1、【三维设计】2015 高中数学 第一章 空间几何体学案 新人教 A 版必修 211 空间几何体的结构11.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征提出问题观察下列图片：问题 1：图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？提示：由若干个平面多边形围成问题 2：图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与(1)(2)(3)中有何不同？提示：(4)(5)(6)的表面是由平面与曲面围成，(7)的表面是由曲面围成的问题 3：图片(4)(5)(6)(7)中的几何体是否可以看作平面图形绕某定直线旋转而成？提示：可以导入新知1空间几何体概念 定义空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分如果我
2、们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴2多面体多面体 定义 图形及表示 相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCD A B C D底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共
3、边顶点：侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S ABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCD A B C D上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点化解疑难1对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面一个多面体由几个面围成，就称为几面
4、体(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分2棱柱具有以下结构特征和特点：(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图 a 所示(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图 b 所示(4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图 c 所示3对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图 d 所示4棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台棱柱的结构特征例 1 下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3
5、)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱其中正确说法的序号是_解析 (1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)答案 (3)(4)类题通法有关棱柱的结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析两个面互相平行；其余各面是四边形；相邻两个四边形的公共边互相平行求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除活学活用1下列四个命题中，假命题为( )A
6、棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B棱柱的各个侧面都是平行四边形C棱柱的两底面是全等的多边形D棱柱的面中，至少有两个面互相平行解析：选 A A 错，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，B、C、D 是正确的.棱锥、棱台的结构特征例 2 下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是_解析 (1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面
7、之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥答案 (2)(3)(4)类题通法判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确(2)直接法：棱锥 棱台定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点活学活用2试判断下列说法正确与否：由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥；两个底面平行且相似，其余各面都是
8、梯形的多面体是棱台解：不正确，由六个面围成的封闭图形有可能是四棱柱；不正确，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体侧棱不一定相交于一点，所以不一定是棱台.多面体的平面展开图例 3 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以为五棱柱，为五棱锥，为三棱台类题通法1解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力2若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面3若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推活学活用3.水平放置的正
9、方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )A1 B2C快 D乐解析：选 B 由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1 与乐相对，2 与2 相对，0 与快相对，所以下面是 2.1.柱 、 锥 、 台 结 构 特 征 判 断 中 的 误 区典例 如图所示，几何体的正确说法的序号为_(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到解析 (1)正确，因为
10、有六个面，属于六面体的范围；(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；(4)(5)都正确，如图所示易错防范1解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理2解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断成功破障如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A棱柱 B棱台C棱柱与棱锥的组合体 D不能确定解析：选 A 如图平面 AA1D1D平面 BB1C1C，有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)
11、因此呈棱柱形状随堂即时演练1下列几何体中棱柱有( )A5 个 B4 个C3 个 D2 个解析：选 D 由棱柱定义知，为棱柱2下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )解析：选 D A、B、C 中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱3棱锥最少有_个面答案：44下列几何体中，_是棱柱，_是棱锥，_是棱台(仅填相应序号)答案： 5(1)三棱锥、四棱锥、十五棱锥分别有多少条棱？多少个面？(2)有没有一个多棱锥，其棱数是 2 012？若有，求出有多少个面；若没有，说明理由解：(1)三棱锥有 6 条棱、4 个面；四棱锥有 8 条棱、5 个面；十五棱锥有 30 条棱、16个面(2)设 n 棱锥的棱数是
12、2 012，则 2n2012，所以 n1 006，1 006 棱锥的棱数是 2 012，它有 1 007 个面课时达标检测一、选择题1下列图形中，不是三棱柱的展开图的是( )答案：C2有两个面平行的多面体不可能是( )A棱柱 B棱锥C棱台 D以上都错解析：选 B 棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行3关于棱柱，下列说法正确的是( )A只有两个面平行B所有的棱都相等C所有的面都是平行四边形D两底面平行，侧棱也互相平行解析：选 D 对于 A，如正方体可以有六个面平行，故 A 错；对于 B，如长方体并不是所有的棱都相等，故 B 错；对于 C，如三棱柱的底面是三角形，故 C 错；对
