1、第一章 三 角 函 数 1 周 期 现 象2 角的概念的推广1问题导航(1)连续抛一枚硬币，面值朝上我们记为 0，面值朝下我们记为 1，数字 0 和 1 是否会周期性地重复出现？(2)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？(3)在坐标系中，将 y 轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转第一次到 x 轴的正半轴所形成的角为 90，这种说法是否正确？2例题导读P4 例 1，例 2，例 3.通过此三例学习，学会利用周期现象的定义判断一种现象是否为周期现象试一试：教材 P5 习题 11 T 1，T 2，T 3 你会吗？P7 例 1.通过本例学习，学会判断一个角是第几象限角试一试：教材
2、P8 习题 12 T 1，T 2 你会吗？P7 例 2.通过本例学习，学会写出终边落在坐标轴上的角的集合P8 例 3.通过本例学习，学会写出终边与已知角终边相同的角的集合，并能写出该集合中指定范围的元素试一试：教材 P8 习题 12 T 3，T 4 你会吗？1周期现象我们把以相同间隔重复出现的现象叫做周期现象2任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形(2)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称 定义 图形正角 按逆时针方向旋转形成的角负角 按顺时针方向旋转形成的角零角 一条射线从起始位置没有作任何旋转形成的角3.(1)象限角在平面直角坐标系中
3、研究角时，如果角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外 )在第几象限，我们就说这个角是第几象限角若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为轴线角或象限界角(2)象限角的集合表示象限角 角的集合表示第一象限角 |k360 k36090，kZ 第二象限角 |k36090 k360180，kZ第三象限角 |k360180 k360270，kZ第四象限角 |k360270 k360360，kZ(3)轴线角的集合表示轴线角 角的集合表示终边落在 x 轴的非负半轴上的角 | k360，kZ终边落在 x 轴的非正半轴上的角 |k360180， kZ终边落在 x 轴上的角 |
4、k180，kZ终边落在 y 轴的非负半轴上的角 |k36090， kZ终边落在 y 轴的非正半轴上的角 |k36090， kZ终边落在 y 轴上的角 |k18090， kZ终边落在坐标轴上的角 | k90，kZ(4)终边相同的角所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S |k360，kZ ，即任何一个与角 终边相同的角，都可以表示成角 与周角的整数倍的和1判断正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)钟表的秒针的运动是周期现象( )(2)某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象( )(3)钝角是第二象限的角( )(4)第二象限的角一定比第一象限的角大( )(5)终边相同的角不一定
5、相等( )解析：(1)正确秒针每分钟转一圈，它的运动是周期现象(2)错误虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但每次绿灯经过的车辆数不一定相同，故不是周期现象(3)正确大于 90而小于 180的角称为钝角，它是第二象限角(4)错误.100是第二象限角，361是第一象限角，但 100361.(5)正确终边相同的角可以相差 360的整数倍答案：(1) (2) (3) (4) (5)2小明今年 17 岁了，与小明属相相同的老师的年龄可能是( )A26 B32C36 D41解析：选 D.由十二生肖知，属相是 12 年循环一次，故选 D.3已知下列各角：120；240；180；495，其中是第二象限角
6、的是( )A BC D解析：选 D.120是第三象限角； 240是第二象限角；180角不在任何一个象限内；495360135，所以 495是第二象限角4在 0到 360之间与120终边相同的角是_解析：与120终边相同的角 120k360(kZ)由 0120k360 360，kZ，得 k .13 43又 kZ，所以 k1，此时 120360240.答案：2401对周期现象的理解现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性，例如：月亮圆缺变化的周期性，即朔上弦望下弦朔；潮汐变化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置
