1、第五章 8 三元一次方程组讲解与例题1三元一次方程及三元一次方程组(1)三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做三元一次方程(2)三元一次方程组：定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组如：Error!Error!等都是三元一次方程组拓展理解：a构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程；b三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数【例 1】 下列方程组中是三元一次方程组的是( )A.Error! B.Error!C.Error! D.Error
2、!解析：A，B 选项中有的方程不是三元一次方程，C 中含有四个未知数，只有 D 符合三元一次概念内涵，故选 D.答案：D2三元一次方程组的解(1)三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解和二元一次方程一样，一个三元一次方程也有无数个解(2)三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解它也是三个数(3)检验方法：同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样，代入检验，左、右两边相等即是方程的解释疑点 检验三元一次方程组的解三元一次方程组的解是三个数，将这三个数代入每一个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些
3、数才是这个方程组的解【例 2】 判断Error!是不是方程组Error!的解答：_(填是或不是)解析：把Error!代入方程组的三个方程中检验，能使三个方程的左右两边都相等，所以是方程组的解答案：是3.三元一次方程组的解法(1)解法思想：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程(2)步骤：观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；解二元一次方程组，求出两个未知数的值；将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的
4、值；写出三元一次方程组的解(3)注意点：三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确【例 3】 解方程组Error! Error!分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程不含有字母 z，而，中的未知数 z 的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母 z，然后将所得的方程与组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解解：2，得 5x8 y7，解，组成的方程组Error!解这个方程组，得Error!把 x3， y1 代入，得 z1，所以原方程组的解为Error!4运用三元一次方程组解实际问
5、题(1)方法步骤：审题：弄清题意及题目中的数量关系；设：设三个未知数；列：找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用式子表示，列出三个方程，组成三元一次方程组；解：解这个方程组，并检验解是否符合实际；答：回答说明实际问题的答案析规律 列三元一次方程组同二元一次方程组的实际应用相类似，运用三元一次方程组解决实际问题要设三个未知数，寻找三个等量关系，列出三个一次方程，组成三元一次方程组【例 4】 某个三位数是它各位数字和的 27 倍，已知百位数字与个位数字之和比十位数字大 1，再把这个三位数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位数，新三位数比原三位数大 99，求原来的三位数
6、解：设百位数字为 a、十位数字为 b，个位数字为 c，则这个三位数为 100a10 b c，由题意，得Error!化简，得Error!解这个方程组，得Error!答：原来的三位数是 243.5三元一次方程组的解法技巧解三元一次方程组的基本思路是消元，即化三元为二元，从而转化为二元一次方程组求解，在这里关键是消元，若能根据题目的特点，灵活地进行消元，则可把方程组解得又准确又快捷，下面介绍几种常见的消元策略供参考(1)先消系数最简单的未知数，这样可以减少运算量，简化过程如：Error!中， y 的系数较简单，先消 y 简单(2)先消某个方程中缺少的未知数若方程组中某个方程缺少某个元，把另外两个方程
7、结合，消去这个元，转化为二元一次方程求解如：Error!因为方程中缺少 y，所以由，组合先消去 y 比较简单(3)先消去系数的绝对值相等(或成倍数关系)的未知数，如：Error!三个方程中 y 的系数成倍数关系，因此先消去 y 比较简单(4)整体代入消元，如：Error!将方程 左边变形为( x y z)( x y) y18，作整体代入便可消元求解(5)整体加减消元：如：Error!在三个方程中，根据未知数 x， z 的系数特点，可用整体加减消元法来解得y 的值再逐步求解【例 51】 解方程组Error!分析：因为方程中缺少未知数 y 项，故而可由，组合先消去 y，再求解解：3，得 11x10
