1、两点间距离教学目标1使学生理解并掌握平面上任意两点间的距离公式2使学生初步了解解析法证明3教学中渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想“数”和“形”结合转化思想鉴赏公式蕴含的数学美教学重点与难点重点 猜测两点间的距离公式难点 理解公式证明分成两种情况教学过程师：上节我们学习了有向线段，现在有问题是：如果 A、B 是 x 轴上两点，C、D 是 y 轴上两点，它们坐标分别是 xA、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|又怎样求？生：|AB|=|x B-XA|，|CD|=|y C-yD|师：现在再请同学们解如下两题求 B(3，4)到原点的距离设 A(x1，y 1)；B(x 2，y 2)，求|
2、AB|生：B 到原点距离是 5师：你是怎么得出来的？生：我是通过观察图形，发现一个 RtBMO，应用勾股定理得到的(注：为猜想打基础)师：请同学们猜猜题的结果？丁：师：哪个公式对呢？或问甲、乙、丙怎么猜出来的生甲：利用题求出 A 点到原点距离加上 B 点到原点距离(其他学生讨论反向原点 O 在 P1、P 2直线上吗？引导讨论达到认同师：我们来欣赏和考验它的正确性 按距离要求它大于等于零，是这样吗？生：是 |AB|=|BA|公式满足吗？生：满足师：用猜出公式检验题师：当 AB 平行于 x 轴或平行于 y 轴，公式还适用吗？师：这就增强了我们猜想公式的信心那么我们应该对公式从理论上加以证明应该怎么
3、办？生：证明时要构造 Rt师：总能构造 Rt吗？生：当 AB 平行于 x 轴或 AB 平行于 y 轴时不行师：那么 AB 不平行于 x 轴或 y 轴任意两点总能构造 Rt吗？生：可以师：好！要求我们证明时分两种情况：两点连线平行 x 轴或 y 轴时；两点连线不平行于 x 轴或 y 轴下面，我们来求平面上任意两点间的距离(教师在黑板上画图，学生完成证明过程)生：在直角坐标系中，已知两点 P1(x1，y 2)、P 2(x2，y 2)如图：从 P1、P 2分别向 x 轴和 y 轴作垂线 P1M1、P 1N1和 P2M2、P 2N2，垂足分别为 M1(x1，0)、N2(0，y 1)、M 2(x2，0)
4、、N 2(0，y 2)，其中直线 P1N1和 P2M2相交于点 Q在 RtP 1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2因为 |P 1Q|=|M1M2|=|x2-x1|，|QP 2|=|N1N2|=|y2-y1|，所以|P 1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2由此得到两点 P1(x1，y 1)、P 2(x2，y 2)的距离公式：师：同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程)我们先计算在 x 轴和 y 轴两点间的距离又问了 B(34)到原点的距离，发现了 Rt猜想了任意两点距离公式最后求平面上任意两点间的距离公式这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思
5、维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法同学们在做数学题可以采用！下面对两点间的距离公式应该进一步理解和鉴赏它对任何长度单位都适用吗？答案也是肯定的，说明公式应用的广泛性当 P1、 P 2点同时平移时，不论 P 1P2落在什么位置，|P 1P2|有变化吗？答案也是肯定的，又说明了公式的任意性对于这个公式的重要性：公式是解析几何的基础知识，基本公式它对以后继续学习研究解析几何问题有着广泛的用途，在以后学习任何曲线问题时都会用到它，在解决实际问题时也会经常用到，在今后的学习中会体会到这一点现在我们再看一个例子：在一个圆上，有 A、B、C、D4 个点，你怎样证明：|AO|=|BO
6、|=|CO|=|DO|=R 呢？引导学生利用三角解决设 A(x0，y 0)，AOM=今天我们学习了平面上两点间的距离(教师在黑板上写上课题：两点间的距离)练习：求下列坐标下的两点间的距离？(3)有一线段的长度是 13，它的一个端点是 A(-4，8)，另一个端点是 B 的纵坐标 3，求这个端点的横坐标？并画出这个点练习方式：(1)(2)学生下面做，教师叫一个或二个学生板书后，再纠正错误或叫学生口述，教师板演，规范书写格式而对于(3)应让学生先画图，再解解：设 B(x，3)，根据|AB|=13，即：(x+4) 2+(3-8)2=132，x2+8x-128=0，解之：x 1=8 或 x2=-16学生
