1、课题 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系教材版本 新课标：人教版数学 2授课时间、授课人 2006-12-25 胡春林 授课班级 铜陵三中 2006 级高一（2）一 、知识要点1.异面直线的定义 2.异面直线的画法3.异面直线所成的角的定义 4.平行公理与等角定理二、能力要求1.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。2.会用平面衬托来画异面直线。3.掌握并会应用平行公理和等角定理。4.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。教学目标三、情感与价值目标1.提高学生的空间想象能力和作图能力。 、2.增强动态意识，培
2、养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。3.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。教学重点、难点教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。教学难点：异面直线所成角的推证与求解。 教学方法 讲授法、讨论法、指导合作探究法教具准备 学生学案一份、上课用多媒体课作一个、合作探究（二）配套教学模型一个备课札记 教学过程一、复习引入1平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）相交直线（有一个公共点） ；平行直线（无公共点）2实例。十字路口-立交桥立交桥中, 两条路线 AB, CD 既不平行，又不相交（非平面问题）六角螺母 A BCD二、新课讲
3、解1.异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。练习：在教室里找出几对异面直线的例子注1： 两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内 .合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。 空间两直线的位置关系按平面基本性质分 （1）同在一个平面内：相交直线、平行直线（2）不同在任何一个平面内：异面直线按公共点个数分 （1）有一个公共点: 相交直线（2）无公共点：平行直线、异面直线2异面直线的画法说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个
4、平面来衬托.ababab合作探究二：如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对?答:共有三对3.异面直线所成的角(1)复习回顾在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于 90 度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度, 如图.(2)问题提出在空间,如图所示, 正方体 ABCDEFGH 中, 异面直线 AB 与 HF 的错开程度可以怎样来刻画(3)解决问题思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角 ,即化空间图形问题为平面图形问题异面直线所成角的定义: 如图 ,已知两条异面直线 a , b , 经过空间
5、任一点 O 作 直线 aa , b b 则把 a 与 b 所成的锐角(或直角) 叫做异面直线所成的角(或夹角).ab异面直线所成的角的范围( 0 O , 90O 注 2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为 a b思考 : 这个角的大小与 O 点的位置有关吗 ? 即 O 点位置不同时 , 这一角的大小是否改变? 答 : 这个角的大小与 O 点的位置无关.(4)理论支持：我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?OA BGFHED CHCBEDGAa Ob观察 : 将一张纸如图进行折
6、叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, 之间有何关系？ab c d e a b c ed公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行平行线的传递性推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行：在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”空间中这一结论是否仍然成立呢？观察：如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, ADC 与A 1D1C1 ,ADC 与A 1B1C1 两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?答:从图中可看出, ADC= A 1D1C1,ADC +A 1B1C1=180O定理（等角定理）：空间中，
7、如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补证: 这个角的大小与 O 点的位置无关.证明 : 如图 , 再过空间另一点 O作 a a ,设 a 与 b 所成的角为1, a 与 b 所成的角为2 , aa , a a a a (公理 4),同理 bb, 1 = 2 (等角定理) 21a aab b注 3：在求作异面直线所成的角时,O 点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)4例题选讲1.下图长方体中(1)说出以下各对线段的位置关系?EC 和 BH 是 相交 直线BD 和 FH 是 平行 直线 BH 和 DC 是 异面 直线 (2)与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
8、课后思考：长方体的棱中共有多少对异面直线？D1 C1B1A1CA BDGFHEBCDA例 2如图，正方体 ABCD-EFGH 中如图，正方体ABCD-EFGH 中 O 为侧面 ADHE 的中心，求(1)BE 与 CG 所成的角？(2)FO 与 BD 所成的角？解：(1)如图：C GBF ，EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CG 所成的角，又 BEF 中EBF =45 0 ，所以 BE 与 CG 所成的角为 450（2）连接 FH，HDEA FB HDFB 四边形 HFBD 为平行四边形，HFBD，HFO（或其补角）为异面直线 FO 与 BD 所成的角。连接 HA、AF，易得 FH=HA=
9、AF，AFH 为等边，又依题意知 O 为 AH 中点, HFO=30 0 即 FO 与 BD 所成的夹角是 300注 4：求异面直线的步骤是:“一作(找) 二证三求”5课堂练习.如图,已知长方体 ABCD-EFGH 中, AB = , AD = , AE = 232(1)求 BC 和 EG 所成的角是多少度 ?(2)求 AE 和 BG 所成的角是多少度 ?解答：(1) 45 0 (2) 6006课堂小结异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。空间两直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线异面直线的画法：用平面来衬托异面直线所成的角：平移，转化为相交直线所成的角公理
10、（平行公理）：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补异面直线所成角的求法: 一作 (找)二证三求课后作业作业：P56：6课后思考题：1在平面内我们有“垂直于同一条直线的两条直线平行”在空间, 这一结论是否一定成立? 答 : 不一定注：不是所有的平面中的定理都可以推广到空间 ,若推广需证明其正确性.2 “ 若直线 a 与直线 b 异面，直线 b 与直线 c 异面。 则 a 与 c 也异面” 。这一命题对吗？为什么？ ( 即:异面直线是否具有传递性）答：不一定。注：异面直线不具有传递性如图，正四面体 A-BCD 中 , E、F 分别是边 AD、BC 的中点，求异面直线 EF 与 AC 所成的角？思考：在此题中，连接 AC ，若有 ACBD，则四边形 EFGH 是什么图形？教学后记GFHEBCDAA BGFHED CEABFDC
