1、第 11 课时 圆和圆的位置关系1.理解圆与圆的位置的种类 .2.利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长(圆心距) .3.会用连心线长判断两圆的位置关系 .古时候,人们不懂得月食发生的科学道理,像害怕日食一样,对月食也心怀恐惧 .外国有人传说,16 世纪初,哥伦布航海到了南美洲的牙买加,与当地的土著人发生了冲突 .哥伦布和他的水手被困在一个墙角,断粮断水,情况十分危急 .懂点天文知识的哥伦布知道这天晚上要发生月全食,就向土著人大喊,“再不拿食物来,就不给你们月光!”到了晚上,哥伦布的话应验了,果然没有了月光 .土著人见状诚惶诚恐,赶快和哥伦布化干戈为玉帛 .你能否从月食过程归纳出
2、圆与圆有哪几种位置关系呢?问题 1:圆与圆的位置关系可分为五种: 相离 、 外切 、 相交 、 内切 、 内含 . 判断圆与圆的位置关系常用方法:(1)几何法:设两圆圆心分别为 O1、 O2,半径为 r1、 r2 (r1 r2),则 |O1O2|r1+r2 相离 ;|O1O2|=r1+r2 外切 ;|r1-r2| 0) 的公共弦的长为 2 ,则 a= . 34.求与已知圆 x2+y2-7y+10=0 相交,公共弦平行于直线 2x-3y-1=0,且过点( -2,3)、(1,4)的圆的方程 .圆和圆的位置关系的判定已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆 C2:x2+y2+2x-2
3、my+m2-3=0.当 m 为何值时,(1)圆 C1与圆 C2相外切;(2)圆 C1与圆 C2内含 .圆和圆的相交弦问题已知圆 C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆 C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长 .圆与圆相交的连心线问题已知圆 C1:x2+y2-4x-2y-5=0 与圆 C2:x2+y2-6x-y-9=0.(1)求证:这两个圆相交 .(2)求这两个圆公共弦所在的直线方程 .(3)在平面上找一点 P,过 P 点引这两个圆的切线并使它们的长都等于 6 .2已知两圆 x2+y2-2x-6y-1=0 和 x2+y2-10x-12y+m=0.求:(1
4、)m 取何值时两圆外切?(2)m 取何值时两圆内切?(3)m=45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 .已知圆 O1:x2+(y+1)2=4,圆 O2的圆心坐标为(2,1),且两圆外切,求圆 O2的方程,并求内公切线的方程 .求过圆 C1:x2+y2+6x-4=0 和圆 C2:x2+y2+6y-28=0 的交点,且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程 .1.已知圆 C1:x2+y2=4 与圆 C2:x2+y2-2ax+a2-1=0 相内切,则 a 等于( ).A.1 B.-1 C.1 D.02.圆 C1:(x-1)2+y2=4 与圆 C2:(x+1)2+(y-3)2=9 相交弦所在
5、直线为 l,则 l 被圆 O:x2+y2=4 截得弦长为( ).A. B.4 C. D.1343913 839133.点 P 在圆 x2+y2-8x-4y+16=0 上,点 Q 在圆 x2+y2+4x+2y-11=0 上,则 |PQ|的最小值为 . 4.已知点 A(-1,1)和圆 C:(x-5)2+(y-7)2=4,求一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的最短距离 .(2013 年重庆卷)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆C1,C2上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 |PM|+|PN|的最小值为( ).A.5 -
6、4 B. -1 C.6-2 D. 2 17 2 17考题变式(我来改编):第 11 课时 圆和圆的位置关系知识体系梳理问题 1:相离 外切 相交 内切 内含(1)相离 外切 相交 内切 内含(2)相交 相切 相离或内含问题 2:(1) 两 两 两 一 两 一基础学习交流1.D 两圆化成标准形式为( x-1)2+y2=1 和 x2+(y+2)2=4, 两圆圆心距 |O1O2|= = .12+22 5又 1=|1-2| 1+2=3,5 两圆相交,选 D.2.B 圆 C1:(x+1)2+(y+1)2=4,圆 C2:(x-2)2+(y-1)2=4,|C 1C2|= 2+2, 两圆相交, 13公切线有
7、2 条,选 B.3.1 两圆公共弦所在直线方程为( x2+y2+2ay-6)-(x2+y2-4)=0,即 y= ,圆心(0,0)到直线的1距离为 d=| |= =1,解得 a=1 或 a=-1(舍去) .1 22( 3)24.解:公共弦所在直线斜率为 ,已知圆的圆心为(0, ),两圆圆心所在直线的方程为 y- =- x,即23 72 72 323x+2y-7=0.设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得 (2)2+322+3+=0,12+42+4+=0,3(2)+2(2)7=0, =2,=10,=21, 所以所求圆的方程为 x2+y2+2x-10y+21=0.重点难点探究探究一
