1、【三维设计】2015 高中数学 第四章 圆与方程学案 新人教 A 版必修 241 圆的方程41.1 圆的标准方程圆的标准方程提出问题“南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑该摩天轮总高度为 160 米，转盘直径为 153 米，比位于英国泰晤士河边的 135 米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高问题 1：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？提示：一样圆上的点到圆心距离都是相等的，都是圆的半径问题 2：若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点( x， y)的坐标满足什么关系？提示： .x2
2、 y21532问题 3：以(1,2)为圆心，3 为半径的圆上任一点的坐标( x， y)满足什么关系？提示： 3. x 1 2 y 2 2导入新知圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示(3)圆的标准方程：圆心为 A(a， b)，半径长为 r 的圆的标准方程是( x a)2( y b)2 r2.当 a b0 时，方程为 x2 y2 r2，表示以原点为圆心、半径为 r 的圆化解疑难1由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体
3、现了圆的标准方程的直观性，为其优点2几种特殊位置的圆的标准方程：条件 圆的标准方程过原点 (x a)2( y b)2 a2 b2(a2 b20)圆心在 x 轴上 (x a)2 y2 r2(r0)圆心在 y 轴上 x2( y b)2 r2(r0)圆心在 x 轴上且过原点 (x a)2 y2 a2(a0)圆心在 y 轴上且过原点 x2( y b)2 b2(b0)与 x 轴相切 (x a)2( y b)2 b2(b0)与 y 轴相切 (x a)2( y b)2 a2(a0)点与圆的位置关系提出问题爱好运动的小华，小强，小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心 O 越近，
4、谁获胜，如图 A， B， C 分别是他们掷一轮飞镖的落点看图回答下列问题：问题 1：点与圆的位置关系有几种？提示：三种点在圆外、圆上、圆内问题 2：如何判断他们的胜负？提示：利用点与圆心的距离导入新知点与圆的位置关系圆的标准方程为( x a)2( y b)2 r2，圆心 A(a， b)，半径为 r.设所给点为 M(x0， y0)，则判断方法位置关系几何法 代数法点在圆上 MA r点 M 在圆 A 上 点 M(x0， y0)在圆上( x0 a)2( y0 b)2 r2点在圆内 MA r点 M 在圆 A 外 点 M(x0， y0)在圆外( x0 a)2( y0 b)2 r2化解疑难1点与圆的位置关
5、系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外2判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法求圆的标准方程例 1 过点 A(1，1)， B(1,1)且圆心在直线 x y20 上的圆的方程是( )A( x3) 2( y1) 24B( x3) 2( y1) 24C( x1) 2( y1) 24D( x1) 2( y1) 24解析 法一：设所求圆的标准方程为(x a)2( y b)2 r2，由已知条件知Error!解此方程组，得Error!故所求圆的标准方程为( x1) 2( y1) 24.法二：设点 C 为圆心，点 C 在直线 x y20 上，可设点 C 的坐标为( a,2 a)又该圆经过 A， B 两点，|
6、CA| CB|. a 1 2 2 a 1 2 ， a 1 2 2 a 1 2解得 a1.圆心坐标为 C(1,1)，半径长 r| CA|2.故所求圆的标准方程为( x1) 2( y1) 24.法三：由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0,0)， kAB 1，所以弦 AB 的1 1 1 1垂直平分线的斜率为 k1，所以 AB 的垂直平分线的方程为 y01( x0)，即 y x.则圆心是直线 y x 与 x y20 的交点，由Error! 得Error!即圆心为(1,1)，圆的半径为 1 1 2 1 1 22，故所求圆的标准方程为( x1) 2( y1) 24.答案 C类题通法确定圆的标准方程就是设
