1、直线倒立摆系统的 LQR 控制器设计及仿真摘 要倒立摆系统是非线形、强耦合、多变量和自然不稳定的系统。在控制过程中能反映控制理论中的许多关键问题，如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题以及跟踪问题等。不仅是验证现代控制理论方法的典型实验装置，而且其控制方法和思路对处理一般工业过程亦有广泛的用途，因此对倒立摆系统的研究具有重要的理论研究和实际应用价值。本文以固高公司直线倒立摆为研究对象，利用 Newton 法建立直线一级倒立摆的动力学模型。先对系统状态方程进行能控性和能观性分析，之后借助固高科技 Matlab 实时控制软件实验平台，设计 LQR控制器，并利用 LQR 控制方法对直线一级倒立摆系统进行
2、了 Simulink 在线实时仿真实验，并对实验结果分析，调节 LQR 参数，使之达到最佳稳定调节状态，通过在线对系统施加一定的扰动，系统均能在很短的时间里恢复平衡，取得了较好的实时控制效果。关键词： 直线倒立摆；建模；稳定性；LQR；仿真ABSTRACTInverted pendulum system is non-linear, strongly coupled, multivariable and naturally instable. In the control process this system can reflect some key problems of control
3、theory, such as stabilization problem, nonlinear problems, robustness, and tracking problem. Its a typically experimental facility which can verify the methods of modern control theory, moreover the control methods and thoughts play an important role in dealing with the general industrial process. S
4、o the studies of inverted pendulum system are theoretically and practically valued. Googol company linear inverted pendulum, Newtons method to create a straight line an inverted pendulum dynamic model using the Lagrange equation deduced straight line double inverted pendulum mathematical model of an
5、alytical mechanics methods. This thesis adopts Googol company linear inverted pendulum as the study object,. First controllability and observability analysis of system state equation should be analyzed, afterwards, with the Googol high-tech Matlab real-time control software experimental platform, LQ
6、R controller can be designed and LQR control method can conduct online real-time simulation experiment on straight line, double inverted pendulum Simulink, analyze results of experiment and adjust LQR parameters so as to achieve the best stability and regulation state. Some certain disturbance onlin
7、e imposed on the system enables it to restore the balance in a very short time, and achieve very good real-time control effects.Keywords： linear inverted pendulum; modeling；stability；LQR；Simulation目 录第一章 绪 论 11.1 倒立摆系统概述 11.2 倒立摆系统发展及研究现状 41.3 本文的主要研究内容与章节安排 7第二章 直线倒立摆系统数学模型建立 92.1 直线一级倒立摆系统数学模型 92.