8、:【解析】 对于圆 C1与圆 C2的方程,经配方后 C1:(x-m)2+(y+2)2=9;C2:(x+1)2+(y-m)2=4.(1)如果 C1与 C2外切,则有 =3+2,即( m+1)2+(m+2)2=25,即 m2+3m-(+1)2+(2)210=0,解得 m=-5 或 m=2.(2)如果 C1与 C2内含,则有 3-2,即( m+1)2+(m+2)21,m2+3m+20,得 -(+1)2+(+2)22m-1.所以,当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1与圆 C2外切;当 -2m-1 时,圆 C1与圆 C2内含 .【小结】圆和圆的位置关系,从交点个数也就是方程组解的个数来判断,有时得不到
9、确切的结论,通常还是从圆心距与两圆半径和、差的关系入手 .探究二:【解析】设两圆交点为 A、 B,则 A、 B 两点坐标是方程组的解,两式相减得:3 x-4y+6=0.因为 A、 B 两点坐标都满足此方程,所2+2+26+1=0,2+24+211=0以 3x-4y+6=0 即为两圆公共弦所在的直线方程 .因为圆 C1的圆心为( -1,3),半径为 3,点 C1到直线 AB 的距离为 d= = ,所|1343+6|32+42 95以 |AB|=2 =2 = ,所以两圆的公共弦长为 .2232(95)2245 245【小结】求解圆与圆相交弦问题,可结合图形,利用弦心距、半弦之间的关系,充分利用圆的
10、几何性质 .探究三:【解析】(1)圆 C1:(x-2)2+(y-1)2=10,圆 C2:(x-3)2+(y- )2= .12 734 两圆圆心距 |C1C2|= = ,且 - + , 圆 C1与圆 C2相(23)3+(112)2 52 732 1052 732 10交 .(2)联立两个圆的方程 2+2425=0,2+269=0,相减即得这两个圆公共弦所在直线方程为 2x-y+4=0.(3)设 P(x,y),依题意得 2+4=0,2+269=(62)2,解方程组得点 P(3,10)或( - ,- ).235 265【小结】解决直线与圆以及圆与圆的位置关系的相关问题时,一定要根据图形进行适当的联想
11、,根据图形间的关系来寻求数量间的关系,从而找到解题思路,这恰好也是新课标所倡导的 .本题有一定的综合性,将位置关系的几个问题综合在一起,求解时要注意数形结合 .思维拓展应用应用一:两圆的标准方程分别为( x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为 和 .11 61(1)当两圆外切时, = + .解得 m=25+10 .(512)+(632) 1161 11(2)当两圆内切时,因定圆的半径 小于两圆圆心间距离,故有 - =5.解得11 61 11m=25-10 .11(3)两圆的公共弦所在直线的方程为( x2+y2-2x
12、-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系,得公共弦的长为2 =2 .( 11)2|4+3323|42+32 2 7应用二:因为两圆圆心坐标分别为(0, -1)、 (2,1),由两圆外切,得|O1O2|=r1+r2= =2 ,22+(1+1)2 2所以 r2=2 -2,2所以圆 O2的方程为( x-2)2+(y-1)2=4( -1)2.2两圆方程相减,得 x+y+1-2 =0,即为两圆内公切线的方程 .2应用三:(法一)两个圆的圆心分别为( -3,0),(0,-3),所以两个圆的连心线所在直线的方程为 x+y+3=0.由 得
13、圆心( ,- ).4=0,+3=0, 12 72利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长 d= ,两个已知圆的公共弦所在50的直线方程为 x-y+4=0,所以圆半径 r2=( )2+ 2= .2 |12(72)+4|2 892故所求圆的方程为( x- )2+(y+ )2= ,即 x2+y2-x+7y-32=0.12 72 892(法二)设所求圆的方程为 x2+y2+6x-4+ (x2+y2+6y-28)=0,即 x2+y2+ x+ y- =0.61+ 61+ 4+281+故此圆的圆心为( , ),它在直线 x-y-4=0 上,31+ 31+所以 - -4=0,解得 =- 7.31+ 31
14、+故所求圆的方程为 x2+y2-x+7y-32=0.基础智能检测1.C2.D 由圆 C1与圆 C2的方程相减得 l:2x-3y+2=0,圆心 O(0,0)到 l 的距离 d= ,圆 O 的半21313径 R=2,所以截得弦长为 2 =2 = .224413839133.3 -6 两圆分别化为标准方程为( x-4)2+(y-2)2=4,(x+2)2+(y+1)2=16,可知两个圆相离,5故 |PQ|的最小值等于圆心距减两个圆的半径,即 3 -6.54.解:光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的距离即圆上一点 P 到点 A 关于 x 轴的对称点 A(-1,-1)的距离,其最小值为 |AC|-r=10-2=8.全新视角拓展A 如图,作圆 C1关于 x 轴的对称圆 C1:(x-2)2+(y+3)2=1,则 |PM|+|PN|=|PM|+|PN|,由图可知当 C2,M,P,N,C1在同一条直线上时, |PM|+|PN|=|PM|+|PN|取得最小值,即为 |C1 C2 |-1-3 = 5 -4,故选 A.2思维导图构建4 3 2 1 0