13、于 D，由棱柱的概念，知两底面平行，侧棱也互相平行故选 D.4(2011广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A20 B15C12 D10解析：选 D 从正五棱柱的上底面 1 个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得 2 条对角线，故共有 5210 条对角线5下列命题中正确的是( )A用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C棱台的底面是两个相似的正方形D棱台的侧棱延长后必交于一点解析：选 D A 中的平面不一定平行于底面，故 A 错；B
14、中侧棱不一定交于一点；C 中底面不一定是正方形二、填空题6面数最少的棱柱为_棱柱，共有_个面围成解析：棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有 3 个，故面数最少的棱柱为三棱柱，共有五个面围成答案：三 57.如图， M 是棱长为 2 cm 的正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 CC1的中点，沿正方体表面从点 A 到点 M 的最短路程是_ cm.解析：由题意，若以 BC 为轴展开，则 A， M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为 2 cm,3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以 BB1为轴展开，则 A， M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长13度分别为 1,4，
15、故两点之间的距离是 cm.17故沿正方体表面从点 A 到点 M 的最短路程是 cm.13答案： 138侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体底面是矩形的直平行六面体叫做长方体棱长都相等的长方体叫做正方体请根据上述定义，回答下面的问题：(1)直四棱柱_是长方体；(2)正四棱柱_是正方体(填“一定” 、 “不一定” 、 “一定不”)解析：根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体；正方体一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方体答案：(1)不
16、一定 (2)不一定三、解答题9观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥(3)是国家游泳中心“水立方” ，其主体结构是四棱柱(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱10(2011山东高考改编)给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明解：如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个
17、相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的 ，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三14角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底11.2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 简单组合体的结构特征旋转体提出问题如图，给出下列实物图问题 1：上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？提示：它们不是由平面多边形围成的问题 2：上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否以某平面图形旋转而成？提示：可以问题 3：如何形成上述几何体的曲面？提示：可将半圆、直角梯形、直角三角形绕一边所在直线为轴旋转而成导入新知旋转体 结构特征 图形 表示圆柱以
18、矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆柱 OO圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥 SO转体叫做圆锥圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台 OO球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转
19、体叫做球体，简称球半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径球常用球心字母进行表示，左图可表示为球 O化解疑难1以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥2球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分3圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体.简单组合体提出问题中国首个空间实验室“天宫一号”于 2011 年 9 月 29 日 16 分成功发射升空，并与当年11 月与“神舟八号”实现无人空间对接，下图为天宫一号目标飞行器的结构示意图其主体结构如图所示：问
20、题 1：该几何体由几个几何体组合而成？提示：4 个问题 2：图中标注的部分分别为什么几何体？提示：为圆台，为圆柱，为圆台，为圆柱导入新知1简单组合体的概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体2简单组合体的构成形式有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的化解疑难简单组合体识别的要求(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式(3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)旋转体的结构特征例 1 给出下列说法：(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面
21、围成的几何体是圆锥；(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径，其中正确说法的序号是_解析 (1)不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体就不是圆锥，而是两个同底圆锥的组合体；(2)正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)正确，如图所示，经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)正确，如图所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的 2 倍(即直径)答案 (2)(3)(4)类题通法1判断
22、简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成(2)明确旋转轴是哪条直线2简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想活学活用1给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体其中说法正确的是_解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长
23、相交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体答案：(1)(2)简单组合体例 2 观察下列几何体的结构特点，完成以下问题：(1)图所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，可旋转该图形180后得到几何体；(2)图所示几何体结构特点是什么？试画出几何图形，可旋转该图形 360得到几何体；(3)图所示几何体是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数解析 (1)图是由圆锥和圆台组合而成可旋转如下图形 180得到几何体.(2)图是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心可旋转如下图形 360得到几何体.(3)图是由一个四
