)A. B. C. D.32 332 3 62 3 394解析 设 ABc ，BC 边上的高为 h.由余弦定理，得 AC2c 2BC 22BCc cos 60，即7c 244ccos 60 ，即c22c30，c 3(负值舍去)又 hcsin 603 ，故选 B.32 332答案 B二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若(a 2c 2b 2)tan B ac
4、，则角 B 的值为 _3解析 由余弦定理，得 cos B ，结合已知等式得a2 c2 b22accos Btan B ， sin B ，B 或 .32 32 3 23答案 或3 236(2012福建 )已知ABC 的三边长成公比为 的等比数列，则其最大角的余弦2值为_解析 依题意得， ABC 的三边长分别为 a， a,2a(a0)，则最大边 2a 所对2的角的余弦值为： .a2 2a2 2a22a 2a 24答案 24三、解答题(共 25 分)7(12 分)(2012 辽宁)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.角A，B ，C 成等差数列(1)求 cos B 的值；(2)边
5、 a，b， c 成等比数列，求 sin Asin C 的值解 (1)由已知 2BAC，三角形的内角和定理 AB C180 ，解得B60 ，所以 cos Bcos 60 .12(2)由已知 b2 ac，据正弦定理，得 sin2Bsin Asin C，即 sin Asin Csin 2B1cos 2B .348(13 分)(2012 浙江)在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知cos A ，sin B cos C.23 5(1)求 tan C 的值；(2)若 a ，求ABC 的面积2解 (1)因为 0A，cos A ，23得 sin A .1 cos2A53又 cos C
6、sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C5 cos C sin C.53 23所以 tan C .5(2)由 tan C ，得 sin C ，cos C .556 16于是 sin B cos C .556由 a 及正弦定理 ，得 c .2asin A csin C 3设ABC 的面积为 S，则 S acsin B .12 52B 级 能力突破( 时间：30 分钟 满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1在ABC 中，A60，且最大边长和最小边长是方程 x27x 110 的两个根，则第三边的长为 ( )A2 B3 C4 D5解析 由 A60，不妨设A
7、BC 中最大边和最小边分别为 b，c ，故bc7，bc11.由余弦定理得 a2b 2c 22bc cos 60(bc)23bc7 2 31116， a4.答案 C2(2013豫北六校联考 )已知ABC 的面积为 ，AC ，ABC ，则32 3 3ABC 的周长等于 ( )A3 B33 3C2 D.3332解析 由余弦定理得 b2a 2c 22ac cos B，即 a2c 2ac3.又ABC 的面积为 acsin ，即 ac2，所以 a2c 22ac9，所以 ac3，即12 3 32acb3 ，故选 A.3答案 A二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3在 RtABC 中，C90，且 A，B
8、，C 所对的边 a，b，c 满足 abcx ，则实数 x 的取值范围是 _解析 x sin Acos A sin .又a bc sin A sin Bsin C 2 (A 4)A ， c2，则 C2 c，则 C2若(a 2b 2)c23解析 由 abc2，得c 2ab，由余弦定理可知 cos C a2 b2 c22ab ，因为 C(0，)，函数 ycos x 在(0，)上是减函数，所以2ab ab2ab 12C 3 a2 b2 c22ab a2 b2 (a b2 )22ab ，所以 Cc2，转化为命题，故错误因为(a 2b 2)2aba b 2ab2ab abc2c2，转化为命题 ，故错2a2
9、b2a2 b2 2a2b22ab误答案 三、解答题(共 25 分)5(12 分)(2012 郑州三模 )在ABC 中，角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，点( a， b)在直线 x(sin A sin B)ysin Bcsin C 上(1)求角 C 的值；(2)若 a2b 2 6(ab)18 ，求ABC 的面积解 (1)由题意得 a(sin A sin B)bsin Bcsin C ，由正弦定理，得 a(ab) b 2c 2，即 a2b 2c 2ab，由余弦定理，得 cos C ，a2 b2 c22ab 12结合 0C，得 C .3(2)由 a2b 2 6(ab)18 ，得(a3) 2
10、(b3) 20 ，从而得 ab3，所以ABC 的面积 S 32sin .12 3 9346(13 分)(2012 江西)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知A ，bsin csin a.4 (4 C) (4 B)(1)求证：BC ；2(2)若 a ，求ABC 的面积2(1)证明 由 bsin csin a 应用正弦定理，得 sin (4 C) (4 B)Bsin sin C sin sin A，(4 C) (4 B)sin B sin C ，(22sin C 22cos C) ( 22sin B 22cos B) 22整理得 sin Bcos Ccos Bsin C1，即 sin(BC)1.由于 0B，C ，从而 BC .34 2(2)解 BC A ，因此 B ，C .34 58 8由 a ，A ，24得 b 2sin ，c 2sin ，asin Bsin A 58 asin Csin A 8所以ABC 的面积 S bcsin A sin sin12 2 58 8 cos sin .28 8 12特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