8、2 直线一级倒立摆系统能控性与能观性分析 .152.3 本章小结 .17第三章 直线倒立摆系统 LQR 控制器设计与仿真 183.1 线性二次最优控制 LQR 基本原理及分析 183.2 直线一级倒立摆系统 LQR 控制器设计与仿真 193.3 本章小结 23第四章 直线倒立摆的实物稳定控制 344.1 直线一级倒立摆 LQR 实物稳定控制 244.2 本章小结 29结论与展望 30附 录 31参考文献 34致 谢 341第一章 绪 论 1.1 倒立摆系统概述倒立摆控制系统是一个复杂的、高阶次、多变量、不稳定的、非线性并强耦合系统。特点是重心在上、支点在下，正是这个特点使倒立摆是控制理论、机器
9、人技术、计算机控制等多种技术、多个领域的有机结合，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。1.1.1 倒立摆分类倒立摆系统开始为单级直线形式，即仅有的一级摆杆其一端自由，另一端则连接在可以在直线导轨上自由滑动的小车上。在此基础上，人们又进行了拓展，产生了多种类型的倒立摆。典型的有直线倒立摆，平面倒立摆，环形倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，正由于在相同的运动模块上可以配置不同的倒立摆，所以倒立摆的种类丰富许多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：(1) 直线倒立摆系列直线倒立摆是在直线运动模块上有摆体组件，直线运动模块具有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小
10、车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。直线倒立摆系列产品如图 1-1 所示。(2) 环形倒立摆系列环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件，圆周运动模块有一个自由度，可以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和串连或并联的方式，可以组成很多形式的倒立摆。如图 1-2 所示。(3) 平面倒立摆系列平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件，平面运动模块主要有两类：一类是 XY 运动平台，另一类是两自由度
11、 SCARA 机械臂；摆体组件也有一级、二级、三级和四级很多种。如图 1-4 所示(4) 复合倒立摆系列复合倒立摆为一类新型倒立摆如图 1-3 所示，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三种模式，一种是（2）中所述的环形倒立摆，2还可以把本体翻转 90 度，连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆。按倒立摆的级数来分：有一级倒立摆、两级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆，一级倒立摆常用于控制理论的基础实验，多级倒立摆常用于控制算法的研究，倒立摆的级数越高，其控制难度更大，目前，可以实现的倒立摆控制最高为四级倒立摆。图 1-1 直线倒立摆系列图 1-2 环形倒立摆系列3
12、图 1-3 复合倒立摆系列图 1-4 平面倒立摆系列1.1.2 倒立摆特性倒立摆的形式和结构尽管不同，但却都具有相同的特性。(1) 非线性倒立摆虽是一个典型的非线性复杂系统。但实际可以通过线性化得到系统的近似模型，对线性化之后的系统进行控制，也可以不采用线性化处理，利用非线性控制理论直接对其进行控制，由此倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。(2) 不确定性造成不确定性的因素主要是指模型误差、机械传动间隙和各种阻力等。实际控制中必修通过减少各种误差来解决问题，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，或利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素。(3) 强耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及摆杆和运
13、动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都得先在平衡点附近进行解耦计算，次要的耦合量就可以忽略。(4) 开环不稳定性倒立摆的稳定状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。(5) 约束限制倒立摆系统的约束限制主要是机构限制，如电机力矩限制、运动模块行程4限制等。为降低成本和制造方便，倒立摆的结构尺寸及电机功率都尽量要求最小，在这些限制中，其中行程限制对于倒立摆的摆起尤为突出，容易出现小车的撞边现象。倒立摆的以上特性增加了倒立摆的控制难度，也正是由于倒立摆的这些特性，使其更具研究价值和意义。1.1.3 倒立摆控制目标倒立摆的
