1、2005 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题（理工农医类）分选择题和非选择题两部分. 满分 150 分. 考试时间 120 分钟.注意事项：1答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
2、 如果事件 A、B 相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 knknnPCP)1()(第一部分（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1圆 关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）5)2(yxA B2 5)2(yxC D)()(yx2 （ ）2051iA B C Di2052053若函数 是定义在 R 上的偶函数，在 上是减函数，且 ，则使得)(xf ,()(f的 x 的取值范围是 （ ）0
3、A B C D （2，2）)2,(),2(),(,(4已知 A（3，1） ，B（6，1） ，C（4，3） ，D 为线段 BC 的中点，则向量 与 的夹角为AC（ ）A B C D54arcos254arcos)54arcos()54arcos(5若 x，y 是正数，则 的最小值是 （ ）22)1()(xyxA3 B C4 D7296已知 、 均为锐角，若 的 （ ） qpqp是则,:),sin(i: A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7对于不重合的两个平面 与 ，给定下列条件：存在平面 ，使得 、 都垂直于 ；存在平面 ，使得 、 都平行于 ； 内有不共线
4、的三点到 的距离相等；存在异面直线 l、m，使得 l/ ，l / ，m / ，m/ ，其中，可以判定 与 平行的条件有 （ ）A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个8若 n 展开式中含 项的系数与含 项的系数之比为5，则 n 等于 （ ）)2(x1x41xA4 B 6 C8 D109若动点（ ）在曲线 上变化，则 的最大值为 （ ）y, )0(42byyx2A B)(2,04b)2(2,04bC D210如图，在体积为 1 的三棱锥 ABCD 侧棱AB、AC、AD 上分别取点 E、F、G ， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记 O 为三平面 BCG、CDE、DB
5、F 的交点，则三棱锥 OBCD 的体积等于 （ ）A B9181C D74第二部分（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填写在答题卡相应位置上.11集合 R| ，则 = .xBxRxA,0|2 2|BA12曲线 处的切线与 x 轴、直线 所围成的三角形的面积为)(,33ay在 点 a= .a则,6113已知 、 均为锐角，且 = . tan),sin()cos(则14 = .nn231lim15某轻轨列车有 4 节车厢，现有 6 位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这 6 位乘客进入各节车厢的人数恰好为 0，1，2，
6、3 的概率为 .16连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）.菱形 有 3 条边相等的四边形 梯形平行四边形 有一组对角相等的四边形三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 13 分）若函数 的最大值为 2，试确定常数 a 的值.)2cos(in)2sin(4co1)( xaxxf 18 （本小题满分 13 分）在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖，某顾客从此 10 张券中任抽 2 张
7、，求：（）该顾客中奖的概率；（）该顾客获得的奖品总价值 （元）的概率分布列和期望 .E19 （本小题满分 13 分）已知 ，讨论函数 的极值点的个数.Ra)1()2axexf20 （本小题满分 13 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB侧面 BB1C1C，E 为棱 CC1 上异于 C、C 1 的一点，EAEB 1，已知 AB= ，BB 1=2，BC=1 ，BCC 1= ，求：23（）异面直线 AB 与 EB1 的距离；（）二面角 AEB1A1 的平面角的正切值.21 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C1 的方程为 ，双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点，而 C24
8、2yx的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点 .（）求双曲线 C2 的方程；（）若直线 与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同的交点，且 l 与 C2 的两个:kxyl交点 A 和 B 满足 （其中 O 为原点） ，求 k 的取值范围.6O22 （本小题满分 12 分）数列a n满足 .)1(2)1(12nanan且（）用数学归纳法证明： ；（）已知不等式 ，其中无理数)(:,0)l( 2exn证 明成 立对e=2.71828.2005 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一、选择题：每小题 5 分，满分 50 分.1A 2A 3D 4C 5C 6B 7B 8
9、B 9A 10C二、填空题：每小题 4 分，满分 24 分.11 12 131 143 15 160|x12845三、解答题：满分 76 分.17 （本小题 13 分） .15,41sin),sin(1i2cocosns4)(:2 22a axaxxf解 之 得由 已 知 有 满 足其 中 角解 18 （本小题 13 分）解法一：（） ，即该顾客中奖的概率为 .32451206CIP 32（） 的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.15)60( ,152)0(,2,1,3)(203062 13106CPCP且故 有分布列：0 10 20 50 60P 3521521从而期望 .16
