1、3.2 均值不等式 (二)自主学习知识梳理1设 x，y 为正实数(1)若 xys(和 s 为定值) ，则当_时，积 xy 有最_值为_(2)若 xyp(积 p 为定值)，则当_时，和 xy 有最_值为_2利用均值不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：(1)x，y 必须是_；(2)求积 xy 的最大值时，应看和 xy 是否为_；求和 xy 的最小值时，应看积 xy 是否为_(3)等号成立的条件是否满足利用均值不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等” 自主探究请探究函数 yx (a0)在 x(0，) 上的单调性并利用该类函数的单调性求函ax数 ysin
2、 x ，x(0 ，)的最小值4sin x对点讲练知识点一 利用均值不等式求函数的最值例 1 已知 x ，则 f(x) 有( )52 x2 4x 52x 4A最大值 B最小值 C最大值 1 D最小值 152 54总结 本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件变式训练 1 已知 x0，y0，且 1，求 xy 的最小值1x 9y总结 利用均值不等式求代数式的最值时，经常要对代数式进行变形，配凑出均值不等式满足的条件，同时要注意考察等号成立的条件变式训练 2 已知正数 a，b 满足 abab3.求 ab 的最小值知识点三 均值不等式的实际应用例 3 如图所示，动物
3、园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？总结 涉及不等式的应用时，要首先建立函数关系式，适时巧用均值不等式求其最值变式训练 3 甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？1利用均值不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值2
4、使用均值不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解3解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用均值不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义. 课时作业一、选择题1函数 ylog 2 (x1)的最小值为( )(x 1x 1 5)A3 B3 C4 D42已知点 P(x，y) 在经过 A(3,0)，B(1,1) 两点的直线上，则 2x4 y的最小值为( )A2 B4 C16 D不存在2 23若 xy 是正数，则 2 2 的最小值是( )(x 12y) (y 12x)A3 B. C4 D.72 924若关于 x 的不等式(1 k 2)xk 4
5、4 的解集是 M，则对任意实常数 k，总有( )A2M,0M B2 M,0MC2M,0M D2 M,0M二、填空题5建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为_元6函数 ylog a(x3)1 (a0，a1)的图象恒过点 A，若点 A 在直线 mxny 10上，其中 mn0，则 的最小值为_1m 2n7周长为 1 的直角三角形面积的最大值为_28某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x
6、_吨三、解答题9求下列函数的最小值(1)设 x，y 都是正数，且 3，求 2xy 的最小值；1x 2y(2)设 x1，求 y 的最小值x 5x 2x 110某种生产设备购买时费用为 10 万元，每年的设备管理费共计 9 千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?3.2 均值不等式( 二)知识梳理1(1)xy 大 (2)xy 小 2s24 p2(1)正数 (2)定值 定值自主探究证明 当 x(0，)时，设 x10，即 y1y2；a当 x1、
7、x 2( ，)时，y 1y 20，54所以 f(x)4x2 314x 5 (5 4x 15 4x)2 3 2315 4x 15 4x当 54x ，即 x1 时， f(x)max1.15 4x例 2 解 方法一 1，1x 9yxy(xy) 10 .(1x 9y) yx 9xyx0，y0， 2 6.yx 9xy yx9xy当且仅当 ，即 y3x 时，取等号yx 9xy又 1，x4，y 12.1x 9y当 x4，y12 时，x y 取最小值 16.方法二 由 1，得 x ，1x 9y yy 9x0，y0，y 9.xy yy y 1yy 9 y 9 9y 9 9y 9(y9) 10.y9 ，y90，9
8、y 9y9 102 1016，9y 9 y 9 9y 9当且仅当 y9 ，即 y 12 时取等号9y 9又 1，则 x4，1x 9y当 x4，y12 时，x y 取最小值 16.变式训练 2 解 方法一 ab3ab ，a b24设 abt，t0，则 t24t12.解得：t6 (t2 舍去)，(ab) min6.方法二 abab3，b 0，a1.a 3a 1aba a 1a 3a 1 4a 1(a1) 22 26.4a 1 a 1 4a 1当且仅当 a1 ，即 a3 时，取等号4a 1例 3 解 (1)设每间虎笼长 x m，宽为 y m，则由条件知：4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为
9、 S，则 Sxy.方法一 由于 2x3y 2 2 ，2x3y 6xy2 18，得 xy ，6xy272即 S ，当且仅当 2x3y 时，等号成立272由Error! 解得Error!故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大方法二 由 2x3y 18，得 x9 y.32x0，00，S 2 .326 y y2 272当且仅当 6yy ，即 y3 时，等号成立，此时 x4.5.(2)由条件知 Sxy 24.设钢筋网总长为 l，则 l4x6y.方法一 2x3y 2 2 24，2x3y 6xyl4x6y2(2x3y)48，当且仅当 2x3y 时，等号成立由Error! 解得Error!
