工程应用力学-下册.docx

1、高 等 学 校 教 材工 程 应 用 力 学下 册主 编 郭 建 生副 主 编 杨 元 明 陈 孝 珍编 者 郭 建 生 杨 元 明 陈 孝 珍张 铟 邢 伟 张 建 文 申 中 原 主 审 宋 天 霞西 北 工 业 大 学 出 版 社【 内 容 简 介 】 本 书 是 一 本 新 概 念 基 础 力 学 教 科 书 , 它 从 变 形 固 体 的 平 衡 与 运 动 这 一 概 念 出 发 , 系 统 地 阐 述 了 工 程 应 用 力 学 ( 理 论 力 学 、 材 料 力 学 和 结 构 力 学 ) 的 基 本 概 念 、 基 本 理 论 及 在 工 程 中 的 应 用 。 全 书 共

2、十 八 章 , 分 为 上 、 下 两 册 。 上 册 包 括 固 体 的 刚 性 平 衡 、 固 体 的 变 形 平 衡 与 运 动 等 内 容 , 下 册 包 括 变 形 固 体 的 超 静 定 平 衡 力 学 基 础 等 内 容 。本 书 在 内 容 上 兼 顾 了 传 统 教 材 及 教 学 改 革 成 果 两 方 面 的 特 点 , 系 统 性 强 , 物 理 概 念 论 述 清 楚 , 同 时 内 容 也 较 简 炼 , 可 读 性 强 , 可 作 为 高 校 相 关 专 业 师 生 及 工 程 技 术 人 员 教 学 和 参 考 用 书 。图 书 在 版 编 目 ( CIP )

3、数 据工 程 应 用 力 学 / 郭 建 生 等 编 著 . 西 安 : 西 北 工 业 大 学 出 版 社 , 2001 .2ISBN 7 - 5612 - 1323 - 9 . 工 . . . . 郭 . . . . 工 程 力 学 : 应 用 力 学 教 材 .TB12中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数 据 核 字 (2000) 第 85568 号出 版 发 行 : 西 北 工 业 大 学 出 版 社通 信 地 址 : 西 安 市 友 谊 西 路 127 号 , 邮 编 710072 电 话 : 029 - 8491147网 址 : http :/ / www .nwpup .com

4、印 刷 者 : 西 安 市 向 阳 印 刷 厂开 本 : 787mm1 092mm 1/ 16印 张 : 24 .75字 数 : 594 千字版 次 : 2001 年 2 月 第 1 版 2001 年 2 月 第 1 次 印 刷书 号 :印 数 :ISBN 7 - 5612 - 1323 - 9/ TB0171100 0定 价 : (上 、 下 册 ) : 38 .00 元 , 本 册 定 价 : 13 .00 元前 言随 着 教 育 体 制 改 革 和 招 生 规 模 迅 速 扩 大 , 我 国 的 高 等 教 育 事 业 迅 速 发 展 , 然 而 , 与 此 相 对 应 的 教 材 建

5、设 工 作 却 相 对 迟 缓 。 在 华 中 科 技 大 学 宋 天 霞 教 授 的 倡 仪 和 指 导 下 , 我 们 结 合 传 统 教 材 的 特 点 和 近 年 来 教 学 改 革 方 面 的 成 果 , 编 写 了 这 部 教 材 。在 编 写 这 部 教 材 时 , 我 们 采 取 了 新 的 叙 述 方 式 , 即 把 研 究 的 对 象 作 为 变 形 固 体 ( 简 称 固 体 ) , 从 变 形 固 体 这 一 基 本 概 念 出 发 , 按 照 变 形 固 体 的 刚 性 平 衡 构 筑 静 力 平 衡 、 固 体 变 形 静 定 平 衡 构 筑 材 料 力 学 内 容

6、 , 固 体 变 形 超 静 定 平 衡 构 筑 结 构 力 学 内 容 、 固 体 的 刚 性 运 动 构 筑 动 力 学 内 容 。在 教 材 编 写 过 程 中 我 们 遵 循 了 如 下 原 则 : 一 、 教 材 内 容 以 教 学 要 求 的 “ 必 须” 与 “ 适 用” 为 度 。 二 、 教 学 内 容 必 须 精 炼 , 同 时 够 用 , 即 满 足 后 继 课 程 之 需 要 。 三 、 反 映 教 学 内 容 的 实 用 性 。 四 、 尽 量 减 少 不 必 要 的 数 理 论 证 与 推 导 。 五 、 反 映 近 年 来 一 些 教 学 成 果 。本 教 材 在