14、控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。直线倒立摆控制的目的是：小车和摆杆组成的直线倒立摆系统在受到干扰后，小车处于轨道的中心位置，摆杆将保持垂直位置不倒。旋转倒立摆控制的目的是系统受到干扰后，摆杆在垂直位置倒立不倒。平面倒立摆控制目的是系统受到干扰后，在 XY 平台上摆杆能够竖立稳定而不倒，达到动态平衡状态。1.1.4 倒立摆控制方法倒立摆系统的输入为小车的位移(即位置)和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法
15、得到控制量，再经数模转换驱动电机实现倒立摆的实时控制。电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力平行于轨道的方向作用于小车，使小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平导轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置(竖直向下)。为了使摆杆摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。因此，倒立摆系统的控制原理可简述如下：用一种强有力的控制方法对小车的速度作适当的控制，从而使摆杆倒置稳定于小车正上方。由于本次实验装置不能自动摆起，需要人工来摆起，于是倒立摆刚开始工作时，需要人工扶持
16、倒一定角度之后倒立摆能够通过电机的调整达到动态平衡。这种被控量既有角度，又有位置，且它们之间又有关联，具有非线性、时变、多变量耦合的性质。1.2 倒立摆系统发展及研究现状倒立摆系统是多种技术、多个学科领域的结合产物，比如很多控制理论在倒立摆系统实验中得到完美的体现；在倒立摆的控制过程中，计算机控制技术5发挥着不可磨灭作用；另外随着技术的发展，已将倒立摆系统控制的原理成功的应用于机器人技术的研究中。倒立摆系统本身不稳定、多变量、强耦合、非线性等特点使得被学术界看做是一个典型的控制装置进行研究。在二十世纪五十年代，美国麻省理工学院的控制理论专家就开始了对倒立摆系统的研究、设计了一级倒立摆实验装置，
17、该装置的原理与火箭助推器原理相一致。之后，人们对倒立摆进行了进一步的研究，在最初的一级直线倒立摆的基础上扩展出很多种类的倒立摆设备从类型上分有直线型倒立摆系列、环形倒立摆系列、平面倒立摆系列和复合型倒立摆系列。随着科学技术的发展，控制理论也得到了进一步的发展，20 世纪中后期出现了很多新的控制方法。在近几年的研究中，学者都尝试着用倒立摆系统作为实验装置去检验新的控制方法的各种性能和控制能力，从而试图选出最好的控制方法。1.2.1 倒立摆系统稳定研究对倒立摆系统稳定的研究主要是指设计一个控制器，对倒立摆加上人为的控制使得倒立摆的摆杆能够稳定在竖直位置或者某一特定的角度范围内。从对倒立摆的研究情况
18、来看，大部分的研究都是基于倒立摆的稳定控制。对于倒立摆稳定控制的研究可以追溯到 20 世纪 60 年代，利用现代控制理论中的 Bang-Bang 控制理论， 1966 年 Schaefer 和 Cannon 实现了一曲轴稳定于倒立位置。1970 年 A.F.Bryson 等实现了对一级倒立摆的稳定控制。1976 年Mori 等首次提出将倒立摆系统在平衡点附近线性化，得到倒立摆系统近似的线性状态方程，利用状态空间法建立了控制倒立摆系统的 PID 控制器。在 1980 年， Furuta.等人在前人的研究基础上，在系统平衡点附近建立了二级倒立摆的数学模型，成功的完成了对二级倒立摆的稳定控制。198
19、4 年，对倒立摆系统的研究取得了突破性的成果。Furuta 等学者研究用双电机对倒立摆进行控制，最终成功的完成了对三级倒立摆系统的实物控制。与此同时，Wattes 根据线性二次型最优控制理论 LQR(Linear Quadratic Regulator)的特点设计出一个最优状态反馈控制器，并将其用于对倒立摆系统的控制。八十年代后期，随着科学技术的不断发展，自动控制理论技术和计算机技术也得到了迅速的发展，人们提出了多种控制方法来解决倒立摆系统中的非线性特征。具有代表性的研究成果主要有：Fuurta 等人在 1992 年对倒立摆系统的不确定性进行了研究，并提出了变结构控制理论；Fradkov 等人
20、在 1975 年提出了一种无电机控制的方法实现对倒立摆系统的控制。此外，Wiklund 等人用现代控制理论中的李亚普诺夫原理对环形一级倒立摆进行了控制，并取得了良好的效果。Yamakita 等人。在 Wiklund 的研究基础之上，借助环形一级倒立摆稳定控制的经验，对环形二级倒立摆成进行了研究，实现了对其稳定控制。6随着科学技术的日益发展和进步，被控对象也越来越复杂，因而对控制性能有了更高的要求，在高科技迅猛发展的今天，传统的控制理论表现出越来越多的局限性，其发展将面临更多新的挑战。为了适应控制系统的要求，智能控制理论得到快速发展，用智能控制理论方法控制倒立摆系统的研究受到越来越多学者的重视。
