1、2.3.2 等比数列的前 n 项和(二)自主学习知识梳理1等比数列a n的前 n 项和为 Sn，当公比 q1 时，Sn_；当 q1 时，S n_.2等比数列前 n 项和的性质(1)连续 m 项的和 (如 Sm、S 2mS m、S 3mS 2m)，仍构成_数列(注意：q1或 m 为奇数)(2)Smn S mq mSn(q 为数列 an的公比)(3)若a n是项数为偶数、公比为 q 的等比数列，则 _.S偶S奇3若a n是等比数列，且公比 q1，则前 n 项和 Sn (1q n)A( qn1)其中a11 qA_.4解决等比数列的前 n 项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型自主探究
2、利用等比数列前 n 项公式证明 ana n1 ba n2 b2b n ，其中an 1 bn 1a bnN *a，b 是不为 0 的常数，且 ab.对点讲练知识点一 等比数列前 n 项和的证明问题例 1 设a n是由正数组成的等比数列，S n是其前 n 项和，证明：log0.5Sn1 .log0.5Sn log0.5Sn 22总结 本题关键是证明 SnSn2 0 且 c1) ，那么数列c n是等比数列，公比 q cd.(2)一般地，如果a n是各项为正数的等比数列，公比为 q，且 cnlog aan(a0 且 a1)，那么数列c n为等差数列，公差 dlog aq.变式训练 3 在等比数列a n
3、中，a n0 (nN *)，公比 q(0,1) ，且a1a52a 3a5a 2a825，又 a3 与 a5 的等比中项为 2.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bnlog 2 an，数列 bn的前 n 项和为 Sn，当 最大时，求 n 的值S11 S22 Snn1深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键两类数列的性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆同样，用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误2在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组) 求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处3利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模
4、型要确定 a1与项数 n 的实际含义，同时要搞清是求 an还是求 Sn的问题. 课时作业一、选择题1某厂去年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%，从今年起 5 年内，该厂的总产值为( )A1.1 4a B1.1 5aC10(1.1 51)a D11(1.1 51)a2已知数列a n的前 n 项和 Sn2 n1，则 a a a 等于( )21 2 2nA(2 n1) 2 B. (2n1) 212C4 n1 D. (4n1)133一弹性球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第 10 次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A300 米
5、B299 米C199 米 D166 米4若等比数列a n的公比 q0，且 q1，又 a1a3 a5Ba 2a 60，q0，当 q1 时，S nna 1，从而 SnSn2 S 2n 1na 1(n2) a1(n1) 2a a log0.5S .2n 1即 log0.5Sn1 .log0.5Sn log0.5Sn 22变式训练 1 证明 方法一 设此等比数列的公比为 q，首项为 a1，当 q1 时，则 Snna 1，S 2n2na 1，S 3n3na 1，S S n 2a 4n 2a 5n 2a ，2n 2n 21 21 21Sn(S2nS 3n)na 1(2na13na 1)5n 2a ，21S
6、 S S n(S2nS 3n)2n 2n当 q1 时，则 Sn (1 qn)，a11 qS2n (1q 2n)，S 3n (1q 3n)，a11 q a11 qS S 2(1q n)2(1q 2n)22n 2n (a11 q) 2(1q n)2(22q nq 2n)(a11 q)又 Sn(S2nS 3n) 2(1q n)2(22q nq 2n)，(a11 q)S S S n(S2nS 3n)2n 2n方法二 根据等比数列性质，有 S2nS nq nSnS n(1q n)，S 3nS nq nSnq 2nSn，S S S S n(1q n)2S (22q nq 2n)，2n 2n 2n 2nSn
7、(S2nS 3n)S (22q nq 2n)2nS S S n(S2nS 3n)2n 2n例 2 解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项 a1a，公比q110% 0.9，a na0.9 n1 (n1) (2)10 年的出口总量 S10 10a(1 0.9 10)a1 0.9101 0.9S 1080，10a(10.9 10)80，即 a ，81 0.910a12.3.故 2010 年最多出口 12.3 吨变式训练 2 解 用 an表示热气球在第 n 分钟上升的高度，由题意，得 an1 an，45因此，数列a n是首项 a125，公比 q 的等比数列45热气球在前 n 分钟内上升的总
8、高度为：Sna 1a 2a na11 qn1 q 125 0，a 3a 55.又 a3与 a5的等比中项为 2，a 3a54，而 q(0,1)，a 3a5，a 34，a 51.q ，a 116，12a n16 n1 2 5n .(12)(2)bnlog 2 an5n，b n1 b n1，b n是以 b14 为首项，1 为公差的等差数列，S n ， ，n9 n2 Snn 9 n2当 n8 时， 0；当 n9 时， 0；当 n9 时， 0 且 q1，q 2q10 ，a 1q(q1) 2(q2q1)1，解得 n9.(12)即 a1a2a91a10a11.当 n9 时，C n最大9解 设这四个数分别为
9、 x，y,18y, 21x，则由题意得Error! ，解得Error! ，或Error! .故所求的四个数为 3,6,12,18 或 ， ， ， .754 454 274 9410解 (1)第一年投入为 800 万元，第二年投入为 800 万元，(1 15)第 n 年投入为 800 n1 万元(1 15)所以 n 年内总投入为：an800800 800 n1(1 15) (1 15)800 1 45 (45)n 14 000 .1 (45)n第一年旅游业收入为 400 万元，第二年旅游业收入为 400 万元，第 n 年旅(1 14)游业收入为 400 n1 万元，所以 n 年内的旅游业总收入为：(1 14)bn400400 400 n1(1 14) (1 14)400 1 600 .1 54 (54)n 1 (54)n 1(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，则 bna n0，即1 600 4 000 0，(54)n 1 1 (45)n化简得：2 n5 n70 ，(54) (45)设 x n，则 5x27x20，解得 x1，(45) 25n1，x n1(舍去)，即 n ，由此得 n5.(45) 25至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入
