1、第 7 课时 直线方程的综合应用1.巩固直线方程的概念和两直线的位置关系 .2.会用直线方程的性质及距离公式解决综合性问题 .前面几节课,我们学习了直线的五种方程,两直线间的平行问题、垂直问题,相交的交点坐标,距离公式 ,还接触了对称问题,那么对这些内容有没有完全吸收理解呢?会不会解决它们的综合性问题呢?于是,我们在这里停一下脚步,回头巩固一下我们所学的重点知识,强化一下这些知识的综合性的应用 .问题 1:两条直线的位置关系(1)设直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1 l2 k1=k2且 b1 b2 ; l1 l2 k1 k2=-1 . (2)若直线 l1:A1x+B1
2、y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1 l2 A1B2=A2B1且 B1C2 B2C1 ; l1 l2 A1A2+B1B2=0 . 问题 2:距离公式(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离为 |P1P2|= . (21)2+(21)2(2)点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= . (3)直线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1 C2),则 d= . 问题 3:对称问题(1)常见的点关于直线的对称点坐标之间关系总结如下:A (a,b)关于 x 轴的对称点为 A (a,-b) ; B (a,b)关于 y 轴的对
3、称点为 B (-a,b) ; C (a,b)关于直线 y=x 的对称点为 C (b,a) ; D (a,b)关于直线 y=-x 的对称点为 D (-b,-a) ; P (a,b)关于直线 x=m 的对称点为 P (2m-a,b) ; Q (a,b)关于直线 y=n 的对称点为 Q (a,2n-b) . (2)常见的直线关于直线的对称直线有:设直线 l:Ax+By+C=0.l 关于 x 轴对称的直线是 Ax+B(-y)+C=0 ; l 关于 y 轴对称的直线是 A(-x)+By+C=0 ; l 关于直线 y=x 对称的直线是 Bx+Ay+C=0 ; l 关于直线 y=-x 对称的直线是 A(-y
4、)+B(-x)+C=0 . 转化思想是解决对称问题的主要思想方法,其他问题如角的平分线、光线反射等也可转化成对称问题 .问题 4:直线系方程(1)过定点的直线系:( A1x+B1y+C1)+ (A2x+B2y+C2)=0,过由方程组 的解确定的定点 . (2)平行直线系:直线 y=kx+b 是与直线 y=kx 平行的直线系,其中 b0 ;直线 Ax+By+C=0 是与直线 Ax+By=0 平行的直线系,其中 C0 . (3)垂直直线系:直线 Bx-Ay+C=0 是与直线 Ax+By=0 垂直的直线系 . 1.若方程(2 m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0 表示一条直线,则实数 m
5、满足( ).A.m0 B.m -32C.m1 D.m1, m - ,m0322.过点(1,3)且与原点的距离为 1 的直线的条数为( ).A.3 B.2 C.1 D.03.点 A(-2,2)到直线 l:(m+1)x+(2-m)y-3m+3=0 距离的最大值是 . 4.在 ABC 中,高线 AD 与 BE 的方程分别是 x+5y-3=0 和 x+y-1=0,AB 边所在直线的方程是x+3y-1=0,试求点 C 的坐标 .直线间的平行与垂直问题求过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8=0 的交点,且分别满足下列条件的直线方程 .(1)与直线 l:3x+4y-2=0 平行 .(
6、2)到点 P(0,4)的距离为 2.距离公式的应用点 P(-2,-1)到直线 l:(1+3 )x+(1+ )y-2-5= 0 的距离为 d,求 d 的最大值 .直线间的对称问题已知直线 l:y=3x+3.求:(1)点 P(4,5)关于 l 的对称点坐标;(2)直线 y=x-2 关于 l 的对称直线的方程;(3)直线 l 关于点 A(3,2)的对称直线的方程 .已知直线( a-1)x-2y+4=0 与 x-ay-1=0.(1)若两直线平行,则 a= ; (2)若两直线垂直,则 a= . 已知正方形的中心为直线 x-y+1=0 和 2x+y+2=0 的交点,正方形一边所在的直线方程为x+3y-2=
7、0,求其他三边所在直线的方程 .已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2),求:(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标;(2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m的方程 .1.过点(2,1)和( a,2)的直线方程为( ).A.y-1= (x-2) B.x=212C.y-1= (x-2)或 x=2 D.y-1= (x-2)或 y=212 122.直线 x+2y-1=0 关于直线 x=2 对称的直线方程是( ).A.x+2y-3=0 B.x-2y-3=0 C.2x-y+3=0 D.2x-y-3=03.直线 l1:3x+4y-2=0 关于直线 6x+8y+
