1、第 6课时 平面直角坐标系中的距离公式1.掌握两点间的距离公式,能根据距离公式求两点间的距离 .2.掌握点到直线的距离公式及其简单应用,理解点到直线的距离公式的推导过程 .3.理解两条平行线间的距离公式,会用公式求两条平行线间的距离,综合体会两点间的距离公式、点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式之间的联系 .如图,在铁路的附近,有一大型仓库 .现要修建一条公路与之连接起来 .我们来设计下,使公路最短,同时算出最短的路程 .这就是今天我们要学习的距离公式 .问题 1:两点间的距离(1)点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式 |P1P2|= . (21)2+(21)2(2)坐
2、标法:步骤: 建立 坐标系 ,用坐标表示有关的量; 进行有关 代数运算 ; 把代数运算结果“翻译”成几何关系 . 问题 2:点到直线的距离将仓库看作一个点 P0,将铁路看作一条直线,在平面直角坐标系中,如果已知点 P0的坐标为( x0,y0),直线 l的方程为 Ax+By+C=0(且 A2+B20),则点 P0(x0,y0)到直线 l的距离为 .问题 3:使用点到直线的距离公式时要注意的事项(1)从运动观点来看,点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最 短 距离 . (2)若给出的直线方程不是一般式,要先化为一般式 .(3)直线上的点到该直线的距离为 0 . 问题 4:两条平行直线间的
3、距离(1)定义:夹在两条平行直线间 公垂线段 的长叫作这两条平行直线间的距离 . (2)求法:转化为求点到直线的距离,即在其中任意一条直线上任取一点,这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离 . (3)公式:若 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则 . 1.已知 ABC的顶点 A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则 ABC的周长是( ).A.2 B.3+2 C.6+3 D.6+3 2 102.点(2,1)到直线 l:x-2y+2=0的距离为( ).A. B. C. D.025 255 6553.已知 ABC的顶点坐标为 A(7,8)、 B(10,4)、 C
4、(2,-4),则 BC边上的中线 AM的长为 . 4.求过点(2,1)的所有直线中,距离原点最远的直线方程 .求点到直线的距离求点 P(1,2)到下列直线的距离:(1) l1:y=x-3;(2)l2:y=-1;(3)y轴 .两条平行直线间的距离求两平行线 l1:3x+4y=10和 l2:3x+4y=15的距离 .距离公式的应用直线 l1过点 A(0,1),直线 l2过点 B(5,0),如果 l1 l2,且 l1与 l2之间的距离为 5,求直线 l1与 l2的方程 .求点 P(a,b)到直线 l: + =1 的距离 .求与直线 l:5x-12y+6=0平行且距离为 2的直线方程 .若两平行直线
5、2x+y-4=0与 y=-2x-k-2的距离不大于 ,求 k的取值范围 .51.已知 A(2,1),B(-1,b),|AB|=5,则 b等于( ).A.-3 B.5 C.-3或 5 D.-1或-32.以 A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( ).A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形3.已知点 A(2,-1),B( ,2),若 y轴上有一点 P满足 |PA|=|PB|,则点 P的坐标为 . 74.甲船在某港口的东 50 km,北 30 km处,乙船在同一港口的东 14 km,南 18 km处,那么甲、乙两船的距离是多少?(2011年北京卷)已知
6、点 A(0,2),B(2,0).若点 C在函数 y=x2的图像上,则使得 ABC的面积为 2的点 C的个数为( ).A.4 B.3 C.2 D.1考题变式(我来改编):第 6课时 平面直角坐标系中的距离公式知识体系梳理问题 1:(1) (2) 坐标系(21)2+(21)2 代数运算问题 2:d=|0+0+|2+2问题 3:(1)短 (3)0问题 4:(1)公垂线段 (3)d=|12|2+2基础学习交流1.C |AB|= =3 ,|BC|= =3,|AC|= =3,(2+1)2+32 2 (2+1)2+0 (22)2+32则 ABC的周长为 6+3 .故选 C.22.B 由点到直线的距离公式知:
7、d= = = .|22+2|1+(2)225255故选 B.3. BC的中点为 M(6,0),|AM|= = .65 (67)2+(08)2 654.解:距离原点最远的直线到原点的距离为 = ,即直线垂直于 (2,1)点与原点的连线,斜22+12 5率为 -2,故直线为 y-1=-2(x-2),即 2x+y-5=0.重点难点探究探究一:【解析】 (1)将直线方程化为一般式: x-y-3=0,由点到直线的距离公式得 d1= =2 .|123|1+(1)22(2)(法一)直线方程化为一般式: y+1=0,由点到直线的距离公式得 d2= =3.|0+2+1|02+12(法二) y=- 1平行于 x轴
8、,如图,d 2=|-1-2|=3.(3)(法一) y轴的方程为 x=0,由点到直线的距离公式得 d3= =1.|1+0+0|12+02(法二)如图可知,d3=|1-0|=1.【小结】求点到直线的距离,要注意公式的条件,即先将直线方程化为一般式 .对于特殊直线可采用数形结合的思想方法求解 .探究二:【解析】(法一)若在直线 l1上取一点 A(2,1),则点 A到直线 l2的距离即是所求的平行线间的距离 .l2的方程可化为:3 x+4y-15=0,d= =1.|32+4115|32+42(法二)直线 l1、 l2的方程可化为3x+4y-10=0,3x+4y-15=0,则两平行线间的距离为d= =
9、=1.|15(10)|32+42 55【小结】求两平行直线间的距离有两种思路:(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离;(2)直接利用两平行线间的距离公式 d= ,但注意两直线方程中 x,y的系数必须|21|2+2对应相等 .探究三:【解析】设 l1:y=kx+1,l2:y=k(x-5),即 l1:kx-y+1=0,l2:kx-y-5k=0.l1与 l2之间的距离 d= =5,解得 k= .|1(5)|2+(1)2 125 直线 l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0.问题直线 l1、 l2的斜率都一定存在吗?如果斜率不存在呢?结论
10、本题出错的原因是忽视了直线方程的点斜式、斜截式的前提条件,这类问题的解决方式应分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论 .于是,正确解答如下:(1)若直线 l1、 l2的斜率都不存在,则 l1:x=0,l2:x=5,它们之间的距离为 5,满足题意 .(2)若直线 l1、 l2的斜率存在,则可设 l1:y=kx+1,l2:y=k(x-5),即 l1:kx-y+1=0,l2:kx-y-5k=0.l1与 l2之间的距离 d= =5,解得 k= .|1(5)|2+(1)2 125 直线 l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0.综上,直线 l1:x=0,l2:x=5或直线 l1:12x-5y
11、+5=0,l2:12x-5y-60=0.【小结】本题考查了直线的点斜式方程和两平行直线的距离公式,在处理直线问题时,应当考虑斜率是否存在,注意分类讨论、数形结合的思想始终要有 .思维拓展应用应用一:直线 l的方程可化为 bx+ay-ab=0, 点 P到直线 l的距离 d= = .|+|2+2 |2+2应用二:由题意可设所求直线方程为 5x-12y+c=0.根据两平行直线间的距离公式得 =2,|6|52+(12)2解之得 c=32或 c=-20.所以所求直线方程为 5x-12y+32=0或 5x-12y-20=0.应用三: y=-2x-k-2化为 2x+y+k+2=0, 0 ,0|k+6|5 .
12、|+2+4|22+125- 5 k+65 且 k+60 .- 11 k -1且 k -6.基础智能检测1.C |AB|2=(2+1)2+(1-b)2=25,即 1-b=4,b=- 3或 5,故选 C.2.B |AB|= = ,(51)2+(54)2 17|BC|= =3 ,(41)2+(14)2 2|AC|= = .故选 B.(54)2+(51)2 173.(0,1) 设 P点坐标为(0, y),则由两点间的距离公式得|PA|= = ,(+1)2+4 2+2+5|PB|= = .(2)2+(0 7)2 24+11由 |PA|=|PB|可得 y2+2y+5=y2-4y+11,y= 1,即 P(0,1).4.解:以港口为坐标原点,正北、正东方向分别为 y轴、 x轴的正方向,建立平面直角坐标系,则甲、乙的坐标分别为(50,30)、(14, -18), 甲、乙两船的距离为 = =60 km.(5014)2+(30+18)2 362+482全新视角拓展A 设 C(x,y), 直线 AB:x+y-2=0,|AB|=2 ,点 C到直线 AB的距离为 d= .又因2|+2|2为点 C在 y=x2上,所以 d= .则 S ABC= 2 =2,解得 x=0或 -1或|+22|2 12 2 |+22|2或 .所以满足条件的点有 4个 . 选 A.1 172 1+172