7、 编 写 过 程 中 得 到 华 中 科 技 大 学 力 学 系 的 大 力 支 持 , 特 别 是 宋 天 霞 教 授 审 定 并 修 改 了 全 稿 , 在 正 式 出 版 之 前 , 已 在 南 阳 理 工 学 院 作 为 讲 义 试 用 。本教 材 由 郭 建 生 副 教 授 任 主 编 , 杨 元 明 博 士 、 陈 孝 珍 硕 士 任 副 主 编 。 其 中 邢 伟 硕 士 编 写 第 一 、 二 、 三 章 ; 杨 元 明 博 士 编 写 第 四 、 六 、 十 三 章 , 陈 孝 珍 硕 士 编 写 第 五 、 七 、 八 、 九 章 , 郭 建 生 副 教 授 编 写 第 十

8、 、 十 一 、 十 二 章 , 申 中 原 硕 士 编 写 第 十 四 、 十 五 章 , 张 建 文 硕 士 编 写 第 十 六 章 及 第十 七 章 一 至 四 节 , 张 铟 硕 士 编 写 第 十 七 章 五 、 六 节 及 十 八 章 , 杨 元 明 博 士 负 责 全 书 统 稿 工 作 。限 于 编 者 水 平 和 时 间 因 素 , 书 中 难 免 有 缺 点 与 错 误 , 竭 诚 欢 迎 读 者 批 评 指 正 。编 者2000 年 11 月目 录下 册第 四 篇 超 静 定 结 构 变 形 平 衡 理 论 及 应 用 基 础第 十 四 章 结 构 的 几 何 构 造 分

9、 析 26114 - 1 结 构 自 由 度 与 约 束 26114 - 2 平 面 杆 件 几 何 不 变 体 系 的 组 成 规 律 26514 - 3 平 面 杆 件 几 何 不 变 体 系 的 实 例 分 析 267习 题 269第 十 五 章 结 构 变 形 计 算 的 原 理 与 定 理 27215 - 1 虚 功 原 理 及 其 应 用 27315 - 2 荷 载 作 用 下 结 构 的 位 移 计 算 28015 - 3 图 乘 法 28315 - 4 互 等 定 理 287习 题 289第 十 六 章 力 法 原 理 及 其 应 用 29216 - 1 超 静 定 结 构 概

10、 述 29216 - 2 力 法 及 其 应 用 过 程 29316 - 3 力 法 应 用 举 例 29816 - 4 结 构 对 称 性 的 应 用 308习 题 312第 十 七 章 位 移 法 、 力 矩 分 配 法 及 其 应 用 31517 - 1 位 移 法 及 其 应 用 过 程 31517 - 2 位 移 法 应 用 举 例 32817 - 3 结 构 对 称 性 的 利 用 33117 - 4 支 座 移 动 时 的 计 算 33517 - 5 力 矩 分 配 法 33617 - 6 无 剪 力 分 配 法 349习 题 353第 十 八 章 影 响 线 35718 - 1

11、 影 响 线 的 概 念 35718 - 2 用 静 力 法 作 静 定 梁 的 影 响 线 35818 - 3 用 机 动 法 作 静 定 梁 的 影 响 线 36118 - 4 影 响 线 的 应 用 36318 - 5 简 支 梁 的 内 力 包 络 图 和 绝 对 最 大 弯 矩 36818 - 6 连 续 梁 影 响 线 和 内 力 包 络 图 373习 题 377第 四 篇 超 静 定 结 构 变 形 平 衡理 论 及 应 用 基 础 261 第 十 四 章 结 构 的 几 何 构 造 分 析结 构 要 能 承 受 荷 载 , 它 的 几 何 构 造 必 须 合 理 , 而 且 结

12、 构 本 身 应 当 是 稳 定 的 。 如 果 结 构 本身 不 稳 定 , 就 不 能 承 受 任 何 荷 载 , 也 就 谈 不 上 进 行 内 力 计 算 。 因 此 , 要 进 行 结 构 内 力 计 算 , 首 先 应 进 行 结 构 几 何 构 造 分 析 。在 结 构 几 何 构 造 分 析 中 , 最 基 本 的 依 据 是 三 角 形 规 律 。 三 角 形 规 律 本 身 简 单 浅 显 , 但 规 律 的 运 用 则 变 化 无 穷 。 因 此 , 掌 握 结 构 的 几 何 构 造 分 析 的 困 难 不 在 于 懂 , 而 在 于 运 用 。本 章 仅 讨 论 平