24、棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同共有 9 个面，9 个顶点，16 条棱类题通法1明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数，如图所示的组合体有 9 个面，9 个顶点，16 条棱2会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力活学活用2下列组合体是由哪些几何体组成的？解：(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱(2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱(3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台1.旋 转 体
25、 的 生 成 过 程典例 如图，四边形 ABCD 为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体解题流程分 别 以 边 AD、 AB、 BC、 CD所 在 直 线 为 旋 转 轴 旋 转已 知 四 边 形 ABCD为 直 角 梯 形以边 AD 所在直线为旋转轴旋转 以边 AB 所在直线为旋转轴旋转 以边 CD 所在直线为旋转轴旋转 以边 BC 所在直线为旋转轴旋转规范解答以边 AD 所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是圆台，如图(1)所示以边 AB 所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接而成的几何体，如图(2)所示以边 CD 所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一
26、个圆柱挖掉一个圆锥构成的几何体，如图(3)所示以边 BC 所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是由一个圆台挖掉一个圆锥构成的几何体和一个圆锥拼接而成，如图(4)所示活学活用一个有 30角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转 180得到什么几何体？旋转 360又得到什么几何体？解：如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥如图(4)所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转 180围成的几何体是两个半圆锥，旋转 360围成的几何体是一个圆锥随堂即时演练
27、1(2012临海高一检测)圆锥的母线有( )A1 条 B2 条C3 条 D无数条答案：D2.右图是由哪个平面图形旋转得到的( )解析：选 A 图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由 A 中图形绕图中虚线旋转 360得到3等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转 180，所得几何体是_答案：圆锥4如图所示的组合体的结构特征为_解析：该组合体上面是一个四棱锥，下面是一个四棱柱，因此该组合体的结构特征是四棱锥和四棱柱的一个组合体答案：一个四棱锥和一个四棱柱的组合体5.如图， AB 为圆弧 BC 所在圆的直径， BAC45.将这个平面图形绕直线AB 旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征解：如图
28、所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的课时达标检测一、选择题1下列命题中正确的是( )圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；圆柱的所有平行于底面的截面都是圆；圆台的两个底面可以不平行A BC D解析：选 B 中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于 90时，其面积不是最大的；圆台的两个底面一定平行故错误2将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )A一个圆台、两个圆锥B两个圆台、一个圆柱C两个圆柱、一个圆台D一个圆柱、两个圆锥解析：选 D 从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底
29、边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图：3以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )A两个圆锥拼接而成的组合体B一个圆台C一个圆锥D一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析：选 D 如图以 AB 为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥4下列叙述中正确的个数是( )以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台A0 B1C2 D3解析：选 B 中应以直角三角形的直角边所在直线为轴，中应以直角梯形中的直角
30、腰所在直线为轴，中应用平行于底面的平面去截，正确5.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )A该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B该几何体有 12 条棱、6 个顶点C该几何体有 8 个面，并且各面均为三角形D该几何体有 9 个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形解析：选 D 该几何体用平面 ABCD 可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形 ABCD 是它的一个截面而不是一个面二、填空题6下列 7 种几何体：(1)柱体有_；(2)锥体有_；(3)球有_；(4)棱柱有_；(5)圆柱有_；(6)棱锥有_；(7)圆锥有_解析：由柱、锥、台及球的结构特点易
31、于分析，柱体有 a、d、e、f；锥体有 b、g；球有 c；棱柱有 d、e、f；圆柱有 a；棱锥为 g；圆锥为 b.答案：(1)a、d、e、f (2)b、g (3)c(4)d、e、f (5)a (6)g (7)b7下面这个几何体的结构特征是_.解析：根据图形可知此几何体是由一个四棱锥、一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成答案：由一个四棱锥、一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成8如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是_答案：圆柱三、解答题9指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的解：分割原图，使它的每一部分都是简单几何体图(1)是由一个三棱柱和一个四
32、棱柱拼接而成的简单组合体图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体10.如图所示，用一个平行于圆锥 SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别为 2 cm 和 5 cm，圆台的母线长是 12 cm，求圆锥 SO 的母线长解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形 ABCD，由已知可得上底半径 O1A2 cm，下底半径 OB5 cm，且腰长 AB12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由 SAO1 SBO，可得 ，所以 l20 cm，即截得此圆台的圆锥l 12l 25的母线长为 20 cm.12 空间几何体的三视图和直观图12.1 & 1.2.2 中心投影与平行投影
33、 空间几何体的三视图中心投影与平行投影提出问题15 年之后， 泰坦尼克号再次被搬上了荧屏，而这次的宣传噱头则是 3D.泰坦尼克号 3D让观众在明知下一步剧情发展的情况下，仍然会因为发生在“眼前”的真实爱情悲歌热泪盈眶从右图中我们可以清楚看到 3D 电影是怎么一回事：两个投影机会从不同的方向错开一定距离，把画面中有距离区别的部分投射到荧幕上而观众所佩戴的 3D 眼镜也会选择不同的光线进入左右眼，这样你就能看到物体“前于画面”或“后于画面”的视觉假象了电影的播放实质是利用了小孔成像原理，而太阳光下地面上人的影子是阳光照射到人后留下的影像放电影和太阳光照射成影像都具备光线、不透明物体和投影面这些相同
