1、 抛物线一选择题（共 18 小题）1 （2014武汉模拟） O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y 2=4 x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|=4 ，则POF 的面积为（ ）A2 B 2 C 2 D42 （2014和平区模拟）在抛物线 y=x2+ax5（a 0）上取横坐标为 x1=4，x 2=2 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）A （2 ， 9）B （0，5 ） C （2，9 ） D（1，6）3 （2014南阳三模）动圆 C 经过点 F（1，0） ，并且与直线 x=1 相切，若动圆 C 与直线 总
2、有公共点，则圆 C 的面积（ ）A有最大值 8 B 有最小值 2 C 有最小值 3 D有最小值 44 （2014九江模拟）点 P 是抛物线 y2=4x 上一动点，则点 P 到点 A（0，1）的距离与到直线 x=1 的距离和的最小值是（ ）AB C 2 D5 （2014鄂尔多斯模拟）已知直线 y=k（x+2） （k0）与抛物线 C：y 2=8x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则 k=（ ）AB C D6 （2014宜宾一模）已知抛物线 y2=2px 的焦点 F 到其准线的距离是 6，抛物线的准线与 x 轴的交点为 K，A 在抛物线上，且 ，则AFK 的面积为（
3、 ）A18 B 16 C 9 D67 （2014河南）已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若=4 ，则|QF|=（ ）AB 3 C D28 （2014甘肃二模）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x 1，y 1）B（x 2，y 2）两点，如果 x1+x2=6，那么|AB|= （ ）A6 B 8 C 9 D109 （2014宣城二模）已知抛物线方程为 y2=4x，直线 l 的方程为 xy+4=0，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为d1，P 到直线 l 的距离为 d2，则 d1+d2 的最小值为（
4、）2AB C D10 （2012山东）已知双曲线 C1： =1（a0，b 0）的离心率为 2，若抛物线 C2：x 2=2py（p0）的焦点到双曲线 C1 的涟近线的距离是 2，则抛物线 C2 的方程是（ ）AB x2= y C x2=8y Dx2=16y11 （2012烟台一模）已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点，Q 为圆 x2+（y4） 2=1 上一个动点，那么点 P 到点 Q的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）AB C D12 （2011湖南模拟）设抛物线 y2=4x 上一点 P 到直线 x=3 的距离为 5，则点 P 到该抛物线焦点的距离是（ ）A3 B 4 C
5、 6 D813 （2011黑龙江一模）已知抛物线 y2=2px（p0） ，F 为其焦点，l 为其准线，过 F 任作一条直线交抛物线于A、B 两点，A、B 分别为 A、B 在 l 上的射影，M 为 AB的中点，给出下列命题：AFBF；AMBM；AFBM；AF 与 AM 的交点在 y 轴上；AB与 AB 交于原点其中真命题的个数为（ ）A2 个 B 3 个 C 4 个 D5 个14 （2011西城区二模）已知点 A（1，0） ，B（1，0）及抛物线 y2=2x，若抛物线上点 P 满足|PA|=m|PB| ，则 m的最大值为（ ）A3 B 2 C D15 （2010陕西）已知抛物线 y2=2px（p
6、0）的准线与圆（x3） 2+y2=16 相切，则 p 的值为（ ）AB 1 C 2 D416 （2010宁波二模）已知 P 是以 F1，F 2 为焦点的椭圆 =1（ab0）上的一点，若PF1PF2，tanPF 1F2= ，则此椭圆的离心率为（ ）3AB C D17 （2009天津）设抛物线 y2=2x 的焦点为 F，过点 M（ ，0）的直线与抛物线相交于 A、B 两点，与抛物线的准线相交于点 C，|BF|=2，则BCF 与ACF 的面积之比 =（ ）AB C D18 （2006江西）设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y2=4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若 =4 则点 A 的坐标是（ ）A（
7、2，2 ） B （1，2） C （1，2） D（2，2 ）二填空题（共 4 小题）19 （2014宜春模拟）已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的准线 l，过 M（1，0）且斜率为 的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若 ，则 p= _ 20 （2012重庆）过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，若 ，则|AF|= _ 21 （2010重庆）已知以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A、B 满足 =3 ，则弦 AB 的中点到准线的距离为 _ 22 （2004陕西）设 P 是曲线 y2=4（x1）上的一个动点，则点 P 到点（0，1）的距离与
8、点 P 到 y 轴的距离之和的最小值是 _ 三解答题（共 5 小题）23 （2013广东）已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 F（0，c） （c0）到直线 l：x y2=0 的距离为 ，设 P为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，其中 A，B 为切点（1）求抛物线 C 的方程；（2）当点 P（x 0，y 0）为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程；（3）当点 P 在直线 l 上移动时，求|AF|BF|的最小值24 （2014包头一模）设抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F，准线为 l，l 与 x 轴交于点 R，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆
9、心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点（1）若BFD=120 ，ABD 的面积为 8 ，求 p 的值及圆 F 的方程；（2）在（1）的条件下，若 A，B，F 三点在同一直线上，FD 与抛物线 C 交于点 E，求EDA 的面积25 （2012湛江模拟）已知抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于 5过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M（1）求抛物线方程；（2）过 M 作 MNFA，垂足为 N，求点 N 的坐标；（3）以 M 为圆心，MB 为半径作圆 M，当 K（m，0）是 x
10、轴上一动点时，讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系426 （2011浙江模拟）在平面直角坐标系中，已知点 P（1，1） ，过点 P 作抛物线 T0：y=x 2 的切线，其切点分别为 M（x 1，y 1） 、N（x 2，y 2） （其中 x1x 2） （）求 x1 与 x2 的值；（）若以点 P 为圆心的圆 E 与直线 MN 相切，求圆 E 的面积；（）过原点 O（0，0）作圆 E 的两条互相垂直的弦 AC，BD，求四边形 ABCD 面积的最大值27 （2014长春三模）已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F，若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线相交于M，N 两点，且|MN|=8
11、（1）求抛物线 C 的方程；（2）设直线 l 为抛物线 C 的切线，且 lMN，P 为 l 上一点，求 的最小值5参考答案与试题解析一选择题（共 18 小题）1 （2014武汉模拟） O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y 2=4 x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|=4 ，则POF 的面积为（ ）A2 B 2 C 2 D4考点： 抛物线的简单性质菁优网版权所有专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据抛物线方程，算出焦点 F 坐标为（ ） 设 P（m，n） ，由抛物线的定义结合|PF|=4 ，算出m=3 ，从而得到 n= ，得到 POF 的边 OF 上的高等于 2 ，最后根据
12、三角形面积公式即可算出POF 的面积解答： 解： 抛物线 C 的方程为 y2=4 x2p=4 ，可得 = ，得焦点 F（ ）设 P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+ =4 ，即 m+ =4 ，解得 m=3点 P 在抛物线 C 上，得 n2=4 3 =24n= =|OF|=POF 的面积为 S= |OF|n|= =2故选：C点评： 本题给出抛物线 C：y 2=4 x 上与焦点 F 的距离为 4 的点 P，求POF 的面积着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题2 （2014和平区模拟）在抛物线 y=x2+ax5（a 0）上取横坐标为 x1=4，x 2
13、=2 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）A （2 ， 9）B （0，5 ） C （2，9 ） D（1，6）考点： 抛物线的应用菁优网版权所有6专题： 计算题；压轴题分析： 求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出 a，求出抛物线的顶点坐标解答： 解：两点坐标为（4，11 4a） ；（2，2a1）两点连线的斜率 k=对于 y=x2+ax5y=2x+a2x+a=a2 解得 x=1在抛物线上
14、的切点为（1， a4）切线方程为（a2）xy 6=0直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径解得 a=4 或 0（0 舍去）抛物线方程为 y=x2+4x5 顶点坐标为（2， 9）故选 A点评： 本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径3 （2014南阳三模）动圆 C 经过点 F（1，0） ，并且与直线 x=1 相切，若动圆 C 与直线 总有公共点，则圆 C 的面积（ ）A有最大值 8 B 有最小值 2 C 有最小值 3 D有最小值 4考点： 抛物线的定义；点到直线的距离公式；圆的标准方程菁优网版权所有专题： 直线
15、与圆分析： 由题意可得动圆圆心 C（a ，b）的方程为 y2=4x即 b2=4a由于动圆 C 与直线 总有公共点，利用点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得圆心 C 到此直线的距离 dr=|a+1|=a+1据此可得出 b或 a 满足的条件，进而得出圆 C 的面积的最小值解答： 解：由题意可得：动圆圆心 C（a ，b）的方程为 y2=4x即 b2=4a动圆 C 与直线 总有公共点，圆心 C 到此直线的距离 dr=|a+1|=a+1 a+1，又 ，上式化为 ，化为解得 b2 或 当 b=2 时，a 取得最小值 1，此时圆 C 由最小面积 （1+1） 2=47故选：D点评： 本题综合考查了抛物线
16、的定义、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、一元二次不等式及其圆的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力4 （2014九江模拟）点 P 是抛物线 y2=4x 上一动点，则点 P 到点 A（0，1）的距离与到直线 x=1 的距离和的最小值是（ ）AB C 2 D考点： 抛物线的简单性质菁优网版权所有专题： 计算题分析： 由抛物线的性质，我们可得 P 点到直线 x=1 的距离等于 P 点到抛物线 y2=4x 焦点 F 的距离，根据平面上两点之间的距离线段最短，即可得到点 P 到点 A（0， 1）的距离与到直线 x=1 的距离和的最小值解答： 解： P 点到直线 x=1 的距离等于 P 点到抛
17、物线 y2=4x 焦点 F 的距离故当 P 点位于 AF 上时，点 P 到点 A（0，1）的距离与到直线 x=1 的距离和最小此时|PA|+|PF|=|AF|=故选 D点评： 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中根据抛物线的性质，将点 P 到点 A（0，1）的距离与到直线x=1 的距离和，转化为 P 点到 A，F 两点的距离和，是解答本题的关键5 （2014鄂尔多斯模拟）已知直线 y=k（x+2） （k0）与抛物线 C：y 2=8x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则 k=（ ）AB C D考点： 抛物线的简单性质菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析：
