1、课题：1.3.2 函数的奇偶性学 习 目 标 展 示1. 使学生理解奇函数、偶函数的概念，会运用定义判断函数的奇偶性；2. 会 由 函 数 的 图 象 研 究 函 数 的 单 调 区 间 及 了 函 数 的 单 调 性 ；3. 以 能 由 单 调 性 的 定 义 判 断 并 证 明 函 数 的 单 调 性 ；衔 接 性 知 识1. 画 出 下 列 函 数 的 图 象（ 1） (2) （ 3）()0fxk(0)kfx()|fx（ 4） (5) 222.上 述 的 函 数 图 象 有 什 么 特 点 ？ 它 们 有 对 称 轴 与 对 称 中 心 吗 ？基 础 知 识 工 具 箱要 点 定 义 符
2、 号奇 函 数设 函 数 y f(x)的 定 义 域 为 ， 如 果 对D于 内 的 任 意 一 个 ， 都 有 ， 且Dx， 则 这 个 函 数 叫 做 奇 函 数()(ff若 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ， 则D是 奇 函 数 对()fx()(fxf任 意 都 成 立偶 函 数设 函 数 y f(x)的 定 义 域 为 ， 如 果 对D于 内 的 任 意 一 个 ， 都 有 ， 且Dx， 则 这 个 函 数 叫 做 偶 函 数()(ff若 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ， 则D是 偶 函 数 对 任()fx()fxf意 都 成 立奇 函 数 性 质设 是 奇 函 数 ， 则
3、图 象 关 于 原 点()fx()(fxf)()fxf(fx对 称 ， 反 之 也 成 立 . 若 有 定 义 ， 则00偶 函 数 性 质设 是 偶 函 数 ， 则 图 象 关 于 轴 对 称 ，()fx()(|)fxfx()fy反 之 也 成 立奇 偶 性 与 单调 性 的 关 系若 为 奇 函 数 ， 则 与 时 单 调 性 相 同 ； 若 为 偶 函 数 ， 则()fx0x()fx与 时 单 调 性 相 反0x判 断 函 数 奇偶 性 的 步 骤求 定 义 域 化 简 解 析 式 计 算 结 论()fx典 例 精 讲 剖 析例 1. 判 断 下 列 函 数 的 奇 偶 性(1) ； (
4、2) ； (3) ； (4) ；3fx21fx|1|fxx21fx(5) （ 6） (7)1fx22()f2()f（ 8）2|fx解 ： （ 1） 由 已 知 ， 得 ， 的 定 义 域 为0x()fx(,0)(,)， 是 奇 函 数331()fx31fx（ 2） 的 定 义 域 为 ，R， 是 偶 函 数22()1()fxxf2()1fx（ 3） 的 定 义 域 为 ， 是 偶 函 数()|1|()fxxxf()|1|fxx（ 4） 的 定 义 域 为 ，R， ， ，且(1)23f()2()f()ff()(1ff为非奇非偶函数x（ 5） 由 ， 得 ， 所 以 的 定 义 域 为 ， 定 义
5、 域 不 关 于 原 点 对011x()fx|1x称 ， 为非奇非偶函数()fx（ 6） 由 ， 的 定 义 域 为 ， 定 义 域 关 于 原 点 对 称2011x()fx|1x， ， 且()fx()fff()ff所 以 既 然 是 奇 函 数 也 是 偶 函 数22()1fxx（ 7） 的 定 义 域 为 ，R22()11fx， 是 偶 函 数22()fxx()f（8）由Error! 得1 x1 且 x0，定义域关于原点对称，又1 x1 且 x0时， f(x) ，1 x2x 2 2 1 x2xf( x) f(x)，f(x)为奇函数1 ( x)2 x 1 x2x例 2. 已 知 函 数 的
6、图 象 关 于 原 点 对 称 ， 且 当 时 ， .试()yf02()3fx求 在 上 的 表 达 式 ， 并 画 出 它 的 图 象 ， 根 据 图 象 写 出 它 的 单 调 区 间()fxR解 ： 函 数 的 图 象 关 于 原 点 对 称 ()f 为 奇 函 数 ， 则 ，()fx0f设 ， 则 ， 时 ， ，0x2()3fx 2()()3fxf于 是 有 ： 2(0)()03xxf先画出函数在 y 轴右边的图象，再根据对称性画出 y 轴左边的图象如下图由 图 象 可 知的 单 调 递 增 区 间 是 、 )， 单 调 递 减 区 间 是 、 ()fx(,1,1,0)(,例 3. 如