7、法确定圆心 C(a， b)及半径 r，其求解的方法：一是待定系数法，如解法一，建立关于 a， b， r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如解法二、三一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷活学活用1求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，1)，且过点(5,2)；(2)圆心在 y 轴上，半径长为 5，且过点(3，4)；(3)求过两点 C(1,1)和 D(1,3)，圆心在 x 轴上的圆的标准方程解：(1)圆的半径长 r ， 5 4 2 2 1 2 10故圆的标准方程为( x4) 2( y1) 210.(2)设圆心为 C(0， b)，则(
8、30) 2(4 b)25 2，解得 b0 或 b8，则圆心为(0,0)或(0，8)又半径 r5，圆的标准方程为 x2 y225 或 x2( y8) 225.(3)直线 CD 的斜率 kCD 1，3 11 1线段 CD 中点 E 的坐标为(0,2)，故线段 CD 的垂直平分线的方程为y2 x，即 y x2，令 y0，得 x2，即圆心为(2,0)由两点间的距离公式，得 r . 2 1 2 0 3 2 10所以所求圆的标准方程为( x2) 2 y210.点与圆的位置关系例 2 如图，已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3)(1)求以 P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点 M(6,9)， N(3
9、,3)， Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外解 (1)设圆心 C(a， b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2的中点，得 a 5， b4 626.9 32又由两点间的距离公式得r| CP1| ， 4 5 2 9 6 2 10故所求圆的方程为( x5) 2( y6) 210.(2)由(1)知，圆心 C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离：|CM| ； 6 5 2 9 6 2 10|CN| ； 3 5 2 3 6 2 13 10|CQ| 3 . 5 5 2 3 6 2 10因此，点 M 在圆上，点 N 在圆外，点 Q 在圆内类题通法1判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心
10、距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断2灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围活学活用2点(1,1)在圆( x a)2( y a)24 的内部，则 a 的取值范围是( )A1 a1 B0 a1C a1 或 a1 D a1解析：选 A 由于点(1,1)在圆( x a)2( y a)24 的内部，所以(1 a)2(1 a)24， a21，所以1 a1.10.求 解 圆 的 方 程 中 漏 解典例 已知某圆圆心在 x 轴上，半径长为 5，且截 y 轴所得线段长为 8，求该圆的标准方程解 法一：如图所示，由题
11、设| AC| r5，| AB|8，| AO|4.在 Rt AOC 中，|OC| |AC|2 |AO|2 3.52 42设点 C 坐标为( a,0)，则| OC| a|3， a3.所求圆的方程为( x3) 2y225，或( x3) 2 y225.法二：由题意设所求圆的方程为( x a)2 y225.圆截 y 轴线段长为 8，圆过点 A(0,4)代入方程得 a21625， a3.所求圆的方程为( x3) 2 y225，或( x3) 2 y225.易错防范1若解题分析只画一种图形，而忽略两种情况，考虑问题不全面，漏掉圆心在 x 轴负半轴的情况而导致出错2借助图形解决数学问题，只能是定性分析，而不能定
12、量研究，要定量研究问题，就要考虑到几何图形的各种情况成功破障圆心在直线 2x y70 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0，4)， B(0，2)，则圆 C 的标准方程为_解析：结合题意可知，圆心在直线 y3 上，又圆心在直线 2x y70 上，故圆心坐标是(2，3)，从而 r2(20) 2(32) 25，圆的标准方程是( x2) 2( y3) 25.答案：( x2) 2( y3) 25随堂即时演练1圆( x1) 2( y )21 的圆心坐标是( )3A(1， ) B(1， )3 3C(1， ) D(1， )3 3答案：C2点 P(m,5)与圆 x2 y224 的位置关系是( )A在圆外 B在