8、4=0 对称的直线方程为 . 4.一直线经过点 P(3,2),并且和两条直线 x-3y+10=0、2 x-y-8=0 都相交,且两个交点连线的中点为 P,求这条直线的方程 .(2011 年安徽卷)在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点( x,y)为整点,下列命题中正确的是 (写出所有正确命题的编号) . 存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 . 如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点 . 直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 . 直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 . 存
9、在恰经过一个整点的直线 .考题变式(我来改编):第 7 课时 直线方程的综合应用知识体系梳理问题 1:(1)k1=k2且 b1 b2 k1 k2=-1 (2)A1B2=A2B1且 B1C2 B2C1 A1A2+B1B2=0问题 2:(1) (2) (3)(21)2+(21)2|0+0+|2+2|12|2+2问题 3:(1) (a,-b) (-a,b) (b,a) (-b,-a) (2m-a,b) (a,2n-b) (2)Ax+B (-y)+C=0 A (-x)+By+C=0 Bx+Ay+C= 0 A (-y)+B(-x)+C=0问题 4:(1) (2)b0 Ax+By+C=0 (3)Bx-Ay
10、+C=01+1+1=0,2+2+2=0基础学习交流1.C 2m2+m-3,m2-m 不能同时为 0,所以 m1 .2.B 根据直线过点(1,3),当斜率存在时,可设其方程为 y-3=k(x-1),即 kx-y+3-k=0,又与原点的距离为 1,则 =1,解之得 k= .当斜率不存在时,直线为 x=1,显然与原点的距离为|3|1+2 431,故满足条件的直线有 2 条 .3.5 直线 l 方程变形为( x-y-3)m+(x+2y+3)=0,则有 解得 即直线 l 恒3=0,+2+3=0 =1,=2,过点 B(1,-2),易求得 =5,所以 A 到直线 l 距离小于等于 5,当 AB l 时等号成
11、立 .|4.解:联立 AD 方程和 AB 方程 可求得点 A 坐标为( -2,1),设点 C(a,b),+53=0,+31=0,因为 AC BE,所以 kACkBE=-1,得到 a-b+3=0,同理可求得点 B 坐标为(1,0), kADkBC=-1,得到 5a-b-5=0,解方程 得 所以点 C 的坐标为(2,5) .+3=0,55=0 =2,=5,重点难点探究探究一:【解析】设经过直线 l1和 l2的交点的直线方程为(2 x+3y-8)+m(x-2y+3)=0,即(2 +m)x+(3-2m)y+3m-8=0.(1)由题意得,4(2 +m)=3(3-2m),解得 m= ,所求直线的方程为(2
12、 x+3y-8)+ (x-2y+3)=0,即110 1103x+4y-11=0.(2)由题意可得, =2,化简得 5m2-8m-36=0,解得 m=-2 或 m= ,代入|(128)+38|(2+)2+(32)2 185 式得所求直线方程为 y=2 或 4x-3y+2=0.【小结】常见的直线系方程有:(1)平行的直线系方程,与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程为 Ax+By+M=0(M C),或与 y=kx+b 平行的直线系方程为 y=kx+n(n b);(2)垂直的直线系方程,与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为 Bx-Ay+N=0;(3)经过两条直线交点的直线系方程,经过
13、直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为( A1x+B1y+C1)+m(A2x+B2y+C2)=0(其中 m 为实数),方程不包括直线 l2.探究二:【解析】直线 l 的方程可化为 x+y-2+ (3x+y-5)=0,由 解得 直线 l 过定点 A( , ).+2=0,3+5=0, =32,=12, 3212如图, d |PA|.当 PA l 时,d 取最大值 |PA|.|PA|= ,(232)2+(112)2 582d 的最大值为 .582【小结】数形结合、运动变化的思想方法是数学中常用的思想方法,当图形中的元素运动变化时我们能直观看到一