10、50125205130 E解法二：（） ,34)(21064CP（） 的分布列求法同解法一由于 10 张券总价值为 80 元，即每张的平均奖品价值为 8 元，从而抽 2 张的平均奖品价值=28=16（元）.E19 （本小题 13 分） .0)12()(0)( ,:22 axxfaeef xx得令解（1）当 .)4(4:),()( ,21212从 而 有 下 表于 是 不 妨 设有 两 个 不 同 的 实 根 方 程时或即 xexfa x ),x1 ),(21x2x),(2x)(f+ 0 0 +x为极大值)(1xf 为极小值)(2xf即此时 有两个极值点.)(f（2）当 有两个相同的实根0)1(
11、)(,402axa方 程时或即 21x于是 21)()xef无极值.)(,0)(,;,21 xfxffx 因 此时当时故 当 （3） ,1,40aa时即当为增函数，此时 无极值. 因此当)(,)1()()(2 xfxexf 故 )(xf答（20）图 1无极值点.)(,40,2)(,04 xfaxfa时当个 极 值 点有时或 20 （本小题 13 分）解法一：（）因 AB面 BB1C1C，故 ABBE. 又 EB1EA，且 EA 在面 BCC1B1 内的射影为 EB.由三垂线定理的逆定理知 EB1BE ，因此 BE 是异面直线AB 与 EB1 的公垂线，在平行四边形 BCC1B1 中，设 EB=
12、x，则 EB1= ，24x作 BDCC 1，交 CC1 于 D，则 BD=BC .3sin在BEB 1 中，由面积关系得 .0)3(1,214222 xx即（负根舍去）3,x解 之 得 ,3cos1,32CEBCEx中在时当解之得 CE=2，故此时 E 与 C1 重合，由题意舍去 .x因此 x=1，即异面直线 AB 与 EB1 的距离为 1.（）过 E 作 EG/B1A1，则 GE面 BCC1B，故 GEEB 1 且 GE 在圆 A1B1E 内，又已知 AEEB 1故AEG 是二面角 AEB1A1 的平面角.因 EG/B1A1/BA，AEG= BAE，故 .2tanAEG解法二：（） 平 面又
13、 由得由 BEBE,0,11而 BB1C1C 得 ABEB 1 从而 =0.A., 0)( 1111 的 公 垂 线与是 异 面 直 线故 线 段即故 EBBEEB设 O 是 BB1 的中点，连接 EO 及 OC1，则在 RtBEB 1 中，EO= BB1=OB1=1，2因为在OB 1C1 中，B 1C1=1，OB 1C1= ，故OB 1C1 是正三角形，3所以 OC1=OB1=1，又因OC 1E=B 1C1CB 1C1O= 故OC 1E 是正三角形，,2所以 C1E=1，故 CE=1，易见BCE 是正三角形，从面 BE=1，即异面直线 AB 与 EB1 的距离是 1.（）由（I）可得AEB
14、是二面角 AEB1B 的平面角，在 RtABE 中，由 AB= ，2BE=1，得 tanAEB= .2又由已知得平面 A1B1E平面 BB1C1C，故二面角 AEB1A1 的平面角 ，故E2.cot)2tan(t解法三：（I）以 B 为原点， 、 分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系.1BA由于 BC=1，BB 1=2，AB= ，BCC 1= ，23在三棱柱 ABCA1B1C1 中有B（0，0，0） ，A（0，0， ） ，B 1（0，2，0） ，),32(),23(1C设 即得由 ,0,),0( 11EBAEa),23(),23(a,44a .,043)023()0,213( ),21(),(
15、,) 11 EBEBa 即故舍 去或即得又 AB面 BCC1B1，故 ABBE. 因此 BE 是异面直线 AB、EB 1 的公垂线，则 ，故异面直线 AB、EB 1 的距离为 1.43|E（II）由已知有 故二面角 AEB1A1 的平面角 的大小为向量,11EBA的夹角.AB与1.2tan,32|cos ),2,(),0,(11 即故因 ABE21 （本小题 12 分）解：（）设双曲线 C2 的方程为 ，则12byax .1,314222 bcaa得再 由故 C2 的方程为 .13yx（II）将 .0428)41(4222 kxkk得代 入由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得 ,0)
16、(6)(6)8( 2221 k即 .42k.0926)31(322 kxkyxxy得代 入将由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A，B 得.13.0)1(6)(6)(,0122 222 kkk且即)2)(,66 319,31),(),( 22 BABAB BABABAkxxyxyOkx而得由 则设.1373169)(12 222kkkA解此不等式得.05,622即于 是.315k或由、得 .1422或故 k 的取值范围为 )1,53(),21(),3()5,( 22 （本小题 12 分）（）证明：（1）当 n=2 时， ，不等式成立.2a（2）假设当 时不等式成立，即)(kn ),
17、2(k那么 . 这就是说，当 时不等式成立.21)(1kkaa 1n根据（1） 、 （2）可知： 成立.nk对 所 有（）证法一：由递推公式及（）的结论有 )1.()21(2)1(21 nanaann两边取对数并利用已知不等式得 l)ll故 .21lnna nnna21)(ll1 .(上式从 1 到 求和可得121 1)(32ln nna .2211)(2 nn即 ).(,ln2ean故（）证法二：由数学归纳法易证 成立，故2)1(nn对 ).2()1()(2)1(21 naaa nnn令 .)(1),(bbb nnn则取对数并利用已知不等式得 nnl)1(ll1).2()1(lnb上式从 2 到 n 求和得 )1(321lnl21 nb.31因 ).2(,3ln1l. 3ln12 ebbabn故故 成立.1,21221 naeae nn 对 一 切故又 显 然
