1、两个平面垂直的判定和性质（三）教学目标(一)教学知识点1两个平面互相垂直的判定2两个平面互相垂直的性质(二)能力训练要求1通过本节教学，提高学生空间想象能力2通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识3进一步提高学生分析问题、解决问题的能力(三)德育渗透目标多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神教学重点两个平面垂直的判定、性质教学难点两个平面垂直的判定定理、性质定理运用正确作出符合题意的空间图形教学方法从 条 件 去 分 析 其 应 具 有 的 结 论 ， 从 结 论 去 探 讨 其 应 具 备 的 条 件 ， 诱 导 学 生 思 考 、 分 析 问 题 教 具 准 备投影片两张第一张：(记作
2、963 A)第二张：(记作963 B)教学过程复习回顾1二面角、二面角的平面角2求作二面角的平面角的途径及依据讲授新课2两个平面垂直的判定师两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的，上一节的学习告诉我们二面角的取值范围是(0， ，即二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角请同学给两个平面互相垂直下一定义：生两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直师那么两个互相
3、垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图师生共同动手，图的画是否直观，直接影响问题解决平面 和 垂直，记作 师还以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面即 ，请同学给出面面垂直的判定定理生两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直师请两位同学给出分析，证明生已知：AB ，AB B，AB 求证： 分析：要证 需证 和 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角证明：设 CD ，则由 AB 知，AB、CD 共面 A
4、B ，CD ， ABCD，垂足为点 B在平面 内过点 B 作直线 BECD则ABE 是二面角 -CD-的平面角又 ABBE ，即二面角 -CD-是直二面角 师建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？生依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线师从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直 面面垂直3两个平面垂直的性质师在所给正方体中，下式是否正确：平面 ADD1A1平面 ABCD；D 1AAB；D 1A面 ABCD生 AB面 ADD1A1，AB 面 ABCD 平面 ABCD平面 ADD1A1 AB 面 ADD1A1，D 1A
5、面 ADD1A1 ABD 1A AA 1 面 ABCD， AD 1 与平面 ABCD 不垂直师平面 ADD1A1面 ABCD，平面 ADD1A1平面 ABCDAD，A 是平面 ADD1A1 内一点过点 A 可以在平面 ADD1A1 内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面师从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直也给了我们以后证明问题的一种思想方法请同学予以证明生证明过程如下：已知： 、 a，AB ，ABa 于 B求证：AB
6、 证明：在平面 内作 BEa 垂足为 B，则ABE 就是二面角 -a-的平面角由 可知， ABBE又 ABa ，BE 与 a 是 内两条相交直线， AB 师证明的难点在于“作 BEa ”为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的，构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力例 2 也可做为性质定理用例 2求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内已知： ，P ，Pa，a 求证：a (963 A)师请同学分析题的条件及结果，结合投影思考证明思路，为了证 a先作出直线 b 然后证a 与 b 是同一条线，生先证，
