1、第 15 讲 平面与平面平行的性质学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线” “线面”“面面”平行的转化.知识要点：1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为： ./,/aba2. 其它性质： ； ；/,ll/,ll夹在平行平面间的平行线段相等.例题精讲：【例 1】如图，设平面 平面 ，AB、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB、 CD 的中点，且 A、C ，B、D. 求证：MN . 证明：连接 BC，取 BC 的中点 E，分别
2、连接 ME、NE，则 MEAC， ME平面 ，又 NEBD， NE， 又 MENE=E ， 平面 MEN平面 ， MN 平面 MEN，MN. 【例 2】如图，A，B，C，D 四点都在平面， 外，它们在内的射影 A1，B 1，C 1，D 1 是平行四边形的四个顶点，在内的射影 A2，B 2，C 2，D 2 在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形 证明： A，B，C，D 四点在 内的射影 A2，B 2，C 2，D 2 在一条直线上，A，B，C，D 四点共面又 A，B，C，D 四点在内的射影 A1，B 1，C 1，D 1 是平行四边形的四个顶点，平面 ABB1A1平面 CDD1C1AB，CD 是
3、平面 ABCD 与平面 ABB1A1，平面 CDD1C1 的交线ABCD同理 ADBC 四边形 ABCD 是平行四边形【例 3】如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，E、F、G 是侧面对角线上的点，且，求证：平面 EFG平面 ABC.BECFG证明：作 于 P，连接 PF. 在正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧面 中，1B 1A易知 ，又 ，所以 . ， 平面 ABC.11AE1/ P/E又 ， ， ， ，则 平面 ABC.1AC1FPB/F ， 平面 PEF/平面 ABC.PF 平面 PEF， EF/平面 ABC. 同理，GF/平面 ABC.E ， 平面 EFG/平面 ABC.G点评：将
4、空间问题转化为平面问题，是解决立体几何 问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线，并抓住一些平面 图形的几何性质，如比例 线 段等. 此题通过巧作垂线，得到所作平面与底面平行，由性质 易得线面平行，进而转化出待证的面面平行，突/,/ll出了平行问题中转化思想.【例 4】如图，已知正方体 中，面对角线 ， 上分别有两点1ABCD1ABCE、 F，且 . 求证：EF 平面 ABCD.1BC证明：过 E、F 分别作 AB、BC 的垂线，EM、FN 分别交 AB、BC 于 M、N ，连接 MN. BB1平面 ABCD， BB1AB，BB 1BC， EMBB1，FNBB 1， EMFN， AB1
5、=BC1，B 1E=C1F，AE =BF， 又B 1AB=C1BC=45， RtAMERtBNF， EM=FN. 四边形 MNFE 是平行四边形，EF MN. 又 MN 平面 ABCD， EF平面 ABCD. GNMFEE CDBAD1 C1B1A1E NMDBCA证法二：过 E 作 EGAB 交 BB1 于 G，连接 GF， ， ， ， ， FGB1C1BC. 1BGA1CF1BA1CFGB又EG =G，AB BC=B，平面 EFG平面 ABCD. Fb 又 EF 平面 EFG，EF 平面 ABCD. 点评：在熟知线面平行、面面平行的判定与性 质之后，空 间平行 问题的证明，紧紧抓住“线线平行 线面平行 面面平行”之间的互相转化而完成证明.
