1、2004 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理工农医类)本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.第 I 卷 1 至 2 页.第 II 卷 3 至9 页.共 150 分.考试时间 120 分钟.第 I 卷（选择题 共 40 分）注意事项：1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式sincosin()si()12cscs(
2、)cos()ino12正棱台、圆台的侧面积公式 Scl台 侧 12()其中 c，c 分别表示上、下底面周长， 表示斜高或母线长l球体的表面积公式 R球 42其中 R 表示球的半径一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集是实数集 R， ， ，则 等于（ ）Mx|2Nx|1MNA B C D|x2|1|2满足条件 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是 （ ）|zii34A 一条直线 B 两条直线 C 圆 D 椭圆3设 m、n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：,若 ， ，则 若 ， ， ，则/
3、mn/m若 ， ，则 若 ， ，则m/n/mn/ /其中正确命题的序号是 （ ）A和 B 和 C 和 D 和4如图，在正方体 中，P 是侧面 内一动点，若 P 到直线 BC 与CDA1B1直线 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 （ ）1A直线 B圆 C 双曲线 D 抛物线5函数 在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是 （ ）fxax()23A Ba,a,)2C D 12(,)16已知 a、b、c 满足 ，且 ，那么下列选项中不一定成立的是 （ bac0）A B C D ()cba20)(ca7从长度分别为 1，2，3，4，5 的五条线段中，任取三条的不同取法共有 n 种。在这些取法
4、中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为 m，则 等于 （ ）A B C D 015310258函数 ，其中 P、M 为实数集 R 的两个非空子集，又规定fx(),， ，给出下列四个判断：fPy|,fyfx()|(),若 ，则 若 ，则PfPfM()若 ，则 若 ，则PMRfPfR()PMRfPfR()其中正确判断有 （ ）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4个第卷（非选择题 共 110 分）二、 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上.9函数 的最小正周期是_.fxx()cossinco2310方程 的解是_ .lglg411某地球仪上
5、北纬 纬线的长度为 ，该地球仪的半径是_cm，表面积012cm是_cm 2.12曲线 C： （ 为参数）的普通方程是_，如果曲线 C 与直线xycosin1有公共点，那么实数 a 的取值范围是_.xa013在函数 中，若 a，b，c 成等比数列且 ，则 有最fxbx()2 f()04fx()_值（填“大”或“小” ） ，且该值为_.14定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列 是等和数列，且 ，公和为 5，那么 的值为_，ana12a18这个数列的前 n 项和 的计算公式为_ .S三、解答题：本大题共
6、 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 （本小题满分 13 分）在 中， ， ， ，求 的值和 的面积.ABCsincoA2CAB3tgABC16 （本小题满分 14 分）如图，在正三棱柱 中，AB3， ，M 为 的中点，P 是 BCABC1A14A1上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 到 M 的最短路线长为 ，设这条最短路线与C129的交点为 N，求：C1（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长;（II）PC 和 NC 的长;（III）平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）17 （本小题满分 14 分）如图，过抛物线 上一定点
7、P（ ） （ ） ，作两条直线分别ypx20()xy0,0交抛物线于 A（ ） ，B（ ）x1,2,（I）求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点 F 的距离（II）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并证明直线 AB 的斜y120率是非零常数18 （本小题满分 14 分）函数 是定义在0，1上的增函数，满足 且 ，在每个fx() fxf()()2f1区间 （ 1，2）上， 的图象都是斜率为同一常数 k 的直线的一,2iiyf()部分。（I）求 及 ， 的值，并归纳出 的表达式;f()0f12f()4fi(),)12 （II）设直线 ， ，x 轴及 的图象围成的矩形的面积为 （x
8、ii1yxai1，2） ，记 ，求 的表达式，并写出其定义域和最iSkann()lm()2 Sk()小值19 （本小题满分 12 分）某段城铁线路上依次有 A、B、C 三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车 8 时整从 A 站发车，8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟，8 时 12 分到达 C 站.在实际运行中，假设列车从 A 站正点发车，在 B 站停留 1 分钟，并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车vkmh/在该站的运行误差.（I）分别写出列车在 B、C 两站的运行误差;（II）若要求列车在 B，C
