1、第二节 平面与圆柱面的截线整合提升知识网络典例精讲直线与圆的位置关系是初等几何的核心,通过本章学习进一步熟悉并应用分类思想、运动变化思想和猜想与证明的数学思想方法.本讲有四类问题,一是与圆有关角的计算与证明,二是圆内接四边形性质与判定,三是切线的性质与判定,四是与圆有关线段的计算与证明.【例 1】 如图 2-1,EB、EC 是O 的两条切线,B、C 是切点,A、D 是O 上两点,如果E=46,DCF=32,则A 的度数是_.图 2-1思路分析:要求A,可转化为求BCD.由已知DCF 的度数,想到先求ECB 的度数,从而注意到题目所给的 EB、EC 为切线,将ECB 与E 的度数联系起来.解法一
2、:EB、EC 是O 的切线,EC=EB.又E=46,ECB= 246180=67.DCF=32,BCD=180-67-32=81.A+BCD=180,A=180-81=99.温馨提示本解法借助切线长定理和圆内接四边形的有关性质,此题还可借助于弦切角定理来求.解法二:连结 AC,EB、EC 是O 切线,图 2-2EB=EC.ECB= 246180=67.EF 切O 于点 C,BAC=ECB=67,CAD=DCF=32.BAD=BAC+DAC=67+32=99.答案:99【例 2】 如图 2-3,D、E 是ABC 的 BC、AC 两边上两点,且ADB=AEB.求证:CED=ABC.图 2-3思路分
3、析:要证CED=ABC,容易想到圆内接四边形的性质.而证 A、B、D、E 四点共圆,用圆内接四边形判定定理不易找到条件,我们采用分类讨论思想.证明:作ABE 的外接圆O,则点 D 与O 有三种位置关系:点 D 在圆外;点 D 在圆内;点 D 在圆上.(1)如果点 D 在圆外,设 BD 与O 交于点 F,连结 AF,则AFB=AEB,而AEB=ADB.AFB=ADB.这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点 D 不能在圆外.(2)如果点 D 在圆内,设O 与 CD 交于 F,连结 AF,则AFB=AEB.又AEB=ADB,AFB=ADB.这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.
4、故点 D 不可能在圆内.综上所求,A、B、D、E 在同一圆上.CED=ABC.温馨提示通过证四点共圆,然后利用圆内接四边形的性质是本题的一个特色,四点共圆的证明除了圆内接四边形的判定定理及推论外,定理本身的证明方法就是一种有效的证法.证法中分类讨论思想是该证法的精髓,以反证法和圆周角定理作为辅助手段.【例 3】如图 2-4,已知 RtABC 中,B=90,AC=13,AB=5,O 是 AB 上的点,以 O 为圆心,OB为半径作O.(1)当 OB=2.5 时,O 交 AC 于点 D,求 CD 的长.(2)当 OB=2.4 时,AC 与O 的位置关系如何?试证明你的结论.图 2-4思路分析:求 C
5、D 的长容易想到利用圆幂定理.其中 AC 已知,只需求 BC 并证 BC 为切线即可.解:(1)在 RtABC 中,BC= 2ABC=12.B=90,OB 为半径,BC 是O 切线.又 AB=5,OB=2.5,OA=2.5,即 A 在圆上.由切割线定理,得 BC2=CDAC.CD= 1342CB.(2)当 OB=2.4 时,AC 是O 的切线,如图 2-5.图 2-5证明:过 O 作 OMAC 于 M,则AOMACB. ACBM.OM=2.4,即点 O 到 AC 的距离等于O 的半径.AC 切O 于点 M.【例 4】 如图 2-6,已知 P 是直径 AB 延长线上的一点,割线 PCD 交O 于
6、 C、D 两点,弦DFAB 于点 H,CF 交 AB 于点 E.(1)求证:PAPB=POPE;(2)若 DECF,P=15,O 的半径为 2,求 CF 的长.图 2-6思路分析:由 PAPB 立刻想起割线定理.只需证 PCPD=POPE.(1)证明:连结 OD.DFAB, = .又AOD 度数等于 度数的一半 ,DCF 度数等于 度数的一半 ,AOD=DCF.180-AOD=180-DCF.POD=PCE,P 为公共角.PCEPOD. PDEOC.PCPD=POPE.由割线定理 PCPD=PAPB,PAPB=POPE.(2)解析:ABDF,DE=EF.DECF,DEF 为等腰直角三角形.F=
7、FEH=HDE=45.P=15,DCF=P+CEP=15+45=60.DOH=60.在 RtODH 中,DH=ODsinDOH=2sin60= 3.在 RtDHE 中,DE= 645cosDH.在 RtCDE 中,DCE=60,EC=DEcot60= 23.CF=EF+CE= 6.温馨提示在圆中证明线段的关系式首要考虑的是圆幂定理,结合相似三角形进行等比代换或等线代换;圆中角的关系,则往往利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系转化.【例 5】 如图 2-7,四边形 ABCD 内接于O, = ,E 为 CB 延长线 BM 上的动点,当 E 点运动到某一位置满足一定条件时,就有 ABDA=BECD 成立,问该结论成立的条件是什么?请注明条件并给予证明.图 2-7思路分析:若 ABDA=BECD 成立,则需 ADBEC成立,考虑利用ABE 与ACD 相似,其中ABE=D,ACD=ACB,只需EAB=ACB,只要 EA 是O 切线.当 EA 切O 于 A 时,ABDA=BECD 成立.证明:连结 AC,EA 切O 于 A,EAB=ACB.AD=AB,ACB=ACD.EAB=ACD.又四边形 ABCD 内接于O,EBA=D.ABECDA. ADBEC.ABAD=BECD.温馨提示运动变化思想在数学探究中具有重要的作用,在变化中发现不变性(规律), 并提出一个猜想,然后再对猜想进行严格证明.