13、圆内C在圆上 D不确定解析：选 A m22524，点 P 在圆外3若点 P(1， )在圆 x2 y2 m2上，则实数 m_.3解析： P 点在圆 x2 y2 m2上，(1) 2( )24 m2，3 m2.答案：24经过原点，圆心在 x 轴的负半轴上，半径为 2 的圆的方程是_解析：圆心是(2,0)，半径是 2，所以圆的方程是( x2) 2 y24.答案：( x2) 2 y245求以 A(2,2)， B(5,3)， C(3，1)为顶点的三角形的外接圆的方程解：设所求圆的方程是(x a)2( y b)2 r2.将点 A(2,2)， B(5,3)， C(3，1)代入上式得Error!解此方程组，得E
14、rror!所以， ABC 的外接圆方程是( x4) 2( y1) 25.课时达标检测一、选择题1已知点 P(3,2)和圆的方程( x2) 2( y3) 24，则它们的位置关系为( )A在圆心 B在圆上C在圆内 D在圆外解析：选 C (32) 2(23) 224，点 P 在圆内2圆( x1) 2( y2) 24 的圆心、半径是( )A(1，2)，4 B(1，2)，2C(1,2)，4 D(1,2)，2答案：D3圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A x2( y2) 21 B x2( y2) 21C( x1) 2( y3) 21 D x2( y3) 21解析：选 A 法一
15、(直接法)：设圆心坐标为(0， b)，则由题意知1，解得 b2， 0 1 2 b 2 2故圆的方程为 x2( y2) 21.法二(数形结合法)：根据点(1,2)到圆心的距离为 1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为 x2( y2) 21.法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择项，排除 B、D，又由于圆心在 y 轴上，排除C，选 A.4(2012福建六校联考)以两点 A(3，1)和 B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )A( x1) 2( y2) 210B( x1) 2( y2) 2100C( x1) 2( y2) 25D( x1) 2( y2) 225解析：选 D 圆心坐标为(1,2)，
16、半径 r 5，故所求圆的方 5 1 2 5 2 2程为( x1) 2( y2) 225.5当 a 为任意实数时，直线( a1) x y a10 恒过定点 C，则以 C 为圆心， 为5半径的圆的方程为( )A( x1) 2( y2) 25 B( x1) 2( y2) 25C( x1) 2( y2) 25 D( x1) 2( y2) 25解析：选 C 直线方程变为( x1) a x y10.由Error! 得Error!， C(1,2)，所求圆的方程为( x1) 2( y2) 25.二、填空题6圆心为直线 x y20 与直线 2x y80 的交点，且过原点的圆的标准方程是_解析：由Error!可得
17、 x2， y4，即圆心为(2,4)，从而r 2 ，故圆的标准方程为( x2) 2( y4) 220. 2 0 2 4 0 2 5答案：( x2) 2( y4) 2207(2012嘉兴高一检测)点(5 1， )在圆( x1) 2 y226 的内部，则 a 的取值a a范围是_解析：由于点在圆的内部，所以(5 11) 2( )226，a a即 26a26，又 a0，解得 0 a1.答案：0 a18若圆心在 x 轴上，半径为 的圆 C 位于 y 轴左侧，且与直线 x2 y0 相切，则圆5C 的方程是_解析：如图所示，设圆心 C(a,0)，则圆心 C 到直线 x2 y0 的距离为 |a 20|12 2
18、2，解得 a5， a5(舍去 )，5圆心是(5,0)故圆的方程是( x5) 2 y25.答案：( x5) 2 y25三、解答题9求经过 A(1,4)， B(3,2)两点且圆心在 y 轴上的圆的方程解：法一：设圆心坐标为( a， b)圆心在 y 轴上， a0.设圆的标准方程为 x2( y b)2 r2.该圆过 A， B 两点，Error! 解得Error!所求圆的方程为 x2( y1) 210.法二：线段 AB 的中点坐标为(1,3)， kAB ，2 43 1 12弦 AB 的垂直平分线方程为 y32( x1)，即 y2 x1.由Error! 解得Error!点(0,1)为所求圆的圆心由两点间的