7、先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面也可以引至到 A(-4，8)点距离等于 13 的点的轨迹(或集合)是以 A 点为圆心 13 为半径的圆上与 y=3 的交点，应交出两个点师：两点间的距离公式能起到证明两条线段相等作用吗？我们看下面一题例 1 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，求证：|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2)师：我们先作一个三角形 ABC，AD 是 BC 边上的中线。再想如何证明：|AB|2+|AC|2=2( |AD|2+|DC|2)生：必须把ADC 放在直角坐标系内，利用距离公式师：如何放呢？下面可以画画坐标系生：在下面画，教师下面巡视，最后归纳成
8、以下几种师：ABC 在坐标系中大致有以上 4 种，都能达到证明结论请同学观察哪种放法比较简捷呢？生：(1)(4)的放法比较好，其中(4)种最好师：好，哪种放法最不好？生：(3)种放法最不好师：为什么？说说理由？(讨论)生：(3) A、 B、 C 坐标均不一样，字母太多，且 D 点坐标不知如何求？(未学中点坐标公式)(2)种 B、 C 两点纵坐标一样(1)种 B 点与原点重合 B(0， 0)， D、 C 坐标纵坐标为零，比较好，计算较简便(4)种方法是 B、D、C 在 x 轴上，纵坐标均为零，且 B、C 对称，横坐标互为相反数师：好，我们就选(4)种方法证明再问一下 A 点放在 y 轴上不更好吗
9、？生：把 A 点放在 y 轴上，三角形是特殊的等腰三角形，失去一般性证明：取线段所在的直线为 x 轴，点 D 为原点(O)，建立直角坐标系，设点A 的坐标为(b，c)，点 C 的坐标为(a，0)，则点 B 的坐标为(-a， 0)，可得：|AB|2=(a+b)2+c2，|AC| 2=(a-b)2+c2，|AD| 2=b2+c2，|OC| 2=a2所以|AB| 2+|AC|2=2(a2+b2+c2)，|AO|2+|OC|2=a2+b2+c2所以 |AB| 2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2)例 2 对任意实数 x1，x 2，y 1，y 2下面的不等式成立：师：这样的代数不等式通常怎样证？生
10、：从现在学习代数不等式的知识来看有比较法师：是这样，随着学习的深入，代数不等式还有综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、判别式法、图象法等师：按距离公式，3 个根式各像什么？生：距离公式师：涉及到哪几个点？生：涉及(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(0，0)师：画图看看，怎样证？生：设 O(0，0)、A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，且 O、A、B 构成一个三角形边之和大于第三边)，师：等式如何取得？生：当 O、A、B 共线且 O 在 AB 之间时：则|AB|=|OA|+|OB|师：当 O、 A、 B 3 点共线， O 在 AB 之外时，又怎么样？生：这时|AB|OA|+
11、|OB|题实际上是距离公式的逆用我们在解数学问题时经常强调“形”到“数”转化，而这道题以形解数从例 1 来看是用代数方法解决几何问题，起名叫做解析法，而例 2 是形解数这些都是“数”和“形”相互转化今后我们由它在方程中的应用、在函数最值中应用、在证明恒等式中应用、在三角方面的应用，可以看出两点间的距离公式在解决数学问题中的广的数或形进行几何解释，利用数形结合的数学思想，借助于图形的有关性质得出问题的解或结论练习：试证直角三角形斜边中线等于斜边一半(学生自己完成)小结：1学习了两点间的距离公式2解析法证明几何问题，建立坐标系的原则又是什么呢？在不失一般性的前提下：(1)设点尽可能出现对称点(2)
