1、1.3.2 函数的极值与导数课时演练促提升A组1.函数 f(x)=-x3+x2+2x取极小值时, x的值是( )A.2 B.-1和 2C.-1 D.-3解析: f(x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),则在区间( - ,-1)和(2, + )上, f(x)0,故当 x=-1时, f(x)取极小值 .答案:C2.函数 f(x)=x3-3x2-9x(-221 D.00),则 y=f(x)( )A.在区间,(1,e )内均有零点B.在区间,(1,e)内均无零点C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点解析: f(x)=,令 f(x)=0,得 x=
2、3,当 00,f(e)=-10,所以 y=f(x)在区间内无零点 ,在区间(1,e)内有零点 .答案:D6.已知函数 f(x)=ax3+bx2+6,其导数 f(x)的图象如图所示,则函数的极小值是 .解析:依题意 f(x)=3ax2+2bx.由题图象可知,当 x0,故 x=0时函数 f(x)取极小值 f(0)=6.答案:67.若 a0,b0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2在 x=1处有极值,则 ab的最大值等于 .解析: f(x)=12x2-2ax-2b,f (x)在 x=1处有极值,f (1)=12-2a-2b=0,即 a+b=6.又 a0,b0,ab =9,当且仅当 a=b=
3、3时等号成立 .ab 的最大值为 9.答案:98.设 f(x)=aln x+x+1,其中 aR,曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线垂直于 y轴 .(1)求 a的值;(2)求函数 f(x)的极值 .解:(1)因 f(x)=aln x+x+1,故 f(x)=.由于曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线垂直于 y轴,故该切线斜率为 0,即 f(1)=0,从而 a-=0,解得 a=-1.(2)由(1)知 f(x)=-ln x+x+1(x0),f(x)=-=.令 f(x)=0,解得 x1=1,x2=-不在定义域内,舍去 .当 x(0,1)时, f(x)0,故 f(x)在(1, + )
4、上为增函数 .故 f(x)在 x=1处取得极小值 f(1)=3.9.设 x=1与 x=2是函数 f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点 .(1)试确定常数 a和 b的值;(2)判断 x=1,x=2是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由 .解:(1) f (x)=aln x+bx2+x,f (x)=+2bx+1.由题意可知 f(1)=f(2)=0, 解方程组得 a=-,b=-.(2)由(1),知 f(x)=-ln x-x2+x,f(x)=-x-1-x+1.当 x(0,1)时, f(x)0,当 x(2, + )时, f(x)1时, f(x)0;在 x=1附近的左侧, f(x)0;
5、当 x( -2,-ln 2)时, f(x)0,x取足够小的负数时,有 f(x)0,即 +a0,所以 a1,所以当 a(1, + )时,曲线 y=f(x)与 x轴仅有一个交点 .6.已知函数 f(x)=x-aln x(aR) .(1)当 a=2时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数 f(x)的极值 .解:函数 f(x)的定义域为(0, + ),f(x)=1-.(1)当 a=2时, f(x)=x-2ln x,f(x)=1-(x0),因而 f(1)=1,f(1)=-1,所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1)处的切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0.(2)由 f(x)=1-,x0知: 当 a0 时, f(x)0,函数 f(x)为(0, + )上的增函数,函数 f(x)无极值; 当 a0时,由 f(x)=0,解得 x=a,又当 x(0, a)时, f(x)0,从而函数 f(x)在 x=a处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-aln a,无极大值 .综上,当 a0 时,函数 f(x)无极值;当 a0时,函数 f(x)在 x=a处取得极小值 a-aln a,无极大值 .