13、面 结 构 的 几 何 构 造 规 律 , 并 进 行 几 何 构 造 分 析 。 虽 然 本 章 不 涉 及 内 力 和 应 变 , 但 是 构 造 分 析 与 内 力 分 析 之 间 是 密 切 相 关 的 。 在 对 结 构 进 行 内 力 分 析 计 算 时 , 可 根 据 结构 的 构 造 规 律 确 定 结 构 是 静 定 的 还 是 超 静 定 的 , 以 便 选 择 恰 当 的 计 算 方 法 。14 - 1 结 构 自 由 度 与 约 束在 第 一 章 里 介 绍 了 一 般 物 体 自 由 度 和 约 束 的 概 念 , 在 此 基 础 上 , 本 节 就 结 构 和 结

14、构 学 科的 术 语 习 惯 来 介 绍 自 由 度 与 约 束 等 概 念 。 本 节 所 介 绍 的 概 念 只 有 习 惯 上 的 区 别 而 没 有 性 质上 的 不 同 。一 、 基 本 概 念( 一 ) 刚 片在 荷 载 作 用 下 , 结 构 中 的 杆 件 会 产 生 弹 性 变 形 , 从 而 使 整 体 结 构 的 几 何 形 状 也 产 生 微 小的 变 化 。 但 在 分 析 杆 件 体 系 时 , 不 考 虑 杆 件 这 种 微 小 的 形 状 变 化 , 即 将 杆 件 看 成 是 没 有 弹 性变 形 的 刚 体 。 平 面 刚 体 , 则 称 为 刚 片 。 讨

15、 论 平 面 几 何 构 造 分 析 时 , 杆 件 都 可 看 作 为 刚 片 , 不 仅 如 此 , 对 体 系 中 任 一 已 判 定 为 几 何 不 变 的 部 分 也 可 视 为 一 个 刚 片 。( 二 ) 几 何 不 变 体 系 和 几 何 可 变 体 系在 不 考 虑 杆 件 弹 性 变 形 的 条 件 下 , 位 置 和 几 何 形 状 都 不 变 的 体 系 称 为 几 何 不 变 体 系 , 如 图 14 - 1( a) 所 示 ; 在 不 考 虑 杆 弹 性 变 形 的 条 件 下 , 位 置 和 几 何 形 状 都 可 以 变 的 体 系 称 为 几 何可 变 体 系

16、 , 如 图 14 - 1( b) 所 示 ; 与 此 相 对 应 的 有 内 部 几 何 不 变 体 系 和 内 部 几 何 可 变 体 系 。位 置 在 平 面 内 可 以 自 由 变 化 , 而 几 何 形 状 不 变 的 体 系 称 为 内 部 几 何 不 变 体 系 , 如 图 14 - 1( c ) 所 示 ; 位 置 和 几 何 形 状 在 平 面 内 都 可 以 自 由 变 化 的 体 系 称 为 内 部 几 何 可 变 体 系 , 如 图 14 - 1( d) 所 示 。一 般 结 构 都 必 须 是 几 何 不 变 体 系 , 而 不 能 采 用 几 何 可 变 体 系 ,

17、 几 何 构 造 分 析 的 主 要 目 的就 是 要 检 查 并 设 法 保 证 结 构 的 几 何 不 变 性 。( 三 ) 自 由 度 262 体 系 的 自 由 度 是 指 该 体 系 独 立 变 量 的 数 目 , 或 体 系 运 动 时 , 可 以 独 立 运 动 ( 或 改 变 ) 的 坐 标 数 目 。图 14 - 1平 面 内 一 个 刚 片 有 3 个 自 由 度 , 即 两 个 方 向 的 移 动 自 由 度 和 绕 某 点 的 转 动 自 由 度 。 例如 , 图 14 - 2 所 示 刚 片 AB 位 置 的 坐 标 为 xA , yA 和 , 当 运 动 到 一 个

18、 新 的 位 置 A B 时 , 刚 片 位 置 的 坐 标 为 xA + xA , yA + yA 和 + 。 因 此 , 平 面 内 一 个 刚 片 的 运 动 可 以 用 平 面 内 的 3 个 独 立 坐 标 来 描 述 。普 通 机 械 中 使 用 的 机 构 有 1 个 自 由 度 , 即 只 有 1 种 运 动 方 式 。 一 般 工 程 结 构 都 是 几 何 不 变 体 系 , 其 自 由 度为 零 。 凡 是 自 由 度 大 于 零 的 体 系 都 是 几 何 可 变 体 系 。( 四 ) 约 束使 体 系 自 由 度 减 少 的 联 结 或 装 置 , 称 作 约 束 。