19、距离公式，得圆的半径 r ，10所求圆的方程为 x2( y1) 210.10求过点 A(1,2)和 B(1,10)且与直线 x2 y10 相切的圆的方程解：圆心在线段 AB 的垂直平分线 y6 上，设圆心为( a,6)，半径为 r，则圆的方程为(x a)2( y6) 2 r2.将点(1,10)代入得(1 a)2(106) 2 r2，而 r ，|a 13|5代入，得( a1) 216 ， a 13 25解得 a3， r2 ，或 a7， r4 .5 5故所求圆为( x3) 2( y6) 220，或( x7) 2( y6) 280.41.2 圆的一般方程提出问题已知圆心(2,3)，半径为 2.问题
20、1：写出圆的标准方程提示：( x2) 2( y3) 24.问题 2：上述方程能否化为二元二次方程的形式？提示：可以， x2 y24 x6 y90.问题 3：方程 x2 y24 x6 y130 是否表示圆？提示：配方化为( x2) 2( y3) 20，不表示圆问题 4：方程 x2 y2 Dx Ey F0 一定表示圆吗？提示：不一定导入新知(1)圆的一般方程的概念：当 D2 E24 F0 时，二元二次方程 x2 y2 Dx Ey F0 叫做圆的一般方程(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)表示的圆的圆心为( ， )，D2 E2半径长为
21、 .12 D2 E2 4F化解疑难1圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：(1)x2、 y2的系数相等且不为 0；(2)没有 xy 项2对方程 x2 y2 Dx Ey F0 的说明：方程 条件 图形D2 E24 F0 表示以( ， )为圆心，以 为半D2 E2 12D2 E2 4F径的圆圆的一般方程的概念辨析例 1 若方程 x2 y22 mx2 y m25 m0 表示圆，求(1)实数 m 的取值范围；(2)圆心坐标和半径解 (1)据题意知D2 E24 F(2 m)2(2) 24( m25 m)0，即 4m244 m220 m0，解得 m ，15故 m 的取值范围为(， )15(2)将方程 x
22、2 y22 mx2 y m25 m0 写成标准方程为( x m)2( y1) 215 m，故圆心坐标为( m,1)，半径 r .1 5m类题通法形如 x2 y2 Dx Ey F0 的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：由圆的一般方程的定义令 D2 E24 F0，成立则表示圆，否则不表示圆，将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2 y2 Dx Ey F0 这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解活学活用1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径(1)x2 y2 x10；(2)x2 y22 ax a20( a0)；(3)2x22
23、 y22 ax2 ay0( a0)解：(1) D1， E0， F1， D2 E24 F1430，方程(1)不表示任何图形(2) D2 a， E0， F a2， D2 E24 F4 a24 a20，方程表示点( a,0)(3)两边同除以 2，得 x2 y2 ax ay0，D a， E a， F0， D2 E24 F2 a20，方程(3)表示圆，它的圆心为( ， )，a2 a2半径 r |a|.12 D2 E2 4F 22圆的一般方程的求法例 2 已知 ABC 的三个顶点为 A(1,4)， B(2,3)， C(4，5)，求 ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径解 法一：设 ABC 的外接圆方
24、程为x2 y2 Dx Ey F0， A， B， C 在圆上，Error! Error! ABC 的外接圆方程为 x2 y22 x2 y230，即( x1) 2( y1) 225.外心坐标为(1，1)，外接圆半径为 5.法二： kAB ， kAC 3，4 31 2 13 4 51 4 kABkAC1， AB AC. ABC 是以角 A 为直角的直角三角形，外心是线段 BC 的中点，坐标为(1，1)， r |BC|5.12外接圆方程为( x1) 2( y1) 225.类题通法应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准
