1、有理数一章中数学思想方法大盘点数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，教材中没有专门的章节介绍它，而是伴随着基础知识的学习而展开的.在学习中一定要重视对常用数学思想方法的总结与提炼，它们是数学的精髓，是解题的指导思想，更能使人受益终身.有理数中常用的数学思想方法有：一、 数形结合的思想方法数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来，分析、研究、解决问题的一种思想方法，是数学中最常用的方法.我国著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.数形结合，相得益彰.利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简.用数轴上的点表示有理数，就是简单的数形结合思想的体现.用数轴上的点
2、表示有理数，对于理解有理数的绝对值、相反数等概念以及比较有理数的大小等，更具有直观性.例 1 数 a 在数轴上的位置如图 1 所示，试把 a，a 的相反数、 a 的倒数和 a 的倒数的绝对值按从小到大的顺序用“”连接起来.分析：首先在数轴上找到 a 的相反数、a 的倒数和 a 的倒数的绝对值的位置，然后利用数轴比较它们的大小.解：因为 a 的相反数是-a，a 的倒数是 ，a 的倒数的绝对值是| |，由图 1 可知：1-1a 0，所以 0-a 1， -1 ，| |1.所以 a-a| |.1二、 分类讨论的思想方法某些数学问题，涉及到的概念、法则、性质、公式是分类给出的，或在解答过程中，条件或结论
3、不惟一时，会产生几种可能性，就需要分类讨论，从而得出各种情况下的结论.这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想，其作用是考察学生思维的周密性，使其克服思维的片面性，防止漏解.在有理数一章中研究相反数、绝对值、有理数乘方运算的符号法则等，都是将有理数分成正数、负数、零三类分别研究的.分类必须遵循下列两条原则：（1）每一次分类要按照同一标准进行；（2）分类要做到不重复、不遗漏.例如，把有理数分为正数和负数两类就错了，错误原因是漏掉了零.例 2 比较 3a 和-3a 的大小.分析：由于题中没有给出 a 的取值范围，故需分三种情况来进行讨论.解：（1）当 a0 时，3a0，-3a0，3a-3a ；（2）
4、当 a=0 时，3a =0，-3a =0， 3a =-3a；（3）当 a0 时，3a0，-3a0，3a-3a.三、逆向思考的思想方法本章中的运算法则均以等式的形式出现，对于这些法则，不仅要会正向应用，而且还要能够逆向运用.例 3 计算：（-2） 2006+（-2） 2007=（ ）.A、-2 4013 B、-2 C、-2 2006 D、2 2006分析：本题乍一看很难下手，但又一想， （-2） 2007=（-2） 2006+1=（-2） 2006（-2） ，即逆用乘方的概念，而（-2） 2006+ （-2） 2006（-2） ，再逆用乘法对加法的分配律，即可求解.解：原式=（-2） 2006+
5、 （-2） 2006（-2）=（-2） 2006（1-2）=-（-2） 2006，选 C.四、 方程的思想方法 方程思想是指把一个数学问题通过适当的途径转化为方程（组） ，从而使问题得到解決的数学思想方法。它在探索解题思路时经常使用，尤其对解決与数量有关的数学问题时行之有效.例 4 （浙江省 绍兴市中考题）在等式 的两个方格内分别填入一个3215数，使这两个数是互为相反数且等式成立.则第一个方格内的数是_.分析：设这个数为 x，则它的相反数是-x，代入得：3x-2 （-x）15，即3x+2x15，5x15，解得 x3.因此第一个方格内的数是 3.五、转化的思想方法所谓转化思想，就是把所要解决的
6、问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识” ，把“未知”转化为“已知” ，把“复杂”转化为“简单” ，把“陌生”转化为“熟悉”.一言以蔽之，数学解题过程的实质就是转化过程.通过有理数一章的学习，我们知道，有理数实质就是比小学学过的数多了一类数负数.任何一个非零有理数都是由符号和绝对值两部分构成的，有理数的各种运算都是先确定符号再计算绝对值.而符号确定以后，绝对值的计算就是小学学过的数的计算.又如，有理数的减法是转化为有理数的加法来进行计算的，有理数的除法是转化为有理数的乘法来进行计算的.例 5 比较 与 的大小.2134分析：因为 = =1- ，
7、 = =1- ，22314334所以要比较它们的大小，应转化为比较 和 的大小.解：用求差法.- =（1- ）-（1- ）= -2134233423= - 0. 689 .2六、实验、观察、猜想、论证的思想方法 实验、观察、猜想、论证是解決数学问题的重要思想方法。实验是基础，在实验中要注意分析和观察规律；观察是关键，在观察中要透过现象看本质，从特殊中找出一般；猜想是核心，会推理判断，能归纳猜想，就能有所发现；论证是结果，是对实验、观察、猜想的科学总结.例 6 （江苏省泰州市中考题） 如图 2，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含 的等式表示第 个正方形点阵中的规
8、律 nn分析：通过仔细观察分析，寻找规律，充分体现了不完全归纳法在找规律题中的应用.从多角度思考，可得到如下多种解法（到高中阶段你就可以对结论进行证明）：方法 1：（递推法）0+1=1 2， （0+1）+（1+2）=2 2， （0+1+2）+（1+2+3 ）=32， （0+1+2+3 ）+ （1+2+3+4 ）=4 2，0+1+2+（n-1） +（1+2+3+n）=n 2.方法 2：（拆数法）1=1 2，1+3=2 2，1+3+5=3 2，1+3+5+7=4 2，1+3+5+（2n-1）=n 2.方法 3：（拼图法）将线下 n 个点拿去，移动后可拼成一个矩形，其宽有（n-1）个点，长为 n 个点，因此共有 n+n（n-1 ）=n 2 个点.方法 4：（相加法）第 n 个正方形直线上方点的总数为 1+2+3+n-1= ，直2)1(n线下方点的总数为 1+2+3+n= ，故第 n 个正方形点阵中总点数为 +2)1(，即 n2.因此规律为 + = n2.)1(说明：这是一道设计新颖、具有一定挑战性的问题.其解题思路比较宽，解法较多，但阅卷中发现，许多学生对这类探索题感到比较棘手，得分率较低.希望你再去研究本题的其他解法，与你的同伴交流.