34、的条件问题 1：放电影成像与太阳光成像原理一样吗？提示：不一样问题 2：电影成像中的光线有何特点？提示：光是由一点向外散射问题 3：太阳光照人成影像的光线又有何特点？提示：一束平行光线导入新知1投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面2中心投影与平行投影投影 定义 特征 分类中心投影光由一点向外散射形成的投影投影线交于一点平行投影在一束平行光线照射下形成的投影投影线互相平行 正投影和斜投影化解疑难平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法，但二者又有区别(1)中心投影的投影线交于一点，平行投影的
35、投影线互相平行(2)平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同三 视 图提出问题如梦似幻！这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象同天安门、故宫、长城等北京标志性建筑一样， “水立方”成了游客在北京的必到之地问题 1：水立方的外观形状是什么？提示：长方体问题 2：假如你站在水立方入口处的正前方或在水立方的左侧看水立方，你看到的是什么？提示：水立方的一个侧面问题 3：若你在水立方的正上方观察水立方看到什么？提示：水立方的一个表面问题 4：根据上述三个方向观察到的平面，能否画出水立方的形状？提示：可以导入新知三视图 概念 规
36、律正视图光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图侧视图光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图俯视图光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样化解疑难1每个视图都反映物体两个方向上的尺寸正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸2画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示中心投影与平行投影例 1 下列说法中：平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的
37、直线；两条相交直线的平行投影是两条相交直线其中正确的个数为( )A0 B1C2 D3解析 序号 正误 原因分析 由平行投影和中心投影的定义可知 空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点 两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线答案 B类题通法1判定几何体投影形状的方法：(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断(2)对于平行投影，当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具
38、有以下性质：直线或线段的投影仍是直线或线段；平行直线的投影平行或重合；平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比2画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影活学活用1.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M、 N 分别是 BB1、 BC 的中点，则图中阴影部分在平面 ADD1A1上的投影为( )解析：选 A N 在面 ADD1A1内的投影是 AD 中点， M 在
39、面 ADD1A1内的投影是 AA1中点画空间几何体的三视图例 2 画出如右图所示的四棱锥的三视图解 几何体的三视图如下：类题通法画三视图的注意事项(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法活学活用2(2012湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )解析：选 D 对于选项 A，两个圆柱符合要求；对于选项 B，一个圆柱和一个正四棱柱的组合体符合要求；对于选项 C，一个底面为等腰直
40、角三角形的三棱柱和一个正四棱柱的组合体符合要求；选项 D 如果可能的话，则这个空间几何体是一个正三棱柱和一个正四棱柱的组合体，其正视图中上面矩形的底边是三棱柱的底面边长，但侧视图中上面矩形的底面边长是三棱柱底面三角形的高，故只有选项 D 中的不可能.由三视图还原空间几何体例 3 (1)如图所示的三视图表示的几何体是什么？画出物体的形状(1)(2)(3)解 (1)该三视图表示的是一个四棱台，如图：(2)由俯视图可知该几何体是多面体，结合正视图、侧视图可知该几何体是正六棱锥如图：(3)由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体上面是
41、一个圆柱，下面是一个四棱柱，所以该几何体的形状如图所示类题通法由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状活学活用3根据图中的物体的三视图，画出物体的形状(1)(2)解：(1)由三视图可知，下面为棱柱、上面为正方体，故表示物体的实物图形如图(2)由三视图可知，上面为半球，下面为三棱柱，如图2.画 几 何 体 的 三 视 图 常 见 误 区典例 某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是( )解析 该几何体是由圆柱切割而得，由俯视图可知正视方向和侧视方向，进一步可画出正视图和侧视图(如图
42、所示)，故选 A.答案 A易错防范1易忽视组合体的结构特征是由圆柱切割而得到和正视方向与侧视方向的判断而出错2三种视图中，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线画三视图时，一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误成功破障沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是( )解析：选 D 从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，注意看得到的棱画实线随堂即时演练1(2012福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A球 B三棱锥C正方体 D圆柱解析：选 D 球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方
43、体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故应选 D.2以下关于投影的叙述不正确的是( )A手影就是一种投影B中心投影的投影线相交于点光源C斜投影的投影线不平行D正投影的投影线和投影面垂直解析：选 C 平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故 C 错3下图中三视图所表示几何体的名称为_解析：由三视图可知，该几何体为圆柱，且圆柱的底面在正前面答案：圆柱4直线的平行投影可能是_答案：直线或点5画出如图所示几何体的三视图解：图为正六棱柱，可按棱柱的画法画出；图为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状三视图如图所示课时达标检测
44、一、选择题1下列说法正确的是( )A矩形的平行投影一定是矩形B梯形的平行投影一定是梯形C两条相交直线的平行投影可能平行D若一条线段的平行投影是一条线段，则中点的平行投影仍为这条线段投影的中点解析：选 D 对于 A，矩形的平行投影可以是线段、矩形、平行四边形，主要与矩形的放置及投影面的位置有关；同理，对于 B，梯形的平行投影可以是梯形或线段；对于 C，平行投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线；D 正确2四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影(阴影部分)效果如图，则在字母 L，K，C 的投影中，与字母 N 属同一种投影的有( )解析：选 A N 和 L，K 属中心投影，C 属平行投影3(2011江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析：选 D 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投
