1、第三章 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较一、选择题1当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A y100 x B ylog 100xC y x100 D y100 x答案 D解析 由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来越大时，函数 y100 x的增长速度最快2若1g(x) B g(x)f(x)C f(x) g(x) D g(x) f(x)答案 A解析 在同一直角坐标系中画出函数 f(x)3 x， g(x)2 x 的图像，如图所示，由于函数 f(x)3 x的图像在函数 g(x)2 x 的图像的上方，则 f(x)g(x)4某个企业的一个车间有 8 名工人，以往每
2、人年薪为 1 万元从今年起，计划每人的年薪比上一年增加 10%，另外每年新招 3 名工人，每名新工人的第一年年薪为 8 千元，第二年起与老工人的年薪相同若以今年为第一年，那么第 x 年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成 x 的函数，其表达式为( )A y(3 x5)1.1 x2.4B y81.1 x2.4 xC y(3 x8)1.1 x2.4D y(3 x5)1.1 x1 2.4答案 A解析 第一年企业付给工人的工资总额为81.130.8(万元)，第二年应付给工人的工资总额为(83)1.1 230.8(万元)，依次类推：第 x 年企业付给工人的工资总额应为y83( x1)1.1 x2.4(
3、3 x5)1.1 x2.4.5下列函数 f(x)中，满足“对任意 x1， x2(0，)，当 x1f(x2)”的是( )A f(x) B f(x)( x1) 21xC f(x)e x D f(x)ln( x1)答案 A解析 由题意得函数 f(x)是减函数，在四个选项中，只有 A 符合，故选 A.6若镭经过 100 年后剩留原来质量的 95.76%，设质量为 1 的镭经过 x 年后剩留量为y，则 y 与 x 的函数关系为( )A y0.9576 B y0.9576 100xx100C y x D y10.0424(0.9576100 ) x100 答案 A解析 设镭每年放射掉其质量的百分比为 t，
4、则有 95.76%(1 t)100，所以 t1，所以 y(1 t)x0.9576 .(95.76100)1100 x100 二、填空题7方程 2x2 x 的解的个数为_答案 1解析 分别作出函数 y2 x与 y2 x 的图像如图所示，易得两图像只有一个交点，即原方程只有一个解8某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，这样，一个细胞分裂 x次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是_答案 y2 x(xN )解析 该函数为指数函数型 y2 x(xN )三、解答题9求方程 logax x2(00 且 a1)(1)求函数 f(x)的定义域；(2)判断函数 f(x)的单调性解
5、析 (1)由 ax10 得 ax1，当 a1 时，函数 f(x)的定义域为(0，)；当 01 时， f(x)在(0，)上是增函数；当 01 时，设 0x2log2x B x22xlog2xC2 xlog2xx2 D x2log2x2x答案 B解析 在同一平面直角坐标系中画出函数 ylog 2x， y x2， y2 x的图像，在区间(2,4)上从上往下依次是 y x2， y2 x， ylog 2x 的图像所以 x22xlog2x.2设 a( ) ， b( ) ， c( ) ，则 a， b， c 的大小关系是( )3525 2535 2525 A acb B abcC cab D bca答案 A解
6、析 y x 在(0，)上是增加的，25 ac. y( )x(xR)为减函数， cb. acb.25二、填空题3函数 yError!的反函数是_答案 yError!解析 x0，所以 f( x)log 3(1 x)，又 f( x) f(x)，所以 f(x)log 3(1 x)(x30.7；(2)函数 y x3是增函数，0.21 31.8 ，121212又函数 y1.8 x在 R 上递增，1.8 1.8 ，故 2 1.8 ；12131213(4)注意到两个对数的真数相同，可先比较 log0.92.1 与 log0.92.2 的大小0log0.92.2，如图又log 0.92.2x3，即 f(x)g(x)；当 x1x2时， f(x)g(x)由于 f(1)2， g(1)1， f(2)2 24， g(2)2 38，所以 x11,2，即 a1；又因为 f(8)2 8256， g(8)8 3512，f(8)g(10)，所以 x29,10，即 b9.