7、变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性等2对角的概念的两点说明(1)角是用运动的观点来定义的，由始边旋转一个角度到达终边，其中始边和终边要区分，不能混淆(2)在描述角度(角的大小)时一定要抓住三点：要明确旋转方向；要明确旋转的大小；要明确射线未作任何旋转时的位置3角的分类(1)按旋转方向划分时，先确定角的旋转方向，再确定旋转的绝对量如射线 OA 绕端点 O 逆时针旋转 290到 OB 的位置，则AOB290.(2)今后在学习角时，我们通常把角放在平面直角坐标系中讨论当角的终边落在坐标轴上时，这个角可以称为象限界角或轴线角4任意角概念的四个关注点周期现象的判断 判断下列现象是否是周期现
8、象(1)地球自转；(2)某地每年一月份的降雨量；(3)世界杯足球赛的举办时间(链接教材 P4 例 1，例 2，例 3)解 (1)是周期现象因为地球每 24 小时自转一周，所以地球自转是周期现象(2)不是周期现象某地每年一月份的降雨量是随机的，不是周期性重复出现的(3)是周期现象世界杯足球赛每隔四年举办一届，是周期性重复出现的方法归纳判断某现象是否为周期现象的依据是周期现象的特征，即每次都以相同的间隔(比如时间间隔或长度间隔)出现，且现象是无差别的重复出现1(1)试判断下列现象中是否是周期现象一年二十四节气的变化；候鸟迁徙；“随机数表”中数的排列(2)我们的心跳都是有节奏的、有规律的，心脏跳动时
9、，血压在增大或减小下表是某人在一分钟内的血压与时间的对应关系，通过表中数据来研究血压变化的规律.t/s 5 10 15 20 25 30p/mmHg 93.35 136.65 115 93.35 136.65 115t/s 35 40 45 50 55 60p/mmHg 93.35 136.65 115 93.35 136.65 115根据上表数据在坐标系中作出血压 p 与时间 t 的关系的散点图；说明血压变化的规律解：(1)一年二十四节气是重复出现的，是周期现象候鸟迁徙是周期现象随机数表中的数 0，1，2，9 是随机出现的，不是周期现象(2)散点图如图从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔
10、T(15 s)，血压就重复出现相同的数值，因此，血压是呈周期性变化的象限角的判断 (1)给出下列四个结论：15是第四象限角； 185是第三象限角；475是第二象限角；350是第一象限角其中正确的个数为( )A1 B2C3 D4(2)若 是第一象限角，则 是第_象限角(3)已知 1 910，把 写成 k360( kZ ，0 360)的形式，并指出它是第几象限的角(链接教材 P7 例 1)解 (1)选 D.15是第四象限角；180185270是第三象限角；475360115，而 90115180，所以 475是第二象限角；35036010是第一象限角，所以四个结论都是正确的(2)因为 与 的终边关
11、于 x 轴对称如图所示所以 的终边在第四象限故填四(3)法一：作除法运算，注意余数必须非负，得：1 9103606250，所以 2506360，它是第三象限的角法二：设 k 360(kZ)，则 1 910 k 360(kZ)，令 01 910k360 360，解得6 k 5 ，kZ .1136 1 910360 1136所以 k 的最大整数解为 k6，求出相应的 250，于是 2506360，它是第三象限的角在本例(3)中，写出与 的终边互为反向延长线的角 ，并指出它是第几象限的角解：当 250 时， 250180k36070(k1)36070k360( 其中 kk1，k Z)即 70n360
12、，nZ ， 是第一象限的角方法归纳判断 是第几象限角的三个步骤第一步，将 写成 k360(kZ，0 360)的形式第二步，判断 的终边所在的象限第三步，根据 的终边所在的象限，即可确定 的终边所在的象限2若角 满足 45k 180，kZ ，则角 的终边落在( )A第一或第三象限 B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限解析：选 A.当 k0 时， 45，此时 为第一象限角；当 k1 时， 225，此时 是第三象限角，故选 A.终边落在过原点的直线上的角写出终边在直线 yx 上的角的集合 S，并把 S 中适合不等式 360 720的元素 写出来(链接教材 P7 例 2，P 8 例 3)