7、尔后教师给予评注生证明：设 c，过点 P 在平面 内作直线 bc ， ， b ，而 a ，Pa因为经过一点只能有一条直线与平面 垂直所以直线 a 应与直线 b 重合那么 a师利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点：一是作出符合题意的直线 b，不易想到；二是证明直线 b 和直线 a 重合，相对容易些点 P 的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上其结论可作性质定理用下面请同学阅读例题 3 结合投影，试从不同角度证明 例 3 如 图 ， AB 是 O 的 直 径 ， 点 C 是 圆 O 上 的 动 点 ， 过
8、动 点 C 的 直 线 VC 垂 直 于 O 所 在 平面 ， D、 E 分 别 是 VA、 VC 的 中 点 ， 直 线 DE 与 平 面 VBC 有 什 么 关 系 ？ 试 说 明 理 由 (963 B)生可从多角度解决该题解法一： VC面 ABC，AC 面 ABC，BC 面 ABC， VCAC，VCBC则ACB 就是面 VBC-VC-面 VAC 的平面角因 AB 是O 的直径，故ACB90 面 VBC面 VAC又 D、E 分别是 VA、VC 的中点，则 DEAC而 ACVC 即 DEVC那么 DE面 VBC运用面面垂直的判定及面面垂直的性质转化关系：二面角是直二面角 面面垂直 线面垂直解
9、法二：因 VC面 ABC，AC 面 ABC， VCAC又 AB 是O 的直径，即有 ACBC由此 AC面 VBC而 D、E 是 VA、VC 中点，DE AC，故 DE面 VBC此法比解法一简单明了，走的弯路较少转化关系：线垂直面 线垂直面内线线垂直面 与此线平行的线也垂直平面解法三：可找 VB 中点 F，证DEF 90，进而证明 ED面 VBC(由 ACVC，BCVC 说明之 )课堂练习课本 P38 练习 1，2，31画互相垂直的两个平面，两两垂直的三个平面画图略原则：直立平面的竖边画成和水平平面横边垂直此题可改为：在一个正方体中找出互相垂直的平面两两垂直的三个平面，观察表示平面的边与边间关系
10、2检查工件相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，这是为什么？此题说明数学源于实际生活，反过来为实际生活服务解答该题所用的知识就是面面垂直的判定定理，满足一面经过另一面的一条垂线如果尺边和这个面密合，则说明另一尺边垂直于这个面，那么工件的相邻两面互相垂直3如图 ， l，AB ，ABl，BC ，DE ， BCDE 求证：ACDE 要 证 线 线 垂 直 ， 依 题 创 造 条 件 运 用 三 垂 线 定 理 需 证 线 面 垂 直 时 想 到 面 面 垂 直 性 质 定 理 课 时 小 结(1)证明两个平面垂直，
11、关键在于找线，找到的直线在一个平面内而与另一个平面垂直(2)证明直线和平面垂直，若能说明该线在两个垂直平面其中一个内而与交线垂直，则这条直线和另一平面垂直(3)判定定理、性质定理有时要和其他定理结合起来用(例 3练习 3)课后作业(一)P 40 12，13，14(必做) P 39 8，9，10，11(任选两题)必做题目12下列命题是否正确？如果正确，请作出证明；如果不正确，请举出反例(画出草图) (1) ， (2) ， (3) 1， 1， 1 1解：(1)不正确垂直于同一平面的两面还可能是相交平面(2)不正确垂直于同一平面的两面还可能是平行平面（1） （2）(3)正确111/ / 垂直于同一平
12、面的两面可以平行，也可以相交13如图 ， l，A ，B ，ABa，AB 与 、 所成的角分别是 1 和 2，求点 A、B 在 l上的射影 A、B间的距离解： A、B分别是 A、B 在棱 l 上的射影，则 AAl， BBl而 ，故 AA ，BB ，则ABA 2，BAB 1因 ABacos 1，AAasin 2，故 AB 1sincoa 212sinco解 RtAAB即可求解利用A B 22)()(A若 与 不垂直，那么需经 B 及 A分别作 AB及 BB 的平行线交于点 F，连 AF，那么AB BF 2F而 AF 的求解要求用到二面角的平面角14如图，在立体图形 V-ABC 中，VABVACAB
13、C90，平面 VAB 和平面 VBC 有何种位置关系？请说明理由解：平面 VAB 和平面 VBC 垂直由VABVAC90知VA AB，VAAC，即 VA面 ABC，BC 面 ABC VABC 又 ABC90，BCAB，那么 BC面 VAB，又 BC 面 VBC，故面 VAB面 VBC选做题8求证：(1)如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；(2)如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直证明：(1)在平面 内任取一点 P l ， P lP 、l 可确定一平面 设 l则 llll / 该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形(2)设 ， 过 内一点