18、 根据直线方程可知直线恒过定点，如图过 A、B 分别作 AMl 于 M，BNl 于 N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点 B 为 AP 的中点、连接 OB，进而可知 ，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B 的横坐标，则点 B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率解答： 解：设抛物线 C：y 2=8x 的准线为 l：x= 2直线 y=k（x+2） （k0）恒过定点 P（ 2，0）如图过 A、B 分别作 AMl 于 M，BNl 于 N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点 B 为 AP 的中点、连接 OB，则 ，|OB|=|BF|，点 B 的横
19、坐标为 1，8故点 B 的坐标为 ，故选 D点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质考查了对抛物线的基础知识的灵活运用6 （2014宜宾一模）已知抛物线 y2=2px 的焦点 F 到其准线的距离是 6，抛物线的准线与 x 轴的交点为 K，A 在抛物线上，且 ，则AFK 的面积为（ ）A18 B 16 C 9 D6考点： 抛物线的简单性质菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由抛物线的性质可求 p，进而可求抛物线的方程，设 A（x，y） ，K （ 4，0） ，F（4，0） ，由，及点 A 在抛物线上，利用两点间的距离公式可得关于 x，y 的方程，解方程可求 A 的坐标，进而可求A
20、FK 的面积解答： 解：由题意可得，p=6抛物线的方程为 y2=12x设 A（x，y） ，K（3，0） ，F（3，0） ， = 整理可得，x 2+y218x+9=0y2=12xx26x+9=0x=3，|y|=6= 66=18故选：A点评： 本题主要考查了抛物线的性质的简单应用及基本的运算能力，属于中档题7 （2014河南）已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若=4 ，则|QF|=（ ）AB 3 C D29考点： 抛物线的简单性质菁优网版权所有专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 求得直线 PF 的方程，与
21、 y2=8x 联立可得 x=1，利用|QF|=d 可求解答： 解：设 Q 到 l 的距离为 d，则|QF|=d， =4 ，|PQ|=3d，直线 PF 的斜率为 2 ，F（ 2，0） ，直线 PF 的方程为 y=2 （x2） ，与 y2=8x 联立可得 x=1，|QF|=d=1+2=3，故选：B点评： 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题8 （2014甘肃二模）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x 1，y 1）B（x 2，y 2）两点，如果 x1+x2=6，那么|AB|= （ ）A6 B 8 C 9 D10考点： 抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：
22、综合题；转化思想；综合法分析： 抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点，故|AB|=x 1+x2+2，由此易得弦长值解答： 解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是 x=1，抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x 1，y 1）B（x 2，y 2）两点|AB|=x1+x2+2，又 x1+x2=6|AB|=x1+x2+2=8故选 B点评： 本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度9 （2014宣城二模）已知抛物线方程为 y2=4x，直线
23、 l 的方程为 xy+4=0，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为d1，P 到直线 l 的距离为 d2，则 d1+d2 的最小值为（ ）AB C D考点： 抛物线的简单性质菁优网版权所有专题： 计算题分析： 如图点 P 到 y 轴的距离等于点 P 到焦点 F 的距离减 1，过焦点 F 作直线 xy+4=0 的垂线，此时 d1+d2 最小，根据抛物线方程求得 F，进而利用点到直线的距离公式求得 d1+d2 的最小值解答： 解：如图点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离，从而 P 到 y 轴的距离等于点 P 到焦点 F 的距离减 110过焦点 F 作直线 xy+4=0 的垂线，此
24、时 d1+d2=|PF|+d21 最小，F（ 1，0） ，则|PF|+d 2= = ，则 d1+d2 的最小值为 故选 D点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用解此列题设和先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题10 （2012山东）已知双曲线 C1： =1（a0，b 0）的离心率为 2，若抛物线 C2：x 2=2py（p0）的焦点到双曲线 C1 的涟近线的距离是 2，则抛物线 C2 的方程是（ ）AB x2= y C x2=8y Dx2=16y考点： 抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 利用双曲线的离心率推出
25、 a，b 的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出 p，即可得到抛物线的方程解答：解：双曲线 C1： 的离心率为 2所以 ，即： =4，所以 ；双曲线的渐近线方程为：抛物线 的焦点（0， ）到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，所以 2= ，因为 ，所以 p=8抛物线 C2 的方程为 x2=16y故选 D点评： 本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力11 （2012烟台一模）已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点，Q 为圆 x2+（y4） 2=1 上一个动点，那么点 P 到点 Q的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A B C D