13、解 如图，直线 yx 过原点，它向上的方向与 x 轴正方向的夹角为 45，在 0360范围内，终边在直线 yx 上的角有两个：45，225.因此，终边在直线 yx 上的角的集合S |45k 360，k Z| 225k360 ，kZ |452k 180，k Z| 45(2 k1)180，kZ |45n180，nZ由于360 720，即36045n180720，nZ ，解得 n ，nZ.94 154所以 n2，1，0，1，2，3.所以 S 中适合不等式360 720的元素是452180315，451180135，45018045，451180225，452180405，453180585.方法归纳
14、(1)写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合，方法步骤是：在直角坐标系中画出该直线；在 0360范围内找出满足条件的角；写出满足条件的角的集合，并注意化简(2)要写出所得集合中在某个范围内的元素时，先解不等式，确定出 n 的取值，再逐一代入计算3已知角 的终边在直线 yx 上(1)写出角 的集合 S；(2)写出 S 中适合不等式360 720的元素解：(1)如图，直线 yx 过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在 0360范围内终边在直线 yx 上的角有两个：135，315.因此，终边在直线 yx 上的角的集合S |135k 360，kZ | 315k360 ，kZ | 1352
15、k 180，kZ | 135(2 k1)180，kZ | 135n180，nZ (2)由于360 720，即360135n180720，nZ .解得 n ，nZ.114 134所以 n2，1，0，1，2，3.所以集合 S 中适合不等式360 720的元素为：1352180225；135118045；1350180135；1351180315；1352180495；1353180675.区域角的表示 如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合解 (1)由题图(1) 可知，阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由 l1 旋转至 l2，与 l1 终边相同的角有 60角，与 l
16、2 终边相同的角有 310角所以题图(1)阴影部分中角的集合为S|60k360 310k360，k Z(2)由题图(2)知，第一象限内阴影部分中角的集合为S1|45k360 90 k360，kZ第三象限内阴影部分中角的集合为S2|225k360 270k360，k Z所以所求阴影部分中角的集合为 SS 1S 2|452k180 902k180，k Z |45(2k1) 180 90(2k 1)180 ，k Z |45n180 90n180，nZ (3)由题图(3)知，阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由 l2 旋转至 l1，与 l2 终边相同的角有30角，与 l1 终边相同的角有 30角所以题图
17、(3)阴影部分中角的集合为S|30k360 30k360，kZ 方法归纳区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角其写法可分为三步(1)先按逆时针的方向找到这个区域的起始和终止边界(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360到 360范围内的角 和 ，写出最简区间x| x(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应角 ， 加上 k360(kZ )4(1)如图所示，写出终边落在图中阴影部分( 实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合(2)已知集合 A|30k180 90k180，kZ，B |45k360 45k360，kZ 试在平面直角坐标系内画出集合 A 和 B 中的角的终边所在的区域
18、；求 AB .解：(1)终边落在第二象限内阴影部分中的角的集合可表示为 |k360135 k360180，k Z，终边落在第四象限内阴影部分中的角的集合可表示为 |k36015 k360 ，k Z，所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为 |k360135k 360180或15k360 k360，kZ (2)如图所示：集合 A 中的角的终边在阴影() 内，集合 B 中的角的终边在阴影() 内集合 AB 中的角的终边在阴影() 和()的公共部分内，所以 AB |30 k360 45k360，kZ易错警示 因未能正确理解象限角而出错已知 是第三象限角，则 是第几象限角？ 3解 因为 是第三象限角，所