12、尽可能的把点放在坐标轴上，这样，点的坐标会出现有的坐标为零，优化计算3学习中运用特殊到一般，再由一般到特殊的思想还有“数”“形”结合的数学思想补充作业：1若 B、C、D 在数轴上的坐标是 a， 2a， 3a(a0)，那么求2在 x 轴上求一点 P，使 P 点到 A(-4，3)和 B(2，6)两点的距离3判断三点 A(3， 1)、 B(-2， 9)、 C(8， 11)是否共线？(答案不共线)4已知三点 A(3，2)、B(0，5)、C(4，6)，则ABC 的形状是什么？(答案B)A直角三角形 B等边三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形5试证矩形的对角线相等设计说明距离概念，在日常生活中时刻遇到，学
13、生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离概念到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线，动点到定点的距离，动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础例如：圆的概念是动点到定点的距离等于定长的点的集合椭圆的概念是动点到两个定点距离和等于常数的点的集合双曲线的概念以及抛物线的概念都涉及到距离的概念另外，可以看出两点间距离公式为解决代数、三角和几何问题起到了
14、重要作用，所以学习掌握运用两点间的距离公式的重要性是显而易见的解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法1关于本节课的宏观想法从本节课的内容，即平面内两点间的距离公式及应用公式解题，来了解解析法证明初步会用解析法证明简单的几何题因而确定的教学目标是从教材的性质确定本节课是概念及公式的推导课而重点是掌握两点间的距离公式，所以采用了“归纳演译”，渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的方法同时充分利用了数形转化，以形促数、以数找形的数学思想和方法确定导入课是在上节有向线段的长度基础上提出一个问题，即 A、B 是 x 轴上两点
15、，C、D 是 y 轴上两点，求|AB|及|CD|？再引出一个特殊点 B(3， 4)到原点距离，让学生观察图形发现 Rt，利用勾股定理解决，为猜想两点间的距离公式和推导打下基础再提出任意两点 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，如何求|AB|让学生猜想，引导到正确公式中来应该在猜想的教学环节上下功夫在猜出公式后及时引导学生欣赏和考验它的正确性由此说明公式普遍性及特殊性都适用，才称其为公式在经过严格的理论推导出公式才能成为真理更深一层引导同学理解和鉴赏公式让学生在学数学时更重要的是学会数学思维方法，在得到公式时不要到此而止，还要进一步理解它，鉴赏它，使学生体会到数学的美解析法证明为几何证明又
16、开辟了新的途径是本节的难点，特别是如何建立坐标系，比较它优劣，在小结中总结出建立坐标系的一般原则，使学生初步了解解析法证明对于例 2 代数不等式的证明，其目的是以形解数，如果利用代数中的比较法、综合法、逆证法等都是不能很快解决的，但这个题要根据所授学生的实际决定取舍2教学微观想法两点间的距离公式的导出以及它的应用解题，从问题的提出开始，尽可能地让学生参与知识的产生及形成过程，充分发挥学生的主体作用，要全方位、分层次参与任何问题结论的得出都由学生自己完成，教师只起到点拨作用在有可能的情况下可以用电脑提高动画效果例：A、B 平行移动，解析几何证明坐标系的选择、代数不等式中三角形的变化等这样，学生真
17、正参与概念的建立、公式推导探索过程，从而体会获取知识的乐趣，成为“生产”知识的主人3教学情境设计的想法以提出问题导入新课，每个问题又尽可能地让学生动脑、动手、动口，去发现、去猜想、去在理论上推导，所有的机会都给学生，同时又及时小结数学思想和方法，思维策略，以及相互转化，都会极大地调动学生学习的积极性另外，又因为每个学生实际情况有差异，学生参与要分层次进行对课内练习及课外作业要求来讲，教学任务要保底但不封顶，所以要结合自己学生的实际情况，有选择去练习，以达到掌握本节课内容的主要目标本节课主要掌握两点间距离公式及应用在应用涉及到其他知识，例如三角知识，或数字带根号的等，首先要保底，不要理它，但基础好的学生也可以增加涉及其他知识范围例如在例 2 代数不等式中，教案教师问了这样的代数不等式怎样证？是从代数角度考虑如何证它但学生没有学习到代数不等式这章，则可以改变问法(北京市新源里中学 谭志敏)
