1、2004 年普通高等学校招生全国统一考试(四川、吉林、黑龙江、云南等地)文 科 数 学本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟.第 I 卷参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件 A、B 相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率Pn(k)=C Pk(1P) nk 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 ，则集合 =
2、 （ ）032|,4|2 xNxMNMA B C D |x|21|x32|2函数 的反函数是 （ ）)5(1xyA B0 )(5RxyC D)(xy 3曲线 在点（1，1）处的切线方程为 （ ）32A B C D4xy 23xy34xy54已知圆 C 与圆 关于直线 对称，则圆 C 的方程为 （ ）1)(2yxxyA B C D122x 1)(22y)(2yx球的表面积公式S=4 2R其中 R 表示球的半径，球的体积公式V= ，34其中 R 表示球的半径5已知函数 的图象过点 ，则 可以是 （ ）)2tan(xy)0,12(A B C D6612126正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1，则侧棱
3、与底面所成的角为 （ ）A75 B60 C45 D307函数 的图象 （ ）xeyA与 的图象 关于 轴对称 B与 的图象关于坐标原点yxey对称C与 的图象关于 轴对称 D与 的图象关于坐标原点xey x对称8已知点 A（1，2） 、B（3，1） ，则线段 AB 的垂直平分线的方程是 （ ）A B C D54yx524yx52yx9已知向量 a、 b 满足：| a|=1，| b|=2，| a b|=2，则| a+b|= （ ）A1 B C D25610已知球 O 的半径为 1，A、B、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则2球心 O 到平面 ABC 的距离为 （ ）A B C D
4、 313323611函数 的最小正周期为 （ ）xy24cossinA B C D212在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于43521的数共有 （ ）A56 个 B57 个 C58 个 D60个第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.13已知 a 为实数， 展开式中 的系数是15，则 .10)(ax7xa14设 满足约束条件：yx,则 的最大值是 .,12,0yx yxz2315设中心的原点的椭圆与双曲线 =1 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，2则该椭圆的方程是 .16下面是关于四棱柱
5、的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）已知等差数列 ， na.21,952a（）求 的通项公式；（）令 ，求数列 的前 n 项和 Sn.nab2b18 （本小题满分 12 分）已知锐角三角形 ABC 中， .51)sin(,53)sin(BA（）求证 ；BAta2tn（
6、）设 AB=3，求 AB 边上的高.19 （本小题满分 12 分）已知 8 支球队中有 3 支弱队，以抽签方式将这 8 支球队分为 A、B 两组，每组 4 支.求：（）A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；（）A 组中至少有两支弱队的概率.20 （本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=1，CB= ，侧棱 AA1=1，侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D，2B1C1的中点为 M.（）求证 CD平面 BDM；（）求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小.21 （本小题满分 12 分）若函数 在区间（1，4）内为减函数，在区间)(213)( x
7、axf（6，+）上为增函数，试求实数 a 的取值范围.22 （本小题满分 14 分）给定抛物线 C： F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 与 C 相交于 A、B 两点.,42xyl（）设 的斜率为 1，求 夹角的大小；lOBA与（）设 ，求 在 轴上截距的变化范围.9,若FBly2004 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修）参考答案一、选择题 C A B C A C D B D B B C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.13 145 15 162112yx三、解答题 17本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力
8、，满分 12分.解：（）设数列 的公差为 d，依题意得方程组na解得 ,21491d.4,51所以 的通项公式为na.na（）由 所以 是首项 ，公式 的等比数列.,14nb得 b51242q于是得 的前 n 项和 b .)(32)(445nnnS18本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，满分 12 分.（）证明： ,51)sin(,53)sin(BA.2tan51sinco,2.51sincosin, BABA所以 .ta2t（）解： ，,43)ta(,3)si( ABA即 ，将 代入上式并整理得4tan1tn2ta.01t2B解得 ，舍去负值得 ，6t
9、an26taB设 AB 边上的高为 CD2ttA则 AB=AD+DB= .6tantCDB由 AB=3，得 CD=2+ . 所以 AB 边上的高等于 2+ .6619本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分 12 分.（）解法一：三支弱队在同一组的概率为 .7148351C故有一组恰有两支弱队的概率为 .761解法二：有一组恰有两支弱队的概率 .764825348253（）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率 21485348253C解法二：A、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为 1，由于对 A 组和 B 组来说，至少有两支弱队
10、的概率是相同的，所以 A 组中至少有两支弱队的概率为 .20本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.满分 12 分.解法一：（）如图，连结 CA1、AC 1、CM，则 CA1= .2CB=CA 1= ，CBA 1为等腰三角形，2又知 D 为其底边 A1B 的中点，CDA 1B. A 1C1=1，C 1B1= ，A 1B1=23又 BB1=1，A 1B=2. A 1CB 为直角三角形，D 为 A1B 的中点，CD= A1B=1，CD=CC 1，又 DM= AC1= ，DM=C 1M.2CDMCC 1M，CDM=CC 1M=90，即 CDDM.因为 A1B、D
11、M 为平在 BDM 内两条相交直线，所以 CD平面 BDM.（）设 F、G 分别为 BC、BD 的中点，连结 B1G、FG、B 1F，则 FG/CD，FG= CD.21FG= ，FGBD.2由侧面矩形 BB1A1A 的对角线的交点为 D 知 BD=B1D= A1B=1，2所以BB 1D 是边长为 1 的正三角形.于是 B1GBD，B 1G= B 1GF 是所求二面角的平面角，.23又 B 1F2=B1B2+BF2=1+（ = ，) .3213)(2cos 21211 FGCBG即所求二面角的大小为 .3arcos解法二：如图，以 C 为原点建立坐标系.（）B（ ，0，0） ，B 1（ ，1，0
12、） ，A 1（0，1，1） ，22D（ ，M（ ，1，0） ，),),21,0( ),1,(,DMBAC则 CDA 1B，CDDM.,0,1D因为 A1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线，所以 CD平面 BDM.（）设 BD 中点为 G，连结 B1G，则 G（ ） ， 、 、 ） ， 4,232(),413,2(1.,.,011面 角等 于 所 求 的 二 面 角 的 平的 夹 角与 又BDBDCD .3|cos1GC所以所求的二面角等于 .arcos21本小题主要考查导数的概念的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分 12 分.解：函数 的导数
13、 令 ，解得 )(xf .1)(2axf 0)(xf),1(,),()1,(,21. axfax 在内 为 减 函 数在上 为 增 函 数在函 数时即当 不 合 题 意上 是 增 函 数在函 数时即当 或为增函数.依题意应有 当 .0)(,6(,0)(,4( xfxf时当时所以 解得.614a.75a所以 a 的取值范围是5，7.22本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。满分 14 分。解：（）C 的焦点为 F（1，0） ，直线 l 的斜率为 1，所以 l 的方程为 .1xy将 代入方程 ，并整理得 xyxy42.062x设 则有 ),(),(21BA.,2121.31)(2),(), 211221 xxyxyxOBA 464|2.413|),cos(BA所以 夹角的大小为O与 .arcos（）由题设 得 F),1(),(12yxyx即 .12),(yxx由得 ， 2,4,212xy.12x联立、解得 ，依题意有2x.0 又 F（1，0） ，得直线 l 方程为),(),(B或),1(2(1xyxy或当 时， l 在方程 y 轴上的截距为9,4,或由 可知 在4，9上是递减的， ,121212,4334,1243直线 l 在 y 轴上截距的变化范围为 .34,
