1、 圆的方程知识梳理1.圆的方程（1）圆的标准方程圆心为（a，b） ，半径为 r 的圆的标准方程为（xa） 2+（yb） 2=r2.说明：方程中有三个参量 a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆.（2）圆的一般方程二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0.（*）将（*）式配方得（x+ ） 2+（ y+ ） 2= .DE42D当 D2+E24F0 时，方程（ *）表示圆心（ ， ） ，半径 r=2DE21的圆，把方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0（D 2+E24F0）叫做圆的一般方程.说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：a.x2、y 2 项系数相等且不为零.b.没有 xy 项.（
2、2）当 D2+E24F=0 时，方程（*）表示点（ ， ） ，当 D2+E24F0 时，2方程（*）不表示任何图形.（3）据条件列出关于 D、E、 F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程.（3）圆的参数方程圆心在 O（0，0） ，半径为 r 的圆的参数方程为x=rcos ，y=rsin 圆心在 O1（a，b） ，半径为 r 的圆的参数方程为x=a+rcos ，y=b+rsin说明：在中消去 得 x2+y2=r2，在中消去 得（xa） 2+（yb） 2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.2.二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件若上述
3、二元二次方程表示圆，则有 A=C0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.在 A=C0，B=0 时，二元二次方程化为 x2+y2+ x+ y+ =0，DAEF仅当（ ） 2+（ ） 24 0，即 D2+E24AF0 时表示圆.DEAF故 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是：A =C0， B=0，D 2+E24AF0.点击双基（ 为参数）. （ 为参数）. 1.方 程 x2+y2 2（ t+3） x+2（ 1 4t2） y+16t4+9=0（ t R） 表 示 圆 方 程 ， 则 t 的 取 值 范 围 是A.10，得 7t26t10） ，下列结论错误的
4、是A.当 a2+b2=r2 时，圆必过原点B.当 a=r 时，圆与 y 轴相切C.当 b=r 时，圆与 x 轴相切D.当 b0）为两定点，动点 P到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a（a0） ，求 P 点的轨迹.剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.解：设动点 P 的坐标为（x ，y ） ，由 =a（a0）得 =a，化简，得|B2)(ycx（1a 2）x 2+2c（1+ a2）x +c2（1a 2）+（1a 2）y 2=0.当 a=1 时，方程化为 x=0.当 a1
5、时，方程化为（x c） 2+y2=（ ） 2.21c所以当 a=1 时，点 P 的轨迹为 y 轴；当 a1 时，点 P 的轨迹是以点（ c，0）为圆心，| |为半径的圆.12a12ac评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.【例 2】 一圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3y=0 上，且直线 y=x 截圆所得弦长为 2，求此圆的方程.7剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x3y =0 上，故设圆方程为（ x3b） 2+（y
6、b）2=9b2.又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 ，7则有（ ） 2+（ ） 2=9b2，|3|b解得 b=1.故所求圆方程为（x3） 2+（y 1） 2=9 或（x+3） 2+（y+1） 2=9.评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r 或 D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.【例 3】 已知 O 的半径为 3，直线 l 与O 相切，一动圆与 l 相切，并与O 相交的公共弦恰为O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程 .剖 析 ： 问 题 中
7、的 几 何 性 质 十 分 突 出 ， 切 线 、 直 径 、 垂 直 、 圆 心 ， 如 何 利 用 这 些 几 何性 质 呢 ？解：取过 O 点且与 l 平行的直线为 x 轴，过 O 点且垂直于 l 的直线为 y 轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为 M（x，y） ，O 与M 的公共弦为 AB， M 与 l 切于点 C，则|MA|=|MC|.ABCMO xy lAB 为O 的直径，MO 垂直平分 AB 于 O.由勾股定理得|MA |2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=| y+3|， =|y+3|.92x化简得 x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.评述：求轨迹的步骤是“建系
8、，设点，找关系式，除瑕点”.闯关训练夯实基础1.方 程 x2 y2 Dx Ey F 0（ D2 E2 4F 0） 表 示 的 曲 线 关 于 x+y=0 成 轴 对 称图 形 ， 则A.D+E=0B. B.D+F=0C.E+F=0 D. D+E+F=0解析：曲线关于 x+y=0 成轴对称图形，即圆心在 x+y=0 上.答案：A2.（2004 年全国，8）在坐标平面内，与点 A（1，2）距离为 1，且与点 B（3，1）距离为 2 的直线共有A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条解析：分别以 A、B 为圆心，以 1、2 为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.（2005 年黄