19、 能 减少 几 个 自 由 度 的 联 结 或 装 置 , 就 相 当 有 几 个 约 束 。在 图 14 - 3( a) 中 , 梁 AB 用 链 杆 AC 与 基 础 相 连 : 没有 链 杆 AC 时 , 这 个 梁 在 平 面 内 有 3 个 自 由 度 ; 加 上 链杆 AC 以 后 , 梁 AB 只 有 两 种 可 动 方 式 ; 即 点 A 可 沿 以 图 14 - 2AC 为 半 径 、 点 C 为 圆 心 的 圆 孤 移 动 和 梁 绕 点 A 转 动 。 由 此 可 见 , 链 杆 AC 使 梁 的 自 由 度 由 3个 减 为 2 个 , 即 1 个 链 杆 使 梁 的

20、自 由 度 减 少 1 个 。在图 14 - 3( b) 中 , 两 个 梁 AB 和 BC 用 铰 B 连 接 在 一 起 。 两 个 孤 立 的 梁 在 平 面 内 共 有 6 个 自 由 度 。 用 铰 连 接 以 后 , 自 由 度 便 减 为 4 个 , 因 为 用 3 个 坐 标 就 可 以 确 定 梁 AB 的 位 置 , 而 梁 BC 只 能 绕 点 B 转 动 , 只 需 再 用 一 个 转 角 就 可 以 确 定 梁 BC 的 位 置 。 由 此 可 见 , 一 个 连 接 2 个 物 体 的 铰 , 可 使 自 由 度 减 少 2 个 , 即 一 个 铰 相 当 于 2

21、个 约 束 , 并 称 为 单 铰 。 与 单 铰 相 应 的 还 有 一 种 复 铰 , 即 可 连 接 3 个 以 上 物 体 的 铰 。 如 果 一 个 复 铰 连 接 n 个 刚 片 , 则 该 铰 的 作 用 与 ( n - 1) 个 单 铰 作 用 相 当 , 可 使 自 由 度 减 少 2( n - 1 ) 个 。在 图 14 - 3( c) 中 , 两 根 杆 件 AB 和 BC 在 点 B 连 接 成 一 个 整 体 , 其 中 的 结 点 B 为 刚 结 点 。 原 来 的 两 根 杆 件 在 平 面 内 共 有 6 个 自 由 度 , 刚 性 连 接 成 整 体 后 ,

22、只 有 3 个 自 由 度 , 所 以 一 个 刚 结 点 相 当 于 3 个 约 束 。( 五 ) 必 要 约 束 和 多 余 约 束图 14 - 3在 杆 件 体 系 中 能 限 制 体 系 自 由 度 的 约 束 称 为 必 要 约 束 ; 而 对 限 制 体 系 自 由 度 不 起 作 用 的 263 约 束 称 为 多 余 约 束 。例 如 , 平 面 内 1 个 点 A 原 有 2 个 自 由 度 , 如 果 用 两 根 不 等 线 的 链 杆 1 和 2 把 点 A 与 基 础相 连 ( 图 14 - 4( a ) ) , 则 点 A 即 被 固 定 。 因 此 减 少 了 2

23、个 自 由 度 , 可 见 链 杆 1 和 2 都 是 必 要 约 束 。图 14 - 4如 果 用 3 根 不 共 线 的 链 杆 把 点 A 与 基 础 相 连 ( 图 14 - 4 ( b ) ) , 实 际 上 仍 只 减 少 2 个 自 由度 。 因 此 , 这 3 根 链 杆 中 只 有 2 根 是 必 要 约 束 , 而 有 1 根 则 是 多 余 约 束 ( 3 根 链 杆 中 的 任 何 1 根 可 视 为 多 余 约 束 ) 。由 上 述 可 知 , 一 个 体 系 中 如 果 有 多 个 约 束 存 在 , 那 么 , 应 当 分 清 哪 些 约 束 是 多 余 的 ,

24、哪 些 约 束 是 必 要 的 。 只 有 必 要 约 束 对 体 系 的 自 由 度 有 影 响 , 多 余 约 束 对 体 系 的 自 由 度 没 有 影 响 。( 六 ) 约 束 代 换 和 瞬 铰一 个 单 铰 相 当 于 2 个 约 束 , 2 根 链 杆 也 相 当 于 2 个 约 束 , 因 而 两 种 约 束 是 可 相 互 代 换 的 。 为 了 将 约 束 代 换 的 概 念 扩 大 , 我 们 引 入 了 瞬 铰 的 概 念 。连 接 2 个 刚 片 的 不 在 一 直 线 上 的 两 个 链 杆 , 相 当 于 一 个 铰 。 如 不 在 一 直 线 上 的 2 链 杆

