1、1994 年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120分钟.第卷(选择题共 65 分)一、选择题:本大题共 15 小题;第(1)(10)题每小题 4 分,第(11)(15)题每小题 5 分,共65 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集 I=0,1,2,3,4,集合 A=0,1,2,3,集合 B=2,3,4,则(A)0 (B)0,1 (C)0,1,4 (D)0,1,2,3,4【 】(2)如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是(A)(0,+
2、) (B)(0,2) (C)(1,+) (D)(0,1)【 】(A)双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆【 】(4)设 是第二象限的角,则必有【 】(5)某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过 3 小时,这种细菌由 1 个可繁殖成(A)511 个 (B)512 个 (C)1023 个 (D)1024 个【 】(A)y=sin2x+cos4x (B)y=sin2xcos4x(C)y=sin2x+cos2x (D)y=sin2xcos2x【 】(7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,则其体积为【 】F1PF2=90,则F1PF2 的面积是
3、【 】(9)如果复数 z 满足z+i+z-i=2,那么z+i+1的最小值是【 】(10)有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担.从 10 人中选派 4人承担这三项任务,不同的选法共有(A)1260 种 (B)2025 种 (C)2520 种 (D)5040 种【 】(11)对于直线 m、n 和平面 、, 的一个充分条件是【 】【 】(13)已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是【 】【 】(15)定义在(-,+)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x)之和,如果 f(x)
4、=lg(10x+1),x(-,+),那么【 】第卷(非选择题共 85 分)二、填空题(本大题共 5 小题,共 6 个空格;每空格 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上)16.在(3-x)7 的展开式中,x5 的系数是 .(用数字作答)17.抛物线 y2=8-4x 的准线方程是 ,圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 .19.设圆锥底面圆周上两点 A、B 间的距离为 2,圆锥顶点到直线 AB 的20.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得 n 次测量分别得到a1,a2,an,共 n 个数据,我们规定所测量物理量的“最佳近似值“a 是这样一个量:与其他近似值比较,a 与各
5、数据的差的平方和最小.依此规定,从 a1,a2,an 推出的 a= .三、解答题(本大题共 5 小题,共 61 分;解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)21.(本小题满分 11 分)已知 z=1+i.22.(本小题满分 12 分)23.(本小题满分 12 分)如图,已知 A1B1C1-ABC 是正三棱柱,D 是 AC 中点.(1)证明 AB1平面 DBC1;(2)假设 AB1BC1,求以 BC1 为棱,DBC1 与 CBC1 为面的二面角 的度数.24.(本小题满分 12 分)已知直线 l 过坐标原点,抛物线 C 顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上.若点 A(-1,0)和点 B(0,8)关
6、于 l 的对称点都在 C 上,求直线 l 和抛物线 C 的方程 .25.(本小题满分 14 分)设an是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所有的自然数 n,an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项.(1)写出数列an的前 3 项;(2)求数列an的通项公式(写出推证过程);1994 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1.C2.D 3.D 4.A 5.B6.D7.B 8.A 9.A 10.C11.C 12.B 13.D 14.B 15.C二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)三、解答题21.本小题考查
7、共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力.解:(1)由 z1+i,有 的三角形式是(2)由 z=1+i,有由题设条件知(a+2)-(a+b)i=1-i.22.本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力.证明:且 00),且 x 轴和 y 轴不是所求直线,又 l 过原点,因而可设 l 的方程为y=kx (k0). 设 A、B分别是 A、B 关于 l 的对称点,因而 AAl ,直线 AA 的方程为又 M 为 AA的中点,从而点 A的坐标为同理得点 B的坐标为又 A、B均在抛物线 y2=2px(p0)上,由得.,整理得 k2-k-1=0.所以直线方程为抛物线方程为解法二:设点 A、B 关
8、于 l 的对称点分别为 A(x1、y1)、B(x2,y2),则OA=OA=1,OB=OB=8.设由 x 轴正向到 OB的转角为 ,则x2=8cos,y2=8sin. 因为 A、B为 A、B 关于直线 l 的对称点，而BOA 为直角,故BOA为直角,因此由题意知 x10,x20,故 为第一象限角.因为 A、B都在抛物线 y2=2px 上,将、代入得cos2=2psin,64sin2=2p8cos.8sin3=cos3,2sin=cos,因为直线 l 平分BOB,故 l 的斜率25.本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力.解得 a1=2.(a2-
9、2)2=16.由 a20,解得 a2=6.(a3-2)2=64.由 a30,解得 a3=10.故该数列的前 3 项为 2,6,10.(2)解法一:由(1)猜想数列an有通项公式 an=4n-2.下面用数学归纳法证明数列an的通项公式是an=4n-2 (nN).当 n=1 时,因为 41-2=2,又在(1)中已求出 a1=2,所以上述结论成立.假设 n=k 时结论成立,即有 ak=4k-2.由题意,有Sk=2k2.由题意,有由 ak+10,解得 ak+1=2+4k.所以ak+1=2+4k=4(k+1)-2.这就是说,当 n=k+1 时,上述结论成立.根据、,上述结论对所有的自然数 n 成立.由题意知 an+1+an0,an+1-an=4.即数列an为等差数列,其中 a1=2,公差 d=4.an=a1+(n-1)d=2+4(n-1),即通项公式为 an=4n-2.(3)解:令 cn=bn-1,则
