1、第 8 课时 平行关系的判定1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明 .2.能运用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理证明一些空间位置关系的简单问题 .若一个平面内的所有直线与另一个平面平行,这两个平面显然无公共点,所以它们是相互平行的,用这种方法来判断两个平面平行显然非常繁琐,那么能不能用一个平面内最少的直线与另一个平面平行来判断这两个平面平行呢?若一个平面内有一条直线与另一个平面平行,这两个平面是否平行?若有两条呢?问题 1:判断平面外的一条直线与平面平行只需在平面找出一条直线与该直线平行即可;判断两个平面平行,只需在一个平面找
2、出 两条相交直线 与另一个平面平行即可,它们分别是直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理 . 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行 .符号语言:若 a ,b ,a b ,则 a . 若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 .符号语言:若 a ,b ,a b=A,a ,b ,则 . 问题 2:证明直线和平面平行的方法归纳:(1)定义法:根据条件判断已知直线与平面 没有公共点 ,但要说明直线与平面 无公共点 往往比较困难,所以一般不采用定义法 . (2)判定定理:在已知平面内找出一条直线,而这条直线与已知直线 平行 ,从而符合判定定理的条件,进而可判
3、定已知直线和已知平面平行 .找“线线平行”常用以下方法: 空间直线平行关系的传递性法; 三角形中位线法; 平行四边形法; 成比例线段法 .问题 3:证明平面和平面平行的方法归纳:证明两个平面平行除了可以用两个平面平行的判定定理外,还可以用以下两种方法:(1)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面 平行 ; (2)如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行,即平面平行具有 传递性 . 这两个结论都可以用两个平面平行的判定定理推导得出,可以看作该定理的推理 .问题 4:证明直线和平面平行、平面和平面平行的基本思路 .(1)证明直线和平面平行的基本思路
4、:直线和平面平行的判定可转化为直线和平面内的一条直线平行,即“若 线线 平行,则 线面 平行” .由此可以看出,要证明平面外的一条直线和这个平面平行,可转化为在这个平面内找出 一条直线 和已知直线平行,就可以判定已知直线和这个平面平行 . (2)欲证两个平面平行,只需证明一个平面内的两条 相交 直线同另一个平面平行,而证明线面平行则需要证明线线平行,由此可见,证明面面平行的基本思路为 线线平行 、 线面平行 、 面面平行 . 1.下列条件中,能得出直线 a 与平面 平行的条件是( ).A.a ,b ,a bB.b ,a bC.b ,c a,a b,c D.b ,A a,B a,C b,D b,
5、且 AC=BD2.下列说法正确的是( ).A.若平面 内的无数条直线分别与平面 平行,则 B.两个平面分别经过两条平行线,则这两个平面平行C.过已知平面外一条直线,必能作出与该平面平行的平面D.平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与此平面平行3.已知直线 l1,l2,平面 ,且 l1 l2,l1 ,则 l2与 的位置关系是 . 4.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, E,F 分别是 A1C1,B1C1的中点 .求证: EF平面 ABC1.直线与平面平行的判定正方体 ABCD A1B1C1D1中, E、 F 分别是面对角线 A1B、 B1C 的中点 .求证: EF平面AB
6、CD.平面与平面平行的判定如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,点 E、 D 分别是 B1C1、 BC 的中点 .求证:平面 A1EB平面C1AD.线面平行,面面平行的开放性问题如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E、 F、 G、 H、 N 分别是棱 CC1、 C1D1、 D1D、 CD、 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足什么条件时,有 MN平面 B1BDD1(填上一个正确的条件即可)?在四棱锥 PABCD 中, E、 F 分别是 PD、 AB 的中点 .那么 EF 与平面 PBC 的位置关系如何?请说明理由 .如图,在正方体 ABCD A1B1
7、C1D1中,分别过三个顶点作平面 AB1D1、平面 C1DB,求证:平面 AB1D1平面 C1DB.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, M、 P 分别是 CC1、 C1D1的中点,作出过 MP 且与截面 A1BD 平行的截面 .1.在围成正方体 ABCD-A1B1C1D1的面中,与平面 AC 平行的平面是( ).A.平面 A1C1 B 平面 AD1C.平面 AB1 D.平面 BC12.已知 a、 b、 c 为三条不重合的直线, 、 、 为三个不重合平面,现给出六个命题: a b; a b; ; ; a; a. 其中正确的命题是( ).A. B. C. D.3.如图,在四棱锥 P