19、以 180k360 270k 360(kZ )，所以 60k120 90k120 (kZ )3当 k3n(nZ) 时，60n360 90n360( nZ )，3所以 是第一象限的角；3当 k3n1( nZ )时，180n360 210n360 (nZ )，所以 是第三象限3 3的角；当 k3n2( nZ )时，300n360 330n360 (nZ )，所以 是第四象限3 3的角所以 是第一、三、四象限的角3错因与防范 (1)仅以 180 270表示第三象限角是出错的主要原因(2)分类讨论：已知角 所在的象限，要求 (nN )所在的象限，应把角 写成nk360 k360 (kZ )的形式，再求
20、出 k k (kZ，nN )，360n nn 360n n分别取 k0， 1，2，n1，即可确定 所在的象限n(3)几何法(八卦图法 )几何法判定 ， ， 角的终边所在象限的具体步骤如下：23 n先将直角坐标系各象限平均分成 n 份，再从 x 轴上方起逆时针依次将各区域标1，2，3，4，1，2，3，4，直至填充所有区域，最后由 原来是第几象限角对应的标号所在象限，即为 终边所在象限n5(1)已知 为第三象限角，则 所在的象限是( ) 2A第一或第二象限B第二或第三象限C第一或第三象限D第二或第四象限(2)已知 角的终边与 168角的终边相同，则在 0360范围内终边与 角的终边 3相同的角是_
21、解析：(1)法一：因为 为第三象限角，所以 k360180 k360270，kZ，所以 k18090 k180135，kZ.2当 k2n(nZ) 时，有 n36090 n360135，nZ，此时 是第二象限2 2角；当 k2n1( nZ )时，有 n360270 n360315，nZ，此时 是第四2 2象限角所以 是第二或第四象限角2法二：(八卦图法)如图阴影部分(不包含边界) 所示， 所在的象限是第二或第四象限2(2)由已知，得 k 360168，kZ ，所以 k120 56，kZ.3又因为 0k12056360，满足上式的 k 值为 k0，1，2，所以在 0360范围内，终边与 角的终边相
22、同的角是 56，176，2963答案：(1)D (2)56，176，2961下列现象不是周期现象的是( )A挂在弹簧下方做上下振动的小球B游乐场中摩天轮的运行C抛一枚骰子，向上的数字是奇数D太阳的东升西落解析：选 C.A，B，D 所述都是周期现象，而 C 中“向上的数字是奇数”不是周期现象2下列各角中与 330角终边相同的角是( )A510 B150C150 D390解析：选 D.所有与 330角终边相同的角可表示为 330k360，当 k2 时，得 390，故选 D.3从 13：00 到 14：00，时针转过的角度为_，分针转过的角度为_解析：经过 1 小时，时针顺时针转过了 30，分针顺时
23、针转过了 360.答案：30 3604若 510，则 是第_象限角解析：由于 5102360210，所以 是第三象限角答案：三A.基础达标1下列说法正确的是( )A终边相同的角都相等B钝角比第三象限角小C第一象限角都是锐角D锐角都是第一象限角解析：选 D.终边相同的角相差 360的整数倍，并不一定相等，故 A 错误；钝角并不一定比第三象限角小，如135是第三象限角，显然135比钝角小，故 B 错；锐角一定是第一象限角，但第一象限角未必都是锐角，故 D 正确， C 错误2某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、
24、紫、白的顺序摆放，那么第 2 015 盆花的颜色为( )A红 B黄C紫 D白解析：选 C.因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白 的顺序摆放，所以以 4 为一个周期，则 2 01545033，所以第 2 015 盆花为紫色3495角的终边所在的象限是( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选 C.4952360 225，因为 225是第三象限角，所以495是第三象限角4终边与坐标轴重合的角 的集合是( )A | k360 ，k ZB | k18090，kZ C | k180，k ZD | k90 ，k Z解析：选 D.终边落在 x 轴上的角 的集合为 S1 |k180，kZ，终边
25、落在 y轴上的角 的集合为 S2 |90k180，kZ ，因此，终边落在坐标轴上的角 的集合为 SS 1S 2|k90 ，kZ 5在直角坐标系中，若角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合， 和 的终边关于 y 轴对称，则 与 关系为( )A 360B (2 k1)180( kZ)C k180(k Z )D k360(k Z)解析：选 B.如图所示，因为 与 的终边关于 y 轴对称，所以 角的终边逆时针旋转(1802) 就与 角终边重合所以 k360(1802) ，所以 k360180(2k1)180( kZ)因为当 k 为整数时，2k 1 与 2k1 都表示奇数，所以 (2k1)
