1、第二章 4 4.1 二次函数的图像一、选择题1已知抛物线经过点(3,2)，顶点是(2,3)，则抛物线的解析式是( )A y x24 x1 B y x24 x1C y x24 x1 D y x24 x1答案 A解析 设抛物线的解析式为 y a(x2) 23.将点(3,2)代入，得 2 a(32)23，即 a1.所以 y( x2) 23 x24 x1.2将函数 y x2图像上各点的纵坐标扩大为原来的 2 倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为( )A y2 x2 B y4 x2C y x2 D y x212 14答案 A解析 由图像变换可知选 A.3已知抛物线过点(1,0)，(2,7)，
2、(1,4)，则其解析式为( )A y x22 x B y x22 x13 53 13 53C y x22 x D y x22 x13 53 13 53答案 B解析 设所求抛物线的解析式为 y ax2 bx c(a0)，则根据题意得Error!解得Error!所以 y x22 x ，故选 B.13 534已知 a0， b0，从而排除 A.5将函数 y2( x1) 23 的图像向左平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单调长度所得图像对应的函数解析式为( )A y2 x2 B y2( x2) 26C y2 x26 D y2( x2) 2答案 D解析 将 y2( x1) 23 的图像向左平移 1
3、个单位后，得到 y2( x2) 23 的图像，再将它向上平移 3 个单位长度得到 y2( x2) 2的图像，故选 D.6已知 f(x)2( x1) 2和 g(x) (x1) 2， h(x)( x1) 2的图像都是开口向上的抛12物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔( )A g(x) B f(x) C h(x) D不确定答案 A解析 因二次函数 y a(x h)2 k 的| a|越小，则二次函数开口越开阔二、填空题7二次函数 f(x) x2 x 的图像的顶点坐标为_12 32答案 (1,1)解析 f(x) x2 x (x22 x3) (x1) 21，所以其顶点坐标为(1,1)12 32 12 1
4、28已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与 x 轴的交点为(1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是_答案 f(x) x22 x3解析 设函数的解析式为 f(x) a(x1)( x3)( a0)，将点(1,4)代入，得 a1.则 f(x)( x1)( x3) x22 x3.三、解答题9已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，3)，且经过点 P(2,0)，求这个函数的解析式解析 解法 1：设所求函数的解析式为 y ax2 bx c(a0)，由题意得Error!解得Error!函数的解析式为 y3 x26 x.解法 2：设所求函数的解析式为 y ax2 bx c(a0)，由题意得Error!解得Er
5、ror!函数的解析式为 y3 x26 x.解法 3：设所求函数的解析式为 y a(x h)2 k(a0)，则顶点坐标为( h， k)，已知顶点为(1，3)， h1， k3，即所求的二次函数 y a(x1) 23.又图像经过点 P(2,0)，0 a(21) 23， a3，函数的解析式为 y3( x1) 23，即 y3 x26 x.解法 4：设解析式为 y a(x x1)(x x2)(a0)，其中 x1， x2是抛物线与 x 轴的两交点的横坐标，已知抛物线与 x 轴的一个交点 P(2,0)，对称轴是 x1，抛物线与 x 轴的另一个交点为(0,0)， x10， x22，所求的解析式为 y a(x0)
6、( x2)，又顶点为(1，3)，3 a1(12)， a3，所求函数的解析式为 y3 x26 x.10已知二次函数满足 f(x2) f( x2)，且其图像在 y 轴上的截距为 1，在 x 轴上截得的线段长为 2 ，求 f(x)的表达式2解析 设 f(x) ax2 bx c(a0)，由 f(x2) f( x2)得对称轴为 x 2，b2a b4 a.图像在 y 轴上的截距为 1， c1，又| x1 x2| 2 ，b2 4ac|a| 2 b2 或 b0(舍去)， a ，12 f(x) x22 x1.12一、选择题1如图所示的是二次函数 y ax2 bx c(a0)的图像，则| OA|OB|等于( )A
7、. Bca caC D以上都不对ca答案 B解析 f(x) ax2 bx c， f(0) c0， abc，且 a b c0，那么它的图像是下图中的( )答案 A解析 因为 abc 且 a b c0，所以 a0， c0，抛物线与 y 轴的交点(0， c)在 y 轴负半轴， c0.b2a ba a， b 同号 a0， b0.又抛物线与 x 轴有两个交点， b24 ac0. 0， 0.a bb2 4ac acb点( ， )在第四象限a bb2 4ac acb7已知抛物线 y ax2 bx c(a0)与 x 轴有两个不同的交点 A(x1,0)、 B(x2,0)且x x ，试问该抛物线由 y3( x1) 2的图像向上平移几个单位得到？21 2269解析 由题意可设所求抛物线的解析式为y3( x1) 2 k，展开得 y3 x26 x3 k，由题意得 x1 x22， x1x2 ，3 k3所以 x x ( x1 x2)22 x1x2 ，得21 22694 ，解得 k .2 3 k3 269 43所以，该抛物线是由 y3( x1) 2的图像向上平移 个单位得到的，它的解析式为43y3( x1) 2 ，43即 y3 x26 x .53