25、 AB , AC 交 于 刚 片 上 的 A 处 ( 图 14 - 5( a) ) , 则 A 是 具 有 确 定 位 置 的 实 际 的 单 铰 , 称 为 实 铰 。 如 连 接 2 个 刚 片 的 2 个 链 杆 不 在 刚 片 上 相 交 , 如 图 14 - 5( b) 所 示 , 则 两 链 杆 的 交 点 E 处 , 形 成 一 虚 铰 , 虚 铰 的 位 置 是 瞬 时 变 化 的 。 因 此 , 又 称 瞬 铰 。图 14 - 5在 图 14 - 5 (b) 中 , 刚 片 和 之 间 , 用 2 根 链 杆 相 连 , 减 少 了 互 相 之 间 的 2 个 相 对 移 动

26、 的 自 由 度 , 但 还 有 一 个 相 对 转 动 自 由 度 , 即 对 瞬 铰 之 转 动 : 如 果 刚 片 相 对 固 定 , 则 刚 片 上 的点 A, 可 沿 以 B 为 圆 心 , AB 为 半 径 的 圆 孤 移 动 , 而 点 C 则 可 沿 以 D 为 圆 心 , CD 为 半 径 的 圆 孤 移 动 ; AB 和 CD 的 交 点 为 E, 此 时 , 整 个 刚 片 又 可 看 成 绕 铰 E 转 动 。 因 此 , 瞬 铰 E 即 2 个 刚 片 之 间 的 相 对 转 动 中 心 。 显 然 , 在 体 系 运 动 的 过 程 中 , 瞬 铰 位 置 也 随

27、之 而 变 。二 、 平 面 体 系 自 由 度 的 计 算对 平 面 体 系 进 行 变 形 与 内 力 计 算 时 经 常 需 要 知 道 该 体 系 的 自 由 度 数 。 264 ( 一 ) 平 面 刚 系 的 自 由 度平 面 体 系 均 可 看 作 是 由 刚 片 加 上 约 束 组 成 的 。 首 先 , 设 想 体 系 中 各 个 约 束 都 不 存 在 , 并 计 算 各 个 刚 片 的 自 由 度 之 总 和 ; 其 次 , 确 定 体 系 中 的 全 部 约 束 数 ; 最 后 , 将 自 由 度 数 减 去 约 束数 , 即 可 得 出 平 面 刚 系 的 自 由 度

28、数 , 即式 中 W 体 系 的 自 由 度 ;W = 3 m - 2 h - r (14 - 1 )m 体 系 中 的 刚 片 数 ( 不 包 括 基 础 刚 片 ) ;h 体 系 中 的 单 铰 数 ( 若 遇 复 铰 , 先 化 为 单 铰 计 算 ) ;r 体 系 与 基 础 相 连 的 支 承 链 杆 数 。应 用 式 (14 - 1) 时 必 须 注 意 , 简 单 铰 数 h 只 包 括 刚 片 与 刚 片 之 间 相 互 连 接 所 用 的 铰 , 不 包 括 刚 片 与 支 承 链 杆 相 连 接 所 用 的 铰 。当 体 系 不 与 基 础 相 连 , 即 r = 0 的

29、情 况 下 , 体 系 对 基 础 必 有 3 个 自 由 度 。 此 时 , 只 需 研 究体 系 本 身 各 刚 片 之 间 相 对 运 动 的 自 由 度 , 简 称 为 内 部 自 由 度 , 用 V 表 示 , 则 有 W = V + 3。 将此 式 与 r = 0 一 并 代 入 式 (14 - 1) , 得 刚 片 系 的 内 部 自 由 度 数 为V = W - 3 = 3 m - 2 h - 3 (14 - 2 )例 14 - 1 计 算 图 14 - 6 所 示 体 系 的 自 由 度 数 。解 该 体 系 与 基 础 相 连 , 且 m = 3 , h = 2 , r =

30、 4故 由 式 (14 - 2) , 可 得W = 3 3 - 2 2 - 4 = 1即 体 系 具 有 一 个 自 由 度 。例 14 - 2 计 算 图 14 - 7 所 示 体 系 的 自 由 度 数 。解 该 体 系 不 与 基 础 相 连 , 且 m = 3 , h = 9 , 故 由 式 (14 - 2) 可 得V = 3 7 - 2 9 - 3 = 0图 14 - 6即 体 系 内 部 自 由 度 为 零 。图 14 - 7 图 14 - 8例 14 - 3 计 算 图 14 - 8 所 示 体 系 的 自 由 度 数 。解 该 体 系 与 基 础 相 连 , 且 m = 5 ,

31、 h = 5 , r = 6 , 故 由 式 (14 - 1) 可 得W = 3 5 - 2 5 - 6 = - 1即 体 系 无 自 由 度 , 且 有 一 个 多 余 约 束 。( 二 ) 平 面 链 杆 系 的 自 由 度仅 在 两 端 用 铰 连 接 的 杆 件 称 为 链 杆 , 它 是 刚 片 的 特 殊 形 式 , 通 常 的 桁 架 都 是 由 这 类 杆 件 265 组 成 。 链 杆 系 的 自 由 度 自 然 地 可 以 用 公 式 (14 - 1 ) 和 ( 14 - 2 ) 计 算 , 但 因 其 中 复 铰 较 多 , 计 算 不 便 。 通 常 采 用 下 面 介

