1、【成才之路】2015-2016 学年高中数学 1.1.2 第 2 课时棱锥和棱台课时作业 新人教 B 版必修 2一、选择题1棱锥至少由多少个面围成( )A3 B4 C5 D6答案 B解析 三棱锥有四个面围成，通常称为四面体，它是面数最少的棱锥2四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别是 1、2，侧棱长为 ，则该四2棱台的高为( )A. B. C. D62 32 12 22答案 A解析 如图所示，由题意知，四棱台 ABCD A1B1C1D1为正四棱台，设 O1、 O 分别为上、下底面的中心，连接 OO1、 OA、 O1A1，过点 A1作 A1E OA， E 为垂足，则 A1E 的长等于正四棱
2、台的高，又 OA ， O1A1 ，222 AE OA O1A1 ，22在 Rt A1EA 中， AA1 ， AE ，222 A1E .AA21 AE22 12 623过正棱台两底面中心的截面一定是( )A直角梯形 B等腰梯形C一般梯形或等腰梯形 D矩形答案 C解析 过正棱台两底面中心的截面与两底面的交线一定平行且不相等当截面过侧棱时，截面是一般梯形；当截面不过侧棱时，由对称性，截面与两侧面的交线一定相等，所以截面是等腰梯形故选 C.4下列命题中，真命题是( )A顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C底面三角形各边分别与
3、相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥D底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥答案 D解析 对于选项 A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形的外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题对于选项 B，如右图所示， ABC 为正三角形，若 PA AB， PA AC PC， PB BC PC，则 PAB， PAC， PBC 都为等腰三角形，但此时侧棱 PA PB PC，故该命题是假命题对于选项 C，顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题对于选项 D，顶点在底面内的射影是底面三角形的外心，且底面三角形为正三角形，因此，外心即中心，故该命题是真命题，故正确
4、答案为 D.5一个正三棱锥的底面边长为 3，高为 ，则它的侧棱长为( )6A2 B2 3C3 D4答案 C解析 如图所示，正三棱锥 S ABC 中，O 为底面 ABC 的中心， SO 为正三棱锥的高， SO ，6AB3， OA ，3在 Rt SOA 中， SA 3.SO2 OA2 6 36(2015山东商河弘德中学高一月考)如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( )A正三棱锥 B正四棱锥C正五棱锥 D正六棱锥答案 D解析 如图，正六棱锥 P ABCDEF， PO 是正六棱锥的高，连接 OA，则 OA AB，若 PAB 为正三角形，则 PA AB， PA OA，这显然不可能
5、，故正六棱锥的各个侧面不可能是等边三角形二、填空题7(2015山东商河弘德中学高一月考)若正三棱台的上、下底面的边长分别为 2 和8，侧棱长为 5，则这个棱台的高为_答案 13解析 如图， OO1是正三棱台的高，过点 A1作 A1D OA， D 为垂足，则 A1D OO1.正三棱台的上、下底面的边长分别为 2 和8， OA ， O1A1 ， AD OA O1A12 ，833 233 3 A1D .AA21 AD2 138正四棱锥 S ABCD 的所有棱长都等于 a，过不相邻的两条侧棱作截面，则截面面积为_答案 a212解析 截面三角形三边长分别为 a、 a、 a，为等腰直角三角形面积 S a2
6、.212三、解答题9有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？解析 不一定如图(1)所示，将正方体 ABCD A1B1C1D1截去两个三棱锥 A A1B1D1和 C B1C1D1，得如图(2)所示的几何体，其中有一个面 ABCD 是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥10.如图，正三棱台 ABC A1B1C1中，已知 AB10，棱台一个侧面梯形的面积为 ， O1、 O 分别为上、下底面正三角形中心， D1D2033为棱台的斜高， D1DA60，求上底面的边长解析 由 AB10，则 AD AB5 ，32
7、3OD AD .13 533设上底面边长为 x，则 O1D1 x.36过 D1作 D1H AD 于 H，则 DH OD OH OD O1D1 x，533 36在 D1DH 中， D1D 2 ，DHcos60 (533 36x)在梯形 B1C1CB 中， S (B1C1 BC)D1D，12 (x10)2 ，2033 12 (533 36x)40( x10)(10 x) x2 ，15上底面的边长为 2 .15一、选择题1用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积之比为14 ，截去的棱锥的高是 3 cm，则棱台的高是( )A12 cm B9 cm C6 cm D3 cm答案 D解
8、析 棱台的上、下底面面积之比为 14 ，则截去的棱锥的高与原棱锥的高之比为12 ，故棱台的高是 3 cm.2在侧棱长为 2 的正三棱锥 S ABC 中， ASB BSC CSA40，过 A 作截面3AEF，则截面的最小周长为( )A2 B4 2C6 D10答案 C解析 将三棱锥沿 SA 剪开，展开如图连接 AA交 SB 于 E，交 SC 于 F，则 AA即为 AEF 的最小周长 SA SA2 ， ASA120，3 AA22 sin606，故选 C.3二、填空题3正四棱台的上、下底面边长分别是 5 和 7，对角线长为 9，则棱台的斜高等于_答案 10解析 如图， BDD1B1是等腰梯形， B1D
9、15 ， BD7 ， BD19， OO12 23，BD21 BD B1D12 2又 O1E1 ， OE ，在直角梯形 OEE1O1中，52 72斜高 E1E .OO21 OE O1E1 2 104一个正三棱锥 P ABC 的底面边长和高都是 4， E、 F 分别为 BC、 PA 的中点，则 EF的长为_答案 2 2解析 如图在正 ABC 中， AE2 ，3在正 PBC 中， PE2 ，3在 PAE 中， AE PE2 ， PA4， F 为 PA 中点，3 EF PA， EF 2 .AE2 12AP 2 2三、解答题5如图，将边长为 8 的正三角形沿三条中位线折成一个正四面体，求该四面体的高3和
10、斜高解析 由题设知正四面体 S ABC 中， SA SB SC AB BC CA4 ，3过点 S 作 SO面 ABC， O 为垂足，过点 O 作 OD AC，则 D 为 AC 中点连接 SD，则 SD AC，故 SO 为正四面体的高， SD 为斜高在 Rt SDA 中， SA4 ， AD2 ，3 3 SD 6.SA2 AD2 43 2 23 2又 ABC 为正三角形， ABC 的高 h 4 6，32 3 OA h 64，在 Rt SOA 中，23 23SO 4 .SA2 OA2 43 2 42 2该四面体的高为 4 ，斜高为 6.26已知正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比为 23 ，求此三棱
11、锥的高与斜高的比解析 设正三棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 b，则一个侧面面积S1 a ，底面面积 S2 a2，由题意得 ，12 b2 a24 34 S1S212ab2 a2434a2 23 a，此三棱锥的斜高 h a，b2 a24 33 33高 h ， 33a 2 36a 2 a2 .hha233a 327某城市中心广场主体建筑为一三棱锥，且所有边长均为 10 m，如图所示，其中E、 F 分别为 AD、 BC 的中点(1)画出该几何体的表面展开图，并注明字母；(2)为迎接国庆，城管部门拟对该建筑实施亮化工程，现预备从底边 BC 中点 F 处分别过 AC、 AB 上某点向 AD 中点 E 处架设 LED 灯管，所用灯管长度最短为多少？解析 (1)该几何体的表面展开图为(2)由该几何体的展开图知，四边形 ABCD 为菱形若使由 F 向 E 所架设灯管长度最短，可由其展开图中连接线段 EF.这两条线段均为 10，故所用灯管最短为 20 m.