10、故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小方法二 由 xy24，得 x .l 4x6y 6y24y 96y6 62 48.(16y y) 16yy当且仅当 y，即 y4 时，等号成立，此时 x6.16y故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小变式训练 3 解 设路程为 s，跑步速度为 v1，步行速度为 v2，t 甲 s2v1 s2v2sv1 v22v1v2s v1 v2t 乙 ，t乙2 t乙2 2sv1 v2 1.t甲t乙 v1 v224v1v2 2v1v224v1v2t 甲 t 乙 ，当且仅当 v1v 2时“”成立由实际情况知 v1v2，t 甲 t 乙 乙先到教
11、室课时作业1B2B 点 P(x，y) 在直线 AB 上，x2y3.2 x4 y2 2 4 .2x4y 2x 2y 23C 2 2(x 12y) (y 12x)x 2y 2 14(1x2 1y2) xy yx (x2 14x2) (y2 14y2) (xy yx)1124.当且仅当 xy 或 xy 时取等号22 224A (1 k2)xk 44，x .k4 41 k2 k4 41 k2 1 k22 21 k2 51 k2(1k 2) 22 2.51 k2 5x2 2， Mx|x 2 2，5 52M,0M .51 760解析 设水池的造价为 y 元，长方形底的一边长为 x m，由于底面积为 4 m
12、2，所以另一边长为 m那么4xy1204 280 480 320(2x 24x) (x 4x)4803202 1 760(元)x4x当 x2，即底为边长为 2 m 的正方形时，水池的造价最低，为 1 760 元68解析 A( 2 ，1) 在直线 mxny10 上，2mn10，即 2mn1，mn0，m0，n0. 2 21m 2n 2m nm 4m 2nn nm 4mn42 8.nm4mn当且仅当 ，即 m ，n 时等号成立nm 4mn 14 12故 的最小值为 8.1m 2n7.14解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为 a、b，则 1 ab 2 ，解得 ab ，当且仅当 ab 时取“” ，所
13、以2 a2 b2 ab 2ab12 22直角三角形面积 S ，即 S 的最大值为 .14 14820解析 设一年的总运费与总存储费用之和为 y 万元，则 y 44x 4 160 万元，400x (x 400x)当且仅当 x ，即 x20 时取到最小400x9解 (1)2xy (2xy)32x y3 13(1x 2y) (2 4) .13(yx 4xy 4) 13 4 83当且仅当 时取“” ，即 y24x 2，y2x.yx 4xy又 3，求出 x ，y .1x 2y 23 432xy 的最小值为 .83(2)x1，x10，设 x1t 0，则 xt1，于是有 y t 4t 1t t2 5t 4tt 52 59，4t t4t当且仅当 t ，即 t2 时取等号，此时 x1.4t当 x1 时，函数 y 取得最小值为 9.x 5x 2x 110解 设使用 x 年的年平均费用为 y 万元由已知，得 y ，10 0.9x 0.2x2 0.2x2x即 y1 (xN *)10x x10由均值不等式知 y12 3，当且仅当 ，即 x10 时取等号因此使用10xx10 10x x1010 年报废最合算，年平均费用为 3 万元