14、些量的变化情况,进而可求出这些量的变化范围 .探究三:【解析】(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P(x,y),则点 P,P的中点 M 在直线 l 上,且直线 PP垂直于直线 l,即 解得 所以点 P的坐标为( -+52 =3+42 +3,543=1, =2,=7, 2,7).(2)设直线 l1:y=x-2 关于 l 的对称直线为 l2,则 l1上的任一点 P1(x1,y1)关于 l 的对称点为 P2(x2,y2)一定在 l2上,反之也成立,所以1+22 =31+22 +3,12123=1, 解得 把( x1,y1)代入 y=x-2 中,整理得 7x2+y2+22=0,所以直线 y=x-
15、21=452+35295,1=352+452+35,关于 l 的对称直线的方程为 7x+y+22=0.(3)设直线 l 关于点 A(3,2)的对称直线为 l,由于 l l,可设直线 l为 y=3x+b,且y=3x+3 上的点(0,3)关于 A(3,2)对称的点一定在直线 l上,设该点的坐标为( x0,y0),则即 代入 y=3x+b,解得 b=-17,故 l的方程为 y=3x-17,即对称直线的方0+02 =3,3+02 =2, 0=6,0=1,程为 3x-y-17=0.【小结】点的对称问题是最基本的对称,是其他对称的基础 .同时,关于对称问题还需注意以下几类特殊情况:(1)点 P(x,y)关
16、于 x 轴的对称点为 P(x,-y);(2)点 P(x,y)关于 y 轴的对称点为 P(-x,y);(3)点 P(x,y)关于原点的对称点为 P(-x,-y);(4)点 P(x,y)关于直线y=x 的对称点为 P(y,x);(5)点 P(x,y)关于直线 y=-x 的对称点为 P(-y,-x).思维拓展应用应用一: -1 或 2 (法一)当 a=0 或 1 时,两直线相交 .13当 a0 且 a1 时,直线( a-1)x-2y+4=0 的斜率为 k1= ,b1=2;1+2直线 x-ay-1=0 的斜率为 k2= ,b2=- .1 1(1)由 k1=k2,且 b1 b2,即 = 且 a - ,解
17、得 a=-1 或 a=2,11+2 12 当 a=-1 或 2 时,两直线平行 .(2)由 k1k2=-1,即 =-1,得 a= .1 1+2 13 当 a= 时,两直线垂直 .13(法二)(1)由两直线平行得:( a-1)(-a)+21=0,即得 a2-a-2=0,解得 a=-1 或 a=2,又 a=-1 或 a=2 时两直线不重合 . 当 a=-1 或 2 时,两直线平行 .(2)由 a-1+2a=0,得 a= ,13 当 a= 时,两直线垂直 .13应用二:由 得+1=0,2+2=0 =1,=0, 中心坐标为( -1,0), 中心到已知边的距离为 = .|12|12+32 310设正方形
18、相邻两边方程为 x+3y+m=0 和 3x-y+n=0. 正方形中心到各边距离相等, = 和 = ,|1+|10 310|3+|10 310m= 4 或 m=-2(舍), n=6 或 n=0. 其他三边所在直线的方程为 x+3y+4=0,3x-y=0,3x-y+6=0.应用三:(1)设 A(x,y),由已知得解得+2+123=1,212 322 +1=0, =3313,=413. A (- , ).3313413(2)在直线 m 上取一点如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称点必在 m上,设对称点为M(a,b),则 解得2+22 3+02 +1=0,0223=1, =613,=
19、3013.M ( , ).6133013设 m 与 l 的交点为 N,由 得 N(4,3).23+1=0,326=0,又 m 经过点 N(4,3), 直线 m的方程为 9x-46y+102=0.基础智能检测1.C 当 a=2 时,过点(2,1)和( a,2)的直线方程为 x=2;当 a2 时,过点(2,1)和( a,2)的直线方程为 y-1= (x-2).122.B x+2y-1=0 经过两点( -1,1),(1,0),这两点关于直线 x=2 对称的点分别是(5,1),(3,0),由两点式可求得对称直线为 x-2y-3=0.3.3x+4y+6=0 直线 3x+4y-2=0 与 6x+8y+4=
20、0 平行 . 设所求直线方程为 3x+4y+b=0(b 2).由题意得 = ,解得 b=6.|2+2|5 |2|54.解: P 是两个交点的中点, 两个交点关于点 P 对称 .设所求直线与直线 x-3y+10=0 的交点 A 的坐标为( x0,y0),则它与另一直线 2x-y-8=0 的交点B 的坐标为(6 -x0,4-y0). 点 B(6-x0,4-y0)在直线 2x-y-8=0 上, 2(6-x0)-(4-y0)-8=0,即 -2x0+y0=0,解方程组 得030+10=0,20+0=0, 0=2,0=4.故所求直线方程为 = ,即 2x+y-8=0.242323全新视角拓展 正确,比如直线 y=x+ ,当 x 取整数时, y 始终是一个无理数 ; 错,直线 y=3x- 中 k 与 b 都是无理数, 但直线经过整点(1,0); 正确,当直线经过两个整点时,它经2 2过无数多个整点; 错误,当 k=0,b= 时,直线 y= 不通过任何整点; 正确,比如直线 y= x-12 12 2只经过一个整点(1,0) .故答案为 .2思维导图构建斜率都相等 截距不相等