8、-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, E 是 PC 上的动点,当 PE= PC时, PA平面 BDE. 第 3 题图第 4 题图4.如图,已知长方体 ABCD A1B1C1D1中, E、 F、 G、 H 分别是棱 AB、 CD、 A1B1、 C1D1的中点 .求证:平面 A1EFD1平面 BCHG.(2013 年新课标全国 卷改编)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中, D 是 AB 的中点 .证明: BC1平面 A1CD.考题变式(我来改编):第 8 课时 平行关系的判定知识体系梳理问题 1:两条相交直线 a ,b ,a b a ,b ,a b=A,a ,b 问题 2:(1)没有公
9、共点 无公共点 (2)平行问题 3:(1)平行 (2)传递性问题 4:(1)线线 线面 一条直线 (2)相交 线线平行 线面平行 面面平行基础学习交流1.A 选项 B、C、D 都缺条件 a.2.D 选项 A、B 中两平面还可能相交 .选项 C 中,当直线与平面相交时,不能作出与该平面平行的平面 .3.l2 或 l2 因为 l1平行于平面 ,所以在 内存在直线 b 与 l1平行 .因为 l2 l1,所以 l2 b,所以 l2 或 l2.4.解:因为 E,F 分别是 A1C1,B1C1的中点,所以 EF A1B1,又因为在三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB A1B1,所以 EF AB,又 EF
10、平面 ABC1,AB平面 ABC1,所以 EF平面 ABC1.重点难点探究探究一:【解析】分别取 AB、 BC 的中点 G、 H,连接 EG,FH,GH.则由三角形中位线性质知:EG FH,且 EG=FH, 四边形 EGHF 是平行四边形,EF GH.EF 平面 ABCD,而 GH平面 ABCD,EF 平面 ABCD.【小结】本题利用中点关系构造平行四边形,从而在平面 ABCD 内确定了与 EF 平行的直线 .利用中点关系确定线线平行是一种非常重要的技巧 .探究二:【解析】连接 DE.由 DE BB1,又 BB1 AA1,DE AA1.由 DE=BB1,又 BB1=AA1,DE=AA 1, 四
11、边形 A1EDA 是平行四边形, A1E AD.A 1E平面 C1AD,AD平面 C1AD,A 1E平面 C1AD.易证得 EB C1D,EB平面 C1AD,C1D平面 C1AD,EB 平面 C1AD.又 A1E EB=E,平面 A1EB 经过 A1E 和 EB, 平面 A1EB平面 C1AD.【小结】要证明面面平行,关键是把问题转化为线面平行,再利用线面平行的判定方法进行证明 .该问题还可利用“一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行,则这两个平面平行”的方法证明 .探究三:【解析】 M 在 FH 上 .理由:(1)当 M 为 H 点时 .H 、 N 为棱 CD、 BC 的中点
12、, HN BD.BD 平面 B1BDD1,HN平面 B1BDD1,HN 平面 B1BDD1,即 MN平面 B1BDD1.(2)当 M 为 F 点时,取 BD 的中点 P,连接 PN、 FN、 D1P,N 为 BC 中点, F 为 D1C1中点,PN D1F,PN=D1F, 四边形 D1PNF 为平行四边形, FN D1P.D 1P平面 B1BDD1,FN平面 B1BDD1,FN 平面 B1BDD1,即 MN平面 B1BDD1.(3)当 M 为 FH 上任一点,作 MQ D1C1,交 D1D 于点 Q,P 为 BD 的中点,易知四边形 MQPN 为平行四边形,MN PQ.PQ 平面 B1BDD1
13、,MN平面 B1BDD1,MN 平面 B1BDD1.综上可知, M 在线段 FH 上 .【小结】这类问题常将几个特殊点作为突破口,探究它们适合的条件,然后说明该条件下的一般点也满足题意,从而可确定问题的答案 .思维拓展应用应用一:平行,理由如下:取 PC 中点 G,连接 EG、 GB.由 EG DC,FB DC,可知 EG FB,又 EG= DC,FB= DC,12 12可知 EG=FB,得四边形 EGBF 为平行四边形,EF GB.EF 平面 PBC,而 GB平面 PBC,EF 平面 PBC.应用二: DC 1 AB1,而 DC1平面 C1DB,AB1平面 C1DB,AB 1平面 C1DB.
14、同理可知: AD1平面 C1DB,又 AD1 AB1=A, 平面 AB1D1平面 C1DB.应用三:取 B1C1的中点 N,连接 PN、 MN,截面 PMN 即为所求的截面 .证明如下:连接 D1C,M 、 P 分别是 CC1、 C1D1的中点,PM D1C.A 1D1 BC,A1D1=BC, 四边形 A1D1CB 为平行四边形,A 1B D1C,PM A1B,同理 PN BD.PM 平面 PMN,PN平面 PMN,PM PN=P,A1B平面 A1BD,BD平面 A1BD, 平面 A1BD平面 PMN.基础智能检测1.A 如图所示,由平面平行的判定定理知,平面 A1C1内有两条相交直线 A1D
15、1、 C1D1都平行于平面AC.2.C 正确; 错在 a、 b 还可能相交或异面; 错在 与 可能相交; 错在 a 可能在 内 .3. 问题转化为 E 运动到什么位置时,平面 BDE 中能找到与 PA 平行的直线,连接 AC 交 BD12于点 O,连接 EO,则 PA,EO 是共面直线,因为 O 是 AC 的中点,所以 E 是 PC 的中点时, PA OE,且 EO平面 BDE,所以 PA平面 BDE.4.解: A1E GB,A1E平面 BCHG,BG平面 BCHG,A 1E平面 BCHG.同理可证 EF平面 BCHG,A 1E EF=E, 平面 A1EFD1平面 BCHG.全新视角拓展连接 AC1交 A1C 于点 O,则 OA=OC1且 DA=DB,DO 是 ABC1的中位线,DO BC1且 DO平面 A1DC,BC1平面 A1DC,BC 1平面 A1DC.思维导图构建 b c