25、方程，再用待定系数法求出 a， b， r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 D、 E、 F.活学活用2求经过点 A(2，4)且与直线 x3 y260 相切于点 B(8,6)的圆的方程解：设所求圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0，则圆心坐标为 .(D2， E2)圆与 x3 y260 相切， 1，即 E3 D360.(2，4)，6 E28 D2 ( 13)(8,6)在圆上，2 D4 E F200，8 D6 E F1000.联立，解得D11， E3， F30，故所求圆的方程为 x2 y211 x3 y300.代入法求轨迹方程例 3 已知
26、ABC 的边 AB 长为 4，若 BC 边上的中线为定长 3，求顶点 C 的轨迹方程解 以直线 AB 为 x 轴， AB 的中垂线为 y 轴建立坐标系(如图)，则 A(2,0)， B(2,0)，设 C(x， y)， BC 中点 D(x0， y0)Error! | AD|3，( x02) 2 y 9. 20将代入，整理得( x6) 2 y236.点 C 不能在 x 轴上， y0.综上，点 C 的轨迹是以(6,0)为圆心，6 为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点轨迹方程为( x6) 2 y236( y0)类题通法用代入法求轨迹方程的一般步骤活学活用3(2013嘉峪关高一检测)过点 A(8,
27、0)的直线与圆 x2 y24 交于点 B，则 AB 中点P 的轨迹方程为_解析：设点 P 的坐标为( x， y)，点 B 为( x1， y1)，由题意，结合中点坐标公式可得x12 x8， y12 y，故(2 x8) 2(2 y)24，化简得( x4) 2 y21，即为所求答案：( x4) 2 y2110.与 圆 有 关 的 轨 迹 轨 迹 方 程 问 题典例 (12 分)已知圆 O 的方程为 x2 y29，求经过点 A(1,2)的圆的弦的中点 P 的轨迹解题流程欲 求 弦 的 中 点 P的 轨 迹 ， 需 先 求 出 点 P的 轨 迹 方 程 .画出图形，结合圆的弦的中点的性质，由 AP OP
28、 建立关系求解设动点 P 的坐标 x， y 由 AP OP 讨论 AP 垂直于 x 轴情形 列 kAPkOP1的关系式 检验 得出结论规范解答设动点 P 的坐标为( x， y)，根据题意可知 AP OP.(2 分)当 AP 垂直于 x 轴时， P 的坐标为(1,0)，此时 x1；(3 分)当 x0 时， y0；(4 分)当 x0，且 x1 时，有 kAPkOP1，(5 分) kAP ， kOP ，(6 分)y 2x 1 yx 1，即 x2 y2 x2 y0( x0，且 x1)(8 分)y 2x 1 yx经检验，点(1,0)，(0,0)适合上式(10 分)综上所述，点 P 的轨迹是以 为圆心，以
29、 为半径的圆(12 分)(12， 1) 52名师批注AP 垂直于 x 轴时及 x0 时容易漏掉. 检验步骤不可少活学活用一动点 M 到点 A(4,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍，求动点的轨迹解：设动点 M 的坐标为( x， y)，则| MA|2| MB|，即 2 ， x 4 2 y2 x 2 2 y2整理得 x2 y28 x0，即所求动点的轨迹方程为 x2 y28 x0.随堂即时演练1(2011四川高考)圆 x2 y24 x6 y0 的圆心坐标是( )A(2,3) B(2,3)C(2，3) D(2，3)解析：选 D 圆的方程化为( x2) 2( y3) 213，圆心(2，3)，
30、选 D.2已知方程 x2 y22 x2 k30 表示圆，则 k 的取值范围是( )A(，1) B(3，)C(，1)(3，) D( ，)32解析：选 A 方程可化为：( x1) 2 y22 k2，只有2 k20，即 k0，即36 a290 0000，5050.法二：(几何法)圆 x2 y2100 的圆心为(0,0)，半径 r10，则圆心到直线的距离 d ，|a|32 42 |a|5当直线和圆相交时， dr，即 10， a50.|a|5类题通法直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断
31、(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系活学活用1(2012湛江检测)直线 x ky10 与圆 x2 y21 的位置关系是( )A相交 B相离C相交或相切 D相切解析：选 C 直线 x ky10 恒过定点(1,0)，而(1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交.切 线 问 题例 2 过点 A(1,4)作圆( x2) 2( y3) 21 的切线 l，求切线 l 的方程解 (12) 2(43) 2101，点 A 在圆外法一：当直线 l 的斜率不存在时， l 的方程是 x1，不满足题意设直线 l 的斜率为 k，则方程为 y4 k(x1)即 k