14、P 作直线 l，使 l 则 ll 与 内任一点 Q 确定平面 ，设 l，则 lll ，因此 题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决9已知 ， ， l，求证：l 用文字表述就是：如果两相交面同时垂直于第三面，则交线也垂直于该面证明：过 l 上任一点 P 作直线 l，使 l ，由 P ， 知 l 同理可证 l 因此，l l，l 问题的证明，实质上采取的是同一法，作出直线 l，使之符合条件，使 l 与 l重合10求证：(1)如果三条共点直线两两互相垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两互相垂直；(2)三个两两垂直的平面的交线两两垂直证明：(1)a、b 可确定平面 ，a、
15、c 可确定平面 因 ca，c b，a、b 是 内两相交线， c 而 c故有 同理可证 ， 题目难在：创造性地利用有关定理解决问题，这要求心中有定理、围绕定理想思路(2)第 9 题告诉我们垂直于同一面的两相交面，交线也垂直于该面11求证：如果平面 和不在这个平面内的直线 l 都垂直于平面 ，那么 l 证明： ， 内有 的垂线 l，而 l、l都垂直于 知 ll又 l 在平面 外，因此 l 巧妙地利用线线平行 线面平行，而找到 l使之在 内而与 垂直是关键，注意总结规律(二)预习内容及提纲1如何解决寻找二面角的平面角问题？2无棱二面角问题怎样求解？板书设计963 两个平面垂直的判定和性质(三)2两个
16、平面垂直的判定判定定理3两个平面垂直的性质性质定理，例 2例 3 练习小结 作业备课资料一、异面直线上两点间距离已知两条异面直线 a、b 所成角为 ，其公垂线段 AA1d，在 a、b 上分别取点 E、F，设A1Em， AFn，则 EF_解析：设经 b 而与 a 平行的平面为 ，线 AA1 及线 a 确定的平面为 ， c a ， ac 那么 b、c 所成角就是异面直线 a、b 成角 AA 1b， AA1c，则 AA1 ，故 经 E 作 EG c 于 G，则 EG 连 GF，EG GF ，EGAA 1d，那么在GAF 中，FG 2m 2n 2-2mncos在EGF 中， EF2EG 2FG 2d
17、2FG 2故 EF2d 2 m2n 2-2mncos当 F 在另一侧(AA 1 另一侧)，EF 2 d2m 2n 2-2mncos(180-)d 2m 2n 22mncos 故 EF cosn答案：22评述：在该题解决过程中，从平面的性质到面面垂直、线面垂直，涉及多个知识点，求解过程体现等价转化思想，将空间两异面直线上任意两点距离问题，通过平面 、平面 转化为平面问题公式说明两异面直线公垂线的存在性，且公垂线段长是异面直线上任两点连线最短的公式应用1求异面直线上任意两点距离2求二面角的平面角例 1二面角 -l-为 60，A ，B ，ACl 于 C，BDl 于 D，AC5 cm，BD7 cm，
18、CD 0，求 AB解：将 AC、BD 看成两异面直线经 D 作 DEAC，则 DECD，又 BDCD，则EDB 就是 -l-的平面角BDE60而BDE 也是 AC、BD 成角又 CD 是 AC、BD 的公垂线，那么 EF 60cos75249107 (cm)评述：在二面角内构造图形，找角的大小，确定公垂线是关键，这是利用公式求距离的问题例 2在空间四边形 ABCD 中，DBDC1，BC 2，CAAB2，AD 5，求二面角 A-BD-C 的大小解：因 DBDC1，BC 2， DC 2DB 2BC 2即DBC 是直角三角形BDCD又 BA2BD 241AD 2，即ABD 是直角三角形， ABBD那
19、么 AB 与 DC 两线所成角的大小等于所求二面角的大小，设角为 ，则有 cos 12422BDAC 60 评述：该题说明一个二面角的大小可以用异面直线所成角来度量，但要注意此时存在角的范围变化，二面角可以是钝角，但异面直线决不能是钝角，运用公式时注意这一点不同二、参考例题例题(2003 年高考文科第 15 题) 在平面几何里，有勾股定理： “设ABC 的两边 AB、AC 互相垂直，则 AB2AC 2BC 2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直”，则_解：此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥 A-BCD，进而易证结论：“S ABC2S ACD 2S ADB 2S BCD 2”