7、 果 奇 函 数 f(x)在 区 间 1,6上 是 增 函 数 ， 且 最 大 值 为 10， 最 小 值 为 4， 那 么f(x)在 6， 1上 是 增 函 数 还 是 减 函 数 ？ 求 f(x)在 6， 1上 的 最 大 值 和 最 小值解 ： 设 ， 则 ，12x216x 在 1,6上 是 增 函 数 且 最 大 值 为 10， 最 小 值 为 4，()f ，214()()(fxff又 为 奇 函 数 ， ，)f 214)x ，120()xf即 在 6， 1上 是 增 函 数 ， 且 最 小 值 为 10， 最 大 值 为 4.)f例 4. (1)如 图 是 奇 函 数 的 部 分 图
8、 象 ， 则 .()yfx()2f(2)如 图 是 偶 函 数 的 部 分 图 象 ， 比 较 与 的 大 小 的 结 果 为 3解 ： (1) 奇 函 数 的 图 象 关 于 原 点 对 称 ， 且 奇 函 数 图 象 过 点 (2,1)和 (4,2)，()fx 必 过 点 ( 2， 1)和 ( 4， 2)， ( 2)( 1) 2 .4)f(2) 偶 函 数 满 足 ， fx3ff(3)1f精 练 部 分A 类试题（普通班用）1下列四个函数中，既是偶函数又在(0，)上为增函数的是( )Ay x3 By x21 C y| x|1 Dy2 | x|答案 C解析 由偶函数，排除 A；由在(0，)上
9、为增函数，排除 B，D，故选 C2. 若函数 f(x)( x1)( x a)为偶函数，则 a 答案 1解析 解法 1：f(x) x2( a1) x a为偶函数， a10， a1.解法 2：f(x)( x1)( x a)为偶函数，对任意 xR，有 f( x) f(x)恒成立， f(1) f(1)，即 02(1 a)， a13判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)Error!；(2) f(x) .1x2 x解析 (1)f( x)Error!， f( x) f(x)，f(x)为奇函数(2)f( x) f(x)， f( x) f(x)， f(x)既不是奇函数，又不是偶函数1x2 x4函数 f(x) 是定
10、义在 (1,1)上的奇函数，且 ，求函数 f(x)的解析式ax b1 x2 125解析 因为 f(x)是奇函数且定 义域为(1,1)，所以 f(0)0，即 b0.又 ，所以 ，所以 a1，所以 f(x)12()5f12a1 (12)2 25 x1 x25已知 f(x)是奇函数，当 x0时， f(x)的图象是经过点(3，6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求 f(x)的解析式，并画出其图象 解析 设 x0时， f(x) a(x1) 22，过 (3， 6)点， a(31) 2 26， a2.即 f(x)2( x1) 22.当 x0，f( x)2( x1) 222( x1) 22，f(x)为 奇
11、函数， f( x) f(x)，f(x)2( x1) 22，即 f(x)Error!，其图象如图所示B 类试题（3+3+4） （尖子班用）1下列命题中错误的是( )图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 奇函数的图象一定过原点 偶函数的图象与 y轴一定相交图象关于 y轴对称的函数一定为偶函数A B C D答案 D解析 f(x) 为奇函数，其图象不过原点，故错； yError!为偶函数，其图象与 y1x轴不相交，故错2下列四个函数中，既是偶函数又在(0，)上为增函数的是( )Ay x3 By x21 C y| x|1 Dy2 | x|答案 C解析 由偶函数，排除 A；由在(0，)上为增函数，排除 B，D，故选 C.3已知偶函数 f(x)在区间0 ， )单调递增， 则满足 f(2x1)0，f( x)2( x1) 222( x1) 22，f(x)为 奇函数， f( x) f(x)，f(x)2( x1) 22，即 f(x)Error!，其图象如图所示