32、 绍 的 另 一 种 算 法 。若 把 体 系 看 成 是 由 许 多 结 点 受 链 杆 的 约 束 而 组 成 的 , 则 链 杆 系 的 自 由 度 数 W 可 表 示 为W = 2 j - ( b + r)或 W = 2 j - b - r式 中 j链 杆 系 中 的 结 点 数 ; b链 杆 系 中 的 链 杆 数 ; r体 系 与 基 础 相 连 的 支 承 链 杆 数 。(14 - 3 )应 用 公 式 (14 - 3) 时 , 必 须 注 意 结 点 j 的 计 算 , 即 凡 是 连 接 杆 端 或 连 接 杆 件 与 支 承 链 杆 的铰 都 应 算 作 结 点 。 但 支

33、 承 链 杆 与 基 础 相 连 的 铰 则 不 计 入 。当 体 系 不 与 基 础 相 连 时 , 则 体 系 内 部 自 由 度 为V = W - 3或 V = 2 j - b - 3例 14 - 4 计 算 图 14 - 9 所 示 体 系 的 自 由 度 。解 由 图 可 知 j = 9 , b = 15 , r = 3由 式 (14 - 3) , 可 得W = 2 j - b - r = 2 9 - 15 - 3 = 0即 体 系 自 由 度 为 0。应 用 式 (14 - 1) 式 ( 14 - 4) 计 算 自 由 度 时 , 可 能 遇 到 的 3种 情 况 可 总 结 成

34、以 下 定 性 结 论 :(1) W 0 或 V 0 , 表 明 体 系 存 在 自 由 度 , 体 系 肯 定 是 几 何 可 变 的 。(2) W = 0 或 V = 0 , 如 无 多 余 约 束 , 则 为 几 何 不 变 ; 如 有 多 余 约 束 , 则 为 几 何 可 变 。(3) W 0即 Rk k + Nk k 0 (4 )对 于 刚 体 的 其 它 任 一 质 点 , 或 有 加 速 度 或 静 止 。 若 有 加 速 度 , 则 有 式 ( 4 ) ; 若 静 止 , 则 式(4) 取 等 号 。 因 此 , 对 整 个 刚 体 有ni = 1因 为 所 受 约 束 力

35、为 理 想 约 束 , 故 有nFi i + Ni i 0 (5 )i = 1 275 n Fi i 0i = 1这 与 开 始 承 认 式 (15 - 2) 成 立 有 矛 盾 。 于 是 , 式 ( 15 - 2 ) 成 立 , 则 刚 体 处 于 平 衡 。 虚 功 原 理 在 具 体 应 用 时 有 两 种 形 式 : 一 种 是 对 给 定 的 主 动 力 系 ( 可 含 未 知 约 束 反 力 ) , 设有 一 个 虚 位 移 状 态 , 并 利 用 虚 功 原 理 建 立 平 衡 方 程 求 其 未 知 位 移 , 这 时 的 虚 功 原 理 可 称 为 虚位 移 原 理 ; 另

36、 一 种 是 对 给 定 的 位 移 设 有 一 个 虚 力 状 态 , 并 利 用 虚 功 原 理 建 立 平 衡 方 程 求 其 未知力 , 这 时 的 虚 功 原 理 又 可 称 为 虚 力 原 理 。 本 章 讨 论 结 构 位 移 计 算 的 依 据 就 是 以 虚 力 原 理 , 但 习 惯 上 仍 称 为 虚 功 原 理 。静 定 结 构 在 支 座 移 动 时 , 不 产 生 任 何 内 力 与 变 形 , 因 此 , 结 构 上 各 点 的 位 移 纯 属 刚 体 位 移 , 现 在 用 基 于 虚 功 原 理 的 单 位 荷 载 法 来 计 算 这 种 位 移 。 应 该

37、注 意 , 虚 设 单 位 荷 载 的 目 的 , 是 为 了 在 虚 功 方 程 中 包 含 拟 求 的 未 知 位 移 。 因 此 , 只 有 虚 设 的 单 位 荷 载 与 拟 求 的 位 移 相 对 应 , 才 能 达 到 上 述 目 的 。如 图 15 - 6 所 示 结 构 , 设 其 支 座 水 平 位 移 为 C1 , 竖 向 沉 降 为 C2 , 转 角 为 C3 。 此 时 , 若 拟 求 由 此 引 起 的 点 K 的 竖 向 位 移 , 则 应 在 点 K 加 上 单 位 竖 向 荷 载 ; 若 拟 求 点 K 所 在 截 面 的 转 角 , 则 应 在 K 处 加 上