32、x y4 k0.圆心(2,3)到切线 l 的距离为 1，|2k 3 4 k|k2 1解得 k0 或 k ，34因此，所求直线 l 的方程 y4 或 3x4 y130.法二：由于直线 l 与圆相切，所以方程组Error!只有一解消去 y，得到关于 x 的一元二次方程(1 k2)x2(2 k22 k4) x k22 k40，则 (2 k22 k4) 24(1 k2)(k22 k4)0，解得 8k26 k0，即 k0 或 k ，34因此，所求直线 l 的方程为 y4 或 3x4 y130.类题通法1求过圆上一点( x0， y0)的圆的切线方程的求法：先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的
33、斜率为 ，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图1k形可直接得切线方程 y y0或 x x0.2过圆外一点( x0， y0)的切线方程的求法设切线方程为 y y0 k(x x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得 k，也就得切线方程当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为 x x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条一般不用联立方程组的方法求解活学活用2(2012昆明高一检测)直线 x y m0 与圆 x2 y2 m 相切，则 m 的值为( )A0 或 2 B2C. D无解2解析：选 B 由于直线与圆相切，故 ，解得 m0(舍去)或 m2.m|
34、m|12 123圆 x2 y24 x0 在点 P(1， )处的切线方程为( )3A x y20 B x y403 3C x y40 D x y203 3解析：选 D 点 P 在圆上，圆 x2 y24 x0 化为( x2) 2 y24，圆心 M(2,0)，半径为 2.kMP ，3 01 2 3切线 l 的斜率 kl ，33因此切线 l 的方程为 y (x1)，333整理得 x y20.3弦 长 问 题例 3 已知圆的方程为 x2 y28，圆内有一点 P(1,2)， AB 为过点 P 且倾斜角为 的弦(1)当 135时，求 AB 的长；(2)当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线 AB 的方程解
35、(1)法一：(几何法)如图所示，过点 O 作 OC AB.由已知条件得直线的斜率为 ktan 1351，直线 AB 的方程为 y2( x1)，即 x y10.圆心为(0,0)，| OC| .| 1|2 22 r2 ，| BC| ，28 (22)2 302| AB|2| BC| .30法二：(代数法)当 135时，直线 AB 的方程为 y2( x1)，即 y x1，代入 x2 y28，得 2x22 x70. x1 x21， x1x2 ，72| AB| |x1 x2|1 k2 . 1 1 x1 x2 2 4x1x2 30(2)如图，当弦 AB 被点 P 平分时， OP AB， kOP2， kAB
36、，12直线 AB 的方程为 y2 (x1)，12即 x2 y50.类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图 1，直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，设弦心距为 d，圆的半径为 r，弦长为| AB|，则有 2 d2 r2，即| AB|2 .(|AB|2 ) r2 d2(2)代数法：如图 2 所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则| AB| x1 x2 2 y1 y2 2 |x1 x2| |y1 y2|(直线 l 的斜率 k 存在)1 k21 1k211.过 一 点 求 圆 的 切 线 方 程 的 解 题 误 区
37、典例 过点 A(3,1)和圆( x2) 2 y21 相切的直线方程是( )A y1 B x3C x3 或 y1 D不确定解析 由题意知，点 A 在圆外，故过点 A 的切线应有两条当所求直线斜率存在时，设其为 k，则直线方程为 y1 k(x3)，即 kx y13 k0.由于直线与圆相切，所以d 1，解得 k0，所以切线方程为 y1.当所求直线斜率不存在时，|2k 0 1 3k|1 k2x3 也符合条件综上所述，所求切线方程为 x3 或 y1.答案 C易错防范1解题时只考虑所求直线的斜率存在的情况，而忽视了斜率不存在的情况，而错误地选 A；若只考虑斜率不存在的情形，而忽视了斜率存在的情况，而错误地