26、180(kZ)6今天是星期二，从今天算起，27 天后的那一天是星期_，第 50 天是星期_解析：每周有 7 天，27376，故 27 天后的那一天是星期一；50771，故第50 天是星期二答案：一 二7与 2 015角的终边相同的最小正角是_解析：因为 2 0155360215 ，所以 215为最小正角答案：2158设集合 M |36 k90，kZ，N|180 180，则MN _解析：对于 M，当 k1 时， 126；当 k0 时， 36；当 k1 时， 54；当 k2 时， 144，故 MN126 ，36，54，144 答案：126，36，54 ，1449如图，写出阴影部分(包括边界 )的角
27、的集合，并指出 95012是否是该集合中的角解：阴影部分(包括边界)的角的范围是 k360 k360125，kZ，所求集合为 |k360 k360125，kZ ，因为95012336012948，所以95012 不是该集合中的角10已知角 的终边在直线 xy0 上，写出角 的集合 S.3解：如图，直线 xy0 过原点，倾斜角为 60，在 0 360范围内，终边落在射线3OA 上的角为 60，终边落在射线 OB 上的角是 240，所以以射线 OA，OB 为终边的角的集合分别为：S 1| 60 k 360，kZ ，S 2 | 240k360，kZ所以 角的集合 SS 1S 2| 60k 360，k
28、Z |60180k360 ，kZ| 60 2k 180，k Z | 60 (2k1)180 ，kZ | 60n180，nZB.能力提升1若集合 Mx |x45k90，kZ，Nx| x90k45，kZ，则( )AMN BN MCM N DMN解析：选 C.Mx| x45k 90，kZ x| x(2 k 1)45，kZ，Nx| x90k45，kZ x|x(k2)45，kZ 因为 kZ，所以 k2Z，且 2k1 为奇数，所以 M N，故选 C.2如图所示，变量 y 随 x 的变化呈周期性变化在区间 1，11上，直线 y 与函12数 yf( x)的图像交点的个数为( )A10 B12C13 D15解析
29、：选 B.由图可知周期为 2，区间1，11的长度为 6 个周期，在每个周期内 y和 yf( x)的交点有 2 个，故所求交点个数为 2612.123若角 满足 180 360，角 5 与 有相同的始边，且又有相同的终边，那么角 _解析：由于 5 与 的始边和终边相同，所以这两角的差应是 360的整数倍，即5 4 k360.又 180 360，令 k3，得 270.答案：2704有白、黑两种颜色的圆片按以下规律排列则第 100 个图片的颜色是_解析：由图可知，第 5 个，第 10 个，第 15 个，第 5n 个均为黑色圆片.100520，因此第 100 个圆片为黑色答案：黑色5(1)已知角的顶点
30、与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，指出下列各角是第几象限角，以及 0360范围内与其终边相同的角a485；b.35；c.770 ；d.500.(2)若 是第四象限角，试确定 180 是第几象限角解析：(1)a.485125360 ，所以在 0360范围内，与 485终边相同的角是 125，所以 485是第二象限角b35325360，所以在 0360范围内，与35终边相同的角是325，所以35是第四象限角c770502360，所以在 0360范围内，与 770终边相同的角是50，所以 770是第一象限角d5002202360，所以在 0360范围内，与500终边相同的角是 220
31、，所以500是第三象限角(2)因为 是第四象限角，所以90k360 k360(kZ)，所以k36090k360 (kZ)，所以 180k 360180 270k360( kZ )，所以 180 是第三象限角6.(选做题) 如图，点 A 在半径为 1 且以原点为圆心的圆上， AOx45.点 P 从点 A出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转已知点 P 在 1 s 内转过的角度为 (0 180)，经过 2 s 到达第三象限，经过 14 s 后又回到出发点A，求角 并判定其终边所在的象限解：由题意，得 1445 45k 360，kZ ，则 ，k Z.k1807又 1802 45270 ，即 67.5 112.5，则 67.5 112.5，kZ，k1807所以 k3 或 k4.故 或 .5407 7207易知 0 90，90 180，5407 7207故角 的终边在第一或第二象限