38、 单 位 力 偶 矩 。 作 为 一 个 算 例 , 现 拟 求 点 K 的 竖 向 位 移 K 。 首 先 , 在 点 K 加 竖 向 单 位 荷 载 P = 1 , 如 图 15 - 6 (b ) 所 示 , 其 次 , 设 在 P = 1 作 用 下 , 支 座 的 水 平 反 力 、 竖 向 反 力 和 反 力 偶 分 别 为 R1 , R2 和 R3 ; 最 后 , 建 立 相 应 的 虚 功 方 程 。1 K + R1 C1 + R2 C2 + R3 C3 = 0 (1 )或 1 K + Ri Ci = 0 (2 )图 15 - 6上 式 中 只 含 一 个 未 知 量 K , 故

39、 可 求 出 K 。 将 式 (1) 和 (2) 归 纳 起 来 , 由 虚 功 方 程 求 解 静 定 结 构 由 于 支 座 移 动 所 引 起 位 移 的 一 般 公 式 为 = - Ri Ci (15 - 3 )当 为 正 值 时 , 表 明 位 移 的 实 际 方 向 与 所 设 单 位 荷 载 方 向 一 致 。例 15 - 1 图 15 - 7 ( a ) 所 示 静 定 刚 架 , 若 支 座 A 发 生 如 图 所 示 的 位 移 , a = 1 .0 cm, b = 1 .5 cm。 试 求 点 C 的 水 平 位 移 CH 、 竖 向 位 移 CV 。解 在 点 C 处

40、分 别 加 一 水 平 和 竖 向 的 单 位 力 , 求 出 其 支 座 反 力 , 如 图 15 - 7( b) , ( c ) 所 示 。 由 公 式 (15 - 3) 可 得 CH = - ( 1 1 .0 - 1 1 .5) = 0 .5 cm ( ) CV = - 1 .5 1 = - 1 .5 cm ( ) 276 图 15 - 7三 、 变 形 体 虚 功 原 理当 结 构 在 变 形 过 程 中 , 不 但 各 构 件 发 生 刚 体 运 动 , 而 且 构 件 内 部 材 料 同 时 也 产 生 变 形 , 则 称 这 种 结 构 为 变 形 结 构 。 对 于 变 形 结

41、 构 , 外 力 虚 功 和 不 等 于 零 。 对 于 变 形 杆 系 结 构 , 其 虚 功原 理 可 概 括 为W外 ( 外 力 虚 功 之 和 ) = W内 ( 内 力 虚 功 之 和 ) (15 - 4 )具 体 地 说 , 就 是 变 形 体 上 的 外 力 沿 位 移 所 作 的 虚 功 ( 即 外 虚 功 ) 等 于 变 形 体 的 内 力 沿 位 移 ( 即 虚 位 移 ) 所 作 的 虚 功 ( 即 内 虚 功 ) 。 这 里 , 作 功 的 外 力 和 内 力 统 称 为 力 系 , 它 们 必 需 满 足 平衡 条 件 ; 虚 位 移 ( 包 含 变 形 ) 必 需 满

42、 足 变 形 协 调 和 支 座 约 束 条 件 。 可 见 , 力 系 和 位 移 分 别 是 由平 衡 和 变 形 确 定 , 因 而 它 们 分 属 于 不 同 状 态 , 即 它 们 是 独 立 无 关 的 。在 式 (15 - 4) 的 虚 功 方 程 中 , 若 虚 功 中 力 系 是 实 际 的 , 而 位 移 是 虚 拟 的 , 这 时 , 虚 功 原 理 也称 为 虚 位 移 原 理 ; 反 之 , 若 虚 功 中 的 力 系 是 虚 拟 的 , 位 移 是 实 际 的 , 这 时 , 虚 功 原 理 也 称 为 虚 力 原 理 。不 过 , 习 惯 上 仍 统 称 上 述

43、原 理 为 虚 功 原 理 。 现 讨 论 如 何 应 用 虚 功 原 理 求 结 构 的 外 在 因 素 ( 荷 载 作 用 、 温 度 变 化 和 装 配 误 差 等 ) 作 用 下引 起 的 位 移 。单 位 荷 载 法 为 了 便 于 图 示 , 假 设 结 构 只 受 荷 载 和 支 座 移 动 作 用 , 如 图 15 - 8 ( a ) 所 示 , 并 拟 求 结 构 上 点 K 的 竖 向 位 移 K 。 图 15 - 8( a ) 中 的 受 力 状 态 和 变 形 状 态 为 实 际 状 态 。 为 了 建 立 虚 功 方 程 , 需 要 人 为 地 另 建 立 一 个 虚