38、选 B.2过一点求圆的切线时，首先要判断点与圆的位置关系，以此来确定切线的条数，经过圆外一点可以作圆的两条切线，求解中若只求出一个斜率，则另一条必然斜率不存在成功破障已知圆 C：( x1) 2( y2) 24，则过点(3,5)并与圆 C 相切的切线方程为_解析：由于点(3,5)到圆心的距离为 2 r，得到点(3,5)在圆外4 9 13当切线的斜率存在时，设方程为 y5 k(x3)，由圆心到切线的距离d 2，| 2k 3|k2 1化简得 12k5，可解得 k ，512切线方程为 5x12 y450.当过(3,5)的直线斜率不存在时，直线方程为 x3，与圆相切综上可知切线方程为 5x12 y450
39、 或 x3.答案：5 x12 y450 或 x3随堂即时演练1直线 x2 y10 与圆 2x22 y24 x2 y10 的位置关系是( )A相离 B相切C相交但直线不过圆心 D相交且直线过圆心解析：选 C 圆心坐标为 ，半径长 r ，圆心到直线的距离 d r，所以直(1，12) 32 55线与圆是相交的但不过圆心，故选 C.2(2012湛江高一检测)设直线 l 过点 P(2,0)，且与圆 x2 y21 相切，则 l 的斜率是( )A1 B12C D33 3解析：选 C 设 l： y k(x2)即 kx y2 k0.又 l 与圆相切， 1. k .|2k|1 k2 333(2011重庆高考)过原
40、点的直线与圆 x2 y22 x4 y40 相交所得弦的长为 2，则该直线的方程为_解析：设所求直线方程为 y kx，即 kx y0.由于直线 kx y0 被圆截得的弦长等于 2，圆的半径是 1，因此圆心到直线的距离等于 0，即圆心位于直线12 22 2kx y0 上于是有 k20，即 k2，因此所求直线方程是 2x y0.答案：2 x y04过点 P(1,2)且与圆 C： x2 y25 相切的直线方程是_解析：点 P(1,2)是圆 x2 y25 上的点，圆心为 C(0,0)，则 kPC 2，2 1所以 k ， y2 (x1)故所求切线方程是 x2 y50.12 12答案： x2 y505(20
41、11湖北高考改编)过点(1，2)的直线 l 被圆 x2 y22 x2 y10 截得的弦长为 ，求直线 l 的方程2解：由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为 k.设直线 l 的方程为 y2 k(x1)又圆的方程为( x1) 2( y1) 21，圆心为(1,1)，半径为 1，所以圆心到直线的距离d .|2k 1 2|1 k2 12 (22)2 22解得 k1 或 .所以直线 l 的方程为 y2 x1 或 y2 (x1)，即 x y10177 177或 17x7 y30.课时达标检测一、选择题1若直线 ax by1 与圆 C： x2 y21 相交，则点 P(a， b)与圆 C 的位置关系是(
42、)A P 在圆内 B P 在圆外C P 在圆上 D不确定解析：选 B 直线 ax by1 与圆 x2 y21 相交，圆心到直线的距离 d 1，1a2 b2 a2 b21.2过原点且倾斜角为 60的直线被圆 x2 y24 y0 所截得的弦长为( )A. B23C. D26 3解析：选 D 直线的方程为 y x，圆的标准方程为 x2( y2) 24，圆心(0,2)到直3线的距离 d 1，知所求弦长为 d 2 2 ，故选 D.|30 2| 3 2 1 2 22 12 33若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线( x2) 2 y21 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为( )A ， B( ， )3
43、 3 3 3C. D.33， 33 ( 33， 33)解析：选 C 设直线为 y k(x4)，即 kx y4 k0，圆心(2,0)到直线的距离d ， d 应满足 d r，|2k 4k|1 k2 |2k|1 k2即 1，解得 k .|2k|1 k2 33， 334由直线 y x1 上的点向圆 C： x2 y26 x80 引切线，则切线长的最小值为( )A1 B2 2C. D37解析：选 C 圆 C 的方程可变为：( x3) 2 y21，圆心 C(3,0)，半径为 1.直线y x1 上点 P(x0， y0)到圆心 C 的距离| PC|与切线长 d 满足d |PC|2 12 x0 3 2 y20 12 .2x20 4x0 9 2 x0