9、两站的运行误差之和不超过 2 分钟，求 的取值范围.v20 （本小题满分 13 分）给定有限个正数满足条件 T：每个数都不大于 50 且总和 L1275.现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于 150 且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得 150 与这组数之和的差 与所有r1可能的其他选择相比是最小的， 称为第一组余差；r1然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为 ；如此继续构成第三组（余差为 ） 、第四组（余差为 ） 、，直至第 Nr2 r3r4组（余差为 ）把这些数全部分完为止.N（I）判断 的大小关系，并指出除
10、第 N 组外的每组至少含有几个数;rN12,（II）当构成第 n（nN）组后，指出余下的每个数与 的大小关系，并证明rn;rLn150（III）对任何满足条件 T 的有限个正数，证明： .N12004 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）参考答案一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 40 分.1A 2C 3A 4D 5D 6C 7B 8B二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 30 分.9 10 11 12 x120,43192xy221()12a13大 -3 143 当 n 为偶数时， ；当 n 为奇数时，Sn
11、52Sn52三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.满分13 分.解法一：.21)45cos(,2)45cos(inAA又 ,.321)6045(.tgA.sinisin()sincosin45604560264SACBB1212332i ()解法二：, （1）sinco.0cos,sin,1802cosin2,)(2AA,(si)232, （2）inco6（1）+（2）得： ,sinA264（1）（2）得： ,co.tgAsin26423（以下同解法一）16本小题主要考查直线
12、与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分 14 分.解：（I）正三棱柱 的侧面展开图是一个长为 9，宽为 4 的矩形，其对ABC1角线长为 .9472（II）如图 1，将侧面 绕棱 旋转 使其与侧成 在同一平面上，1120AC1点 P 运动到点 的位置，连接 ，则 就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 到点 M 的MP1最短路线.设 ，则 ，在 中，由勾股定理得PCxx1RtMAP1()329x求得 .2.54,1NCAPM（III）如图 2，连结 ，则 就是平面 NMP 与平面 ABC 的交线，作 于1P1 NHP1H，又 平面 ABC，连结 CH，由三垂线
13、定理得， .1CHP1就是平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角的平面角（锐角）NHC在 中， ,RtPPC12601.在 中， ,tNCHtgNCH451故平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的大小为 .arctg4517 本 小 题 主 要 考 查 直 线 、 抛 物 线 等 基 本 知 识 ， 考 查 运 用 解 析 几 何 的 方 法 分 析 问 题 和 解 决 问题 的 能 力 .满 分 14 分 .解：（I）当 时， ,yp2x8又抛物线 的准线方程为 .p2由抛物线定义得，所求距离为 .58()（2）设直线 PA 的斜率为 ，直线 PB 的斜率为kPAkPB由 ，
14、,ypx11ypx020相减得 .()()()10故 .kyxyxPA1010102同理可得 .kpyxPB2020()由 PA，PB 倾斜角互补知 ,kPAB即 , 所以 , 故 .21020pyyyy120y120设直线 AB 的斜率为 kAB由 ， 相减得 ,ypx22ypx11()()()yypx212121所以 . 将 代入得kAB212()0，所以 是非零常数.pyyAB120kAB18本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分 14分.解：（I）由 ，得ff()f()0由 及 ，得 .f()121f()1212同理， .f()44归纳得 .fii(),
15、)2 （II）当 时,11iixfkii()()1aiiiiiii2212().()(,)421i 所以 是首项为 ，公比为 的等比数列,n4k所以 .Skaknn()lim()()()1214231的定义域为 1，当 时取得最小值 .Sk()0k1219本小题主要考查解不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 12 分.解：（I）列车在 B，C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是和 .|307v|481（II）由于列车在 B，C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟，所以. （*）|2当 时， （*）式变形为 ,037v307481v解得 ; 当 时， （*）式变形为
16、,907304812v解得 ; 当 时， （*）式变形为 ,481v1解得 .5综上所述， 的取值范围是39， v95420 本 小 题 主 要 考 查 不 等 式 的 证 明 等 基 本 知 识 ， 考 查 逻 辑 思 维 能 力 、 分 析 问 题 和 解 决 问题 的 能 力 .满 分 13 分 .解：（I） 。除第 N 组外的每组至少含有 个数rr2 1503（II）当第 n 组形成后，因为 ，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于n余差 ，余下数之和也大于第 n 组的余差 ，即n r,Lrrn()()()1501502由此可得 .Ln21因为 ，所以 .()nrrn121 Ln1（III）用反证法证明结论，假设 ，即第 11 组形成后，还有数没分完，由N（I）和（II）可知，余下的每个数都大于第 11 组的余差 ，且 ,r1r10故余下的每个数 . （*）r10512735因为第 11 组数中至少含有 3 个数，所以第 11 组数之和大于 .7325.此时第 11 组的余差 1 012第 组 数 之 和这与（*）式中 矛盾，所以 .r75.N