44、 拟 的 力 系 : 首 先 , 在 点 K 上 作 用 一 个 竖 向 的 单 位 荷 载 PK = 1 , 它 与 K ( 实 际 状 态 中 的 位 移 ) 相 对 应 , 如 图 15 - 8 ( b) 所 示 ; 其 次 , 建 立 平 衡 方 程 求 出 由PK = 1 所 引 起 的 支 座 反 力 R1 , R2 和 R3 , 以 及 结 构 上 任 一 点 的 内 力 N , M , Q 等 。 这 里 以 及 后面 的 反 力 和 内 力 符 号 上 均 加 一 横 杠 , 是 表 示 它 们 为 虚 拟 状 态 中 的 量 值 。上 述 虚 拟 状 态 中 的 外 力 所

45、 作 的 虚 功 为W外 = PK K + R1 C1 + R2 C2 + R3 C3或 W外 = 1 K + Ri Ci (15 - 5 )以 下 计 算 虚 拟 状 态 中 的 内 力 所 作 的 虚 功 W内 : 首 先 在 图 15 - 8( a ) 所 示 实 际 状 态 结 构 中 截 取 一 微 段 d s , 且 变 形 为 d , d , d , 如 图 15 - 8 ( a ) 所 示 , 它 们 均 由 实 际 状 态 中 的 外 荷 载 所 引 起 ; 其次 , 在 图 15 - 8( b) 所 示 的 虚 拟 状 态 中 , 结 构 的 相 同 位 置 截 取 微 段

46、 d s, 且 该 微 段 两 端 面 所 受内 力 为 N , M , Q, 其 中 已 略 去 了 内 力 的 高 阶 微 量 。最 后 , 计 算 微 段 d s 上 的 虚 内 力 在 实 际 变 形 上 所 作 的 虚 功 , 即 277 dW内 = Nd + Md + Qd (1 )第 i 根 杆 件 上 虚 内 力 所 作 的 总 虚 功 为W内 = Nd + Md + Qd (2 )L L L整 个 结 构 上 虚 内 力 所 作 的 总 虚 功 等 于 各 杆 虚 内 力 所 作 总 虚 功 的 代 数 和 , 即W内 = W内 ( L) = Nd + Md + Qd (15

47、 - 6 )L L L图 15 - 8将 式 (15 - 5) 和 式 (15 - 6) 代 入 虚 功 方 程 式 (15 - 4) , 可 得1 K + Ri Ci = Nd + Md + Qd (15 - 7 )L L L 278 式 中 只 含 有 一 个 拟 求 的 未 知 量 K , 故 可 解 出 K 。式 (15 - 7) 也 可 写 为 K = Nd + Md + Qd - Ri Ci (15 - 8 )L L L上 式 为 计 算 结 构 位 移 的 一 般 性 公 式 。上 述 利 用 虚 功 原 理 , 沿 所 求 位 移 方 向 虚 设 单 位 荷 载 ( PK =

48、1 ) 求 结 构 位 移 的 方 法 , 称 为 单 位 荷 载 法 。 单 位 荷 载 法 不 仅 可 以 用 于 计 算 结 构 的 线 位 移 , 而 且 可 以 计 算 任 意 的 广 义 位 移 , 只 要 所 设 的 虚 单 位 力 与 所 计 算 的 广 义 位 移 相 对 应 即 可 ; 应 用 单 位 荷 载 法 , 每 次 只 可 以 计 算 一 种 位移 ; 在 设 虚 单 位 力 时 , 其 指 向 可 以 任 意 假 设 , 如 计 算 结 果 为 正 值 , 即 表 示 位 移 方 向 与 所 虚 设 的单 位 力 指 向 相 同 , 否 则 相 反 。四 、 静 定 结 构 由 于 温 度 改 变 所 引 起 的 位 移 计 算对 于 静 定 结 构 , 温 度 改 变 并 不 引 起 内 力 , 因 为 变 形 和 位 移 是 材 料 自 由 膨 胀 、 收 缩 的 结 果 。( 一 ) 温 度 变 化 引 起 的 变 形若 温 度 均 匀 改 变 , 结 构 的 各 杆 件 只 产 生 轴 向 变 形 , 且 为 = l t (15 - 9 )式 中 材 料 的 热 膨 胀 系 数 ; t 温 度 改 变 值 ;l 杆 件 长 度 。若 各 杆 件 的 温 度 非 均 匀 变 化 , 且 杆 截 面 温 度 不 是 常 量 , 则