8、 z35，解由，组成的方程组Error!解得Error!把代入，得 y ，13所以原方程组的解为Error!【例 52】 解方程组Error!分析：经观察发现中的 5x15 y5( x3 y)，这就与有了联系，因此，可化为5(x3 y2 z)6 z38，把整体代入该方程中，可求出 z 的值，从而易得 x 与 y 的值解：由，得 5(x3 y2 z)6 z38，把整体代入，得 5106 z38.解这个方程，得 z2，把 z2 分别代入，中，得Error!解，得Error!所以原方程组的解是Error!【例 53】 解方程组Error!分析：方程组中每个未知数均出现了三次，且含各未知数的项系数和均
9、为 1，故可采用整体相加的方法解：，得 x y z17，再由分别减去，各式，分别得 z3， x6， y8.所以原方程组的解是Error!6.三元一次方程组的应用归类三元一次方程组的应用和二元一次方程组的应用类似，也主要包括两类：(1)构造方程组，通过解方程组解决问题主要有以下几种情况根据某些数学概念构造方程组，如：2 x4my165 n与 x3n6 y2m是同类项，根据同类项定义列方程求未知数 m， n.运用非负数的性质构造方程组如：如果( x y2) 2| y z4| x y2|0，那么x_， y_， z_.根据题意列出三元一次方程组求解已知方程的解的情况求未知系数如：关于 x， y 的二元
10、一次方程组Error!的解，也是方程 3x2 y17 的解，则 m 的值是？根据题意构造一个以 x， y， m 为未知数的三元一次方程组求解点评：这类问题的实质是变相的解方程组问题(2)列方程解应用题，根据实际生活中的情景，列方程组解决实际问题【例 61】 如果方程组Error!中， x 与 y 的和为 2，则 m 的值是( )A16 B4 C2 D8解析：方法一：因为 x 与 y 的和为 2，即 x y2，所以与Error!组成一个三元一次方程组Error! 解这个方程组，求出 m4.方法二：也可以先解Error!求出 x， y 的值(含 m)，再把解得的 x， y 的值代入 x y2中，求
11、出 m.方法三：把 x2 y 代入Error!解含 y， m 的二元一次方程组答案：B【例 62】 如果| x2 y1| z y5|( x z3) 20，那么x_， y_， z_.解析：根据非负数的和为 0，各式都为 0，列出三元一次方程组Error!化简，得Error!解这个方程组，得 x5， y3， z2.答案：5 3 27运用三元一次方程组求代数式的值解三元一次方程组是对消元思想和方法的综合的、全面的运用，另一方面是将来学习二次函数的必备知识，在本章中，经常出现一类求代数式值的问题，如：已知代数式ax2 bx c，当 x 分别取 1,0,2 时，式子的值分别是 0，3，5，求当 x5 时
12、，代数式ax2 bx c 的值解法：分别将 x1,0,2 代入代数式 ax2 bx c 中，得到一个三元一次方程组Error!解这个三元一次方程组，求出系数 a， b， c 的值，再将 x5 回代，再求出当 x5 时，式子 ax2 bx c 的值【例 71】 已知 x2 y3 z54,3 x2 y2 z47，2 x y z31，那么代数式x y z 的值是( )A17 B22 C32 D132解析：将三个三元一次方程组成方程组，Error!整体求法，将三个式子相加，得6x6 y6 z132，两边都除以 6，解，得 x y z22.B 正确，故选 B.答案：B【例 72】 在等式 y ax2 b
13、x c 中，当 x 分别取 1,2,3 时， y 的值分别为3，1,15.则 a_， b_， c_；当 x 取 4 时， y 的值为_解析：把 x1,2,3 分别代入 y ax2 bx c 中，得三元一次方程组Error!解这个三元一次方程组得Error!所以等式是 y10 x234 x27，把 x4 代入 y10 x234 x27 中，得 y51.答案：10 34 27 518.含比例方程的方程组的解法三元一次方程组中，有一类方程，含有比例式子，如Error!这类方程组的解法有两种方式，一是把方程组根据比例的性质进行化简，化为一般的三元一次方程组，按常规思路进行解决；二是设参数法，如在上面的
14、方程组中设每一份为 k，则x3 k， y2 k， z1.6 k，把它们分别代入中，得 3k2 k1.6 k66.即 6.6k66，解得k10，所以 x30， y20， z16.从而解出方程组【例 8】 解方程组Error!Error!分析：方法一：将化简成两个方程和组成三元一次方程组，解这个三元一次方程组；方法二：因是比例式，所以设 t，则 x3 t， y4 t， z5 t，代入中即可x3 y4 z5求出 t 的值，解出方程组解：设 t，则 x3 t， y4 t， z5 t，将它们都代入方程，得x3 y4 z573t34 t55 t16，解得 t2.所以 x6， y8， z10.所以原方程组的解是Error!
