1、课时训练 20 几何概型 均匀随机数的产生一、与长度、角度有关的几何概型1.(2015 山东高考,文 7)在区间0,2上随机地取一个数 x,则事件“- 1lo 1”发生的概率为( )12(+12)A. B. C. D.34 23 13 14答案:A解析:由-1lo 1,得 lo 2lo lo ,所以 x+ 2,所以 0x .由几何概型可12(+12) 1 12(+12) 1212 12 12 32知,事件发生的概率为 .32-02-0=342.设 p 在区间0,5上随机地取值,则关于 x 的方程 x2+px+1=0 有实数根的概率为( )A. B. C. D.15 25 35 45答案:C解析
2、:因为方程 x2+px+1=0 有实根,则 =p2-40,解得 p2 或 p- 2(舍去),所以由几何概型可知所求的概率为 ,应选 C.5-25-0=353.已知 A 为圆周上一点,在圆周上等可能地取点 B,与 A 连接,则弦 AB 长不超过半径的概率为( )A. B. C. D.18 14 13 12答案:C解析:如图,O 为圆的圆心,AOP=AOP=60,因为当点 B 在劣弧 上时,AB 长不超过半径,所以所求概率为 .120360=134.在区间- 2,4上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|m 的概率为 ,则 m= . 56答案:3解析:由题意- 2,4的区间长度为 6,而满足条件的
3、 x 取值范围的区间长度为 5,故 m 取 3,x- 2,3.二、与面积有关的几何概型5.已知四边形 ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点.在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 ( )A. B.1- C. D.1-4 4 8 8答案:B解析:如图,当取到的点位于阴影区域时满足条件 ,因此所求概率为 =1- .故选 B.12-121212 46.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随意投一点,则落入 E 中的概率为 . 答案
4、:16解析:区域 D 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内部(含边界), 区域 E 表示单位圆及其内部,所以所求概率为 .1244=167.如图,在一不规则区域内,有一边长为 1 m 的正方形,向该区域内随机地撒 1 000 颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为 375 颗.以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 m2.(用分数作答) 答案:83解析:设该不规则图形的面积为 S,又正方形面积为 1 m2,所以可得 S= (m2).1 000375=83三、与体积有关的几何概型8.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体 ABCD-A1B1C1D1
5、 内随机取点 M,求使四棱锥 M-ABCD 的体积小于 的概率.16解:如图是正方体 ABCD -A1B1C1D1,设四棱锥 M-ABCD 的高为 h,由 S 正方形 ABCDh0,05, 解得2或 1,0,23,05, 所以 p1 或 2p5,即 p 2,5,由几何概型的概率计算公式可知所求概率为23 (23,1.(1-23)+(5-2)5 =2310.如图,平面上一长 12 cm,宽 10 cm 的矩形 ABCD 内有一半径为 1 cm 的圆 O(圆心 O 在矩形对角线交点处).把一枚半径为 1 cm 的硬币掷在矩形内,求硬币和圆 O 不相碰的概率.解:要使硬币不与圆 O 相碰,则硬币中心距圆心 O 不小于 2 cm,即硬币中心在如图所示的阴影部分内.所以硬币不与圆相碰的概率为 =1- .810-2280 20