9、冈市调研题）圆 x2+y2+x6y +3=0 上两点 P、Q 关于直线 kxy+4=0 对称，则 k=_.解析：圆心（ ，3）在直线上，代入 kxy+4=0，得 k=2.21答案：24.（2004 年全国卷，16）设 P 为圆 x2+y2=1 上的动点，则点 P 到直线 3x4y10=0的 距离的最小值为_.解析：圆心（0，0）到直线 3x4y10=0 的距离 d= =2.5|10再由 dr=2 1=1，知最小距离为 1.答案：15.（2005 年启东市调研题）设 O 为坐标原点，曲线 x2+y2+2x6y +1=0 上有两点P、Q，满足关于直线 x+my+4=0 对称，又满足 =0.PQ（1
10、）求 m 的值；（2）求直线 PQ 的方程.解：（1）曲线方程为（x+1） 2+（y3） 2=9 表示圆心为（1，3） ，半径为 3 的圆.点 P、Q 在圆上且关于直线 x+my+4=0 对称，圆心（1，3）在直线上.代入得 m=1.（2）直线 PQ 与直线 y=x+4 垂直，设 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2） ，PQ 方程为 y=x+b.将直线 y=x+b 代入圆方程，得 2x2+2（4b）x+b 26b+1=0. =4（4b） 242（b 26b+1）0 ，得 23 ， 所 以 M2 在 圆 C2450外 .（理）已知动圆 M：x 2+y22mx2ny+m 21=0 与圆 N
11、： x2+y2+2x+2y2=0 交于 A、B两点，且这两点平分圆 N 的圆周 .（1）求动圆 M 的圆心的轨迹方程；（2）求半径最小时圆 M 的方程 .解 ： （ 1） 如 图 所 示 （ 坐 标 系 省 略 了 ） ， 圆 心 N（ 1， 1） 为 弦 AB 的 中 点 ， 在 Rt AMN中 ，的解，即圆心坐标为（1，0）.ABMN|AM|2=|AN|2+|MN|2，（m+1） 2=2（n+2）.（*）故动圆圆心 M 的轨迹方程为（ x+1） 2=2（y +2）.（2）由（*）式，知（m+1） 2=2（n+2）0，于是有 n2.而圆 M 半径 r= ，125当 r= 时， n=2，m=1
12、，所求圆的方程为（x+1） 2+（y+2） 2=5.5探究创新9.（2005 年黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系 xOy 中，xOy =60，平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若 =xe1+ye2（其中 e1、e 2 分别为与 x 轴、y 轴同方向的单位向量） ，则 P 点斜坐标为O（x，y）.O x y 60 o（1）若 P 点斜坐标为（2，2） ，求 P 到 O 的距离|PO|；（2）求以 O 为圆心，1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程.解：（1）P 点斜坐标为（2，2） ， =2e12e 2.| |2=（2e 12e 2） 2=88e 1e2=88cos6
13、0=4.| |=2，即|OP|=2.OP（2）设圆上动点 M 的斜坐标为（ x，y） ，则 =xe1+ye2.OM（xe 1+ye2） 2=1.x 2+y2+2xye1e2=1.x 2+y2+xy=1.故所求方程为 x2+y2+xy=1.思悟小结1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r 或 D、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于 a、b、r（或 D、E、F）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间
14、的关系，通常选用标准方程） ；（2）根据所给条件，列出关于 D、E、F 或 a、b、r 的方程组；（3）解方程组，求出 D、E、 F 或 a、b、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.教师下载中心教学点睛1.在二元二次方程中 x2 和 y2 的系数相等并且没有 x、y 项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.3.在一般方程中，当 D2+E24F =0 时，方程表示一个点（ ， ） ，当2DED2+E2
15、 4F0 时，无轨迹 .4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.5.数 形 结 合 、 分 类 讨 论 、 函 数 与 方 程 的 思 想 在 解 决 圆 的 有 关 问 题 时 经 常 运 用 ， 应 熟 练掌 握 .拓展题例【例 1】 圆 x2+y2=1 内有一定点 A（ ，0） ，圆上有两点 P、Q ，若PAQ=90，求21过点 P 和 Q 的两条切线的交点 M 的轨迹方程.分析：先求出 PQ 中点 E 的轨迹方程为 x2+y2 x =0.83AO PMQxy再求切点弦 PQ 所在直线的方程 .解：设 P（x 1， y1） ，Q（x 2， y2） ，则
16、过 P、Q 的切线方程分别是x1x+y1y=1，x 2x+y2y=1.又 M（m，n）在这两条切线上，有 mx1+ny1=1，mx 2+ny2=1，P、Q 两点的坐标满足方程 mx+ny=1，又两点确定唯一一条直线，PQ 所在直线的方程是 mx+ny=1.又E 为直线 OM 与 PQ 之交点，解方程组mx+ny=1y= xmnx= ，y= .22n将（ ， ）代入中点 E 的轨迹方程得 x2+y2+ x =0.2nm2 348这就是要求的过 P、Q 两点的切线交点 M 的轨迹方程.【例 2】 如图，过原点的动直线交圆 x2+（y1） 2=1 于点 Q，在直线 OQ 上取点 P，使 P 到直线 y=2 的距离等于| PQ|，求动直线绕原点转一周时 P 点的轨迹方程.AOPQxyRC解：设 P（x， y） ，圆 O1：x 2+（y1） 2=1 与直线 y=2 切于点 A，连结 AQ，易知|AQ|=|AR|=|x|，又|PQ |=|PR|=2 y，在 RtOQA 中，|OA| 2=|AQ|2+|OQ|2，即 22=|x|2+ （2 y） 2，化简整理得 x2（x 2+y24）=0，x=0 或 x2+y2=4 为所求的轨迹方程.
