1、【成才之路】2015-2016 学年高中数学 1.3.3 第 2 课时 导数的应用练习 新人教 A 版选修 2-2一、选择题1(2015漳州模拟)曲线 y x2在点 M( ， )的切线的倾斜角的大小是( )12 14A30 B45C60 D90答案 B解析 y2 x，当 x 时， y1，得切线的斜率为 1，所以 k1；121tan ，0 0；当10，解得 a2 或 a0，所以 f(x)在(1,3)上单调递增，又 f(1)30，所以 f(x)在(1,3)内与 x 轴只有一个交点三、解答题10(2015泉州市南安一中高二期末)设函数 f(x) x2 ax2ln x(aR)在 x1 时12取得极值(
2、1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间解析 (1) f( x) x a ，2x因为当 x1 时 f(x)取得极值，所以 f(1)0，即 1 a20，解得 a3，经检验，符合题意(2)由(1)得： f(x) x23 x2ln x，12 f( x) x3 ，( x0)，2x x 1 x 2x令 f( x)0 解得 02，令 f( x)bc B cabC cba D bac答案 D解析 ( x1) f( x)0，当 x1 时， f( x)0，此时函数 f(x)单调递减；当 x1 时， f( x)0，此时函数 f(x)单调递增又 f(1.9 x) f(0.1 x)， f(x) f(2 x)
3、， f(3) f2(1) f(1)，100，解得 x1，因此函数在0,1上单调递减，在1,2上单调递增，又 x1 时， y2； x2 时， y2； x0， y0，函数 y x33 x， x0,2的值域是2,2，故 m2,2， m2,2，故选 A.二、填空题15若函数 f(x) x2 2 x a 在区间 ，3上的最大值、最小值分别为 m， n，则12m n_.答案 289解析 f( x)2 x3 2 ，2 x 1 x2 x 1x3当 10，当 0.三、解答题17(2015郑州登封市高二期中)已知函数 f(x) (e 是自然对数的底数)exx 1(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 x1 x
4、2， f(x1) f(x2)时，证明： x1 x20.解析 (1)由 f(x) (x1)得： f( x) ， x1，exx 1 xex x 1 2令 f( x)0 得： x0，令 f( x)0，由(1)知 f(x)在(1,0)上为减函数，在(0，)上为增函数，若 f(x1) f(x2)， x1 x2，则必有 x1， x2(1，)，不妨设 x1(1,0)， x2(0，)若证 x1 x20，即证 x2 x10，只需证 f(x2)f( x1)，又 f(x1) f(x2)，即证 f(x1)f( x1)，设 g(x) f(x) f( x)， x(1,0)，即证 g(x) 0 在 x(1,0)上恒成立，e
5、xx 1 e x1 x即证(1 x)e2x(1 x)0 在(1,0)上恒成立设 h(x)(1 x)e2x(1 x)， x(1,0)，则 h( x)e 2x(12 x)1，令 (x)e 2x(12 x)1，则 ( x)4 xe2x0， (x)在(1,0)上单调递增，则 h( x)是(1,0)上的增函数，故 h( x)h(0)0，所以原命题成立18(2015唐山市一模)已知函数 f(x) x2ln x 1， g(x)e x(2lnx x)ax(1)若函数 f(x)在定义域上是增函数，求 a 的取值范围；(2)求 g(x)的最大值解析 (1)由题意得 x0， f( x)1 .2x ax2由函数 f(x)在定义域上是增函数得， f( x)0，即 a2 x x2( x1) 21( x0)因为( x1) 211(当 x1 时，取等号)，所以 a 的取值范围是1，)(2)g( x)e x ，(2x 1 2lnx x)由(1)得 a2 时， f(x) x2ln x 1，2x因为 f(x)在定义域上是增函数，又 f(1)0，所以，当 x(0,1)时， f(x)0，当 x(1，)时， f(x)0.所以，当 x(0,1)时， g( x)0，当 x(1，)时， g( x)0.故 x1 时， g(x)取得最大值 g(1)e.