21、智能控制理论有很多分支，包括神经网络、拟人智能控制、模糊控制、遗传算法和专家系统等。这些智能控制现已越来越广泛的被人们应用于倒立摆这样复杂系统的控制。用智能控制理论控制倒立摆的优点是不需要精确的倒立摆模型，克服了倒立摆系统不确定性。1997 年，T.H.Hung 等利用模糊 PID 控制器控制一级倒立摆。1995 年，Li 基于一级倒立摆系统有 2 个变量需要进行控制，设想了用两个并行的模糊滑模来分别对小车和摆杆偏角进行控制，并取得良好的效果。Deris 在传统 PID 控制的基础上，利用神经网络的自主学习能力来整定 PID 控制器参数。用一种全新的概念进行信息处理，克服了 PID 参数整定的
22、盲目性。1997 年，Gordlio 以倒立摆为实验对象，对最优控制 LQR 方法和基于遗传算法的控制控制结果进行了对比分析，得出对于级数较低的倒立摆系统而言，传统控制方法比遗传算法控制效果好。可以看出对于较简单的被控系统，传统控制理论具有一定的优越性。1993 年，Bouslama 利用神经网络的自主学习能力，用简单的神经网络来学习模糊控制器的输入输出数据，实现了对倒立摆系统的控制。从总体来看，国外对倒立摆系统的研究比国内的多很多。虽然，国外对倒立摆系统稳定性的研究已取得了一系列的成功，但在国内，对倒立摆系统的研究也取得了很大的突破。1996 年清华大学张乃尧等利用双闭环模糊控制方案成功的实
23、现了对一级倒立摆的稳定控制，解决了模糊控制规则爆炸问题，对其他串级控制具有很大的参考价值。1994 年，张明廉教授在前人研究成果的基础之上，结合智能控制与传统控制的优点，提出了一种新的控制理论，即“拟人智能控制理论”，借助倒立摆系统装置，采用单电机驱动的控制方式，对三级倒立摆系统进行了实验，成功的完成了三级倒立摆的实物控制。这一实践的成功，完美的解决了三级倒立摆这一控制界的难题，将倒立摆的控制推向了一个崭新的阶段。李洪兴教授根据倒立摆系统的特点，将变论域自适应控制和模糊控制相结合，提出了另一种新的理论，即“变论域自适应模糊控制理论”。将这一理论应用于三级倒立摆系统中，成功的实现了对三级倒立摆实
24、物系统的稳定控制，具有很好的稳定效果和一定的抗干扰能力。之后，李洪兴教授领导的实验室对四级倒立摆系统进行了研究，再次利用“变论域自适应模糊控制理论”成功的实现了其实物的稳定控制。该实验的成功在控制理论领域具有重大意义，刷新了倒立摆系统发展的历史，填补了世界在控制理论领域内的空白，为控制理论的发展提出了新的发展方向。71.2.2 倒立摆系统自动起摆从上文的叙述来看，目前关于倒立摆的研究成果大部分主要是来自于稳定控制的研究，相对来说对于倒立摆起摆问题研究的要少一些。在静止状态下，由于重力的作用，倒立摆处于竖直向下的状态。倒立摆的起摆问题指的是将摆杆从竖直向下的状态变为竖直向上的状态的过程。对于倒立
25、摆起摆问题的研究最早是在 1976 年，Mori 等人使用了两个控制器的控制系统实现对倒立摆控制。其中一个控制器用来实现倒立摆的自动起摆的功能，另一个用来控制倒立摆的稳定。1996 年，Torres-Pomales 利用滑膜控制结构，设计了一个简单的滑膜控制器来实现倒立摆的起摆。一般来说，对于倒立摆起摆问题的控制方法有很多种，主要包括能量控制、拟人控制等。1.3 本文的主要研究内容与章节安排1.3.1 主要研究内容本文以固高公司直线倒立摆为研究对象，利用 Newton 法建立直线一级倒立摆的动力学模型。先对系统状态方程进行能控性和能观性分析，之后借助固高科技 Matlab 实时控制软件实验平台
26、，设计 LQR 控制器，并利用 LQR 控制方法对直线一级倒立摆系统进行了 Simulink 在线实时仿真实验，并对实验结果分析，调节 LQR 参数，使之达到最佳稳定调节状态，通过在线对系统施加一定的扰动，系统均能在很短的时间里恢复平衡，取得了较好的实时控制效果。1.3.2 本文章节安排本文围绕直线一级倒立摆的动力学建模、控制算法设计、仿真和实验等一系列工作展开。具体如下：第一章为绪论，简单介绍倒立摆的分类、特性、控制目标等以及倒立摆系统发展及研究现状。第二章应用 Newton 法建立直线一级倒立摆系统的动力学模型，推导该系统的运动方程，求出直线一级倒立摆系统传递函数模型及空间状态方程模型，并
27、进一步对系统的稳定性、能控性及能观性进行分析，得出直线一级倒立摆系统是线性不稳定、完全能控、完全能观系统结论。第三章简单介绍线性二次型最优控制 LQR 控制原理，设计 LQR 控制器。借助固高 Matlab 实时控制软件，得出直线一级倒立摆 LQR 控制 Simulink 仿真图，通过改变 Simulink 的 LQR 模块及状态空间模块中的参数，观察仿真，选取合适的控制参数从而得到最好的控制效果。8第四章本章是介绍利用固高教学产品 Matlab/Simulink 实时控制软件以及固高科技有限公司生产的直线一级倒立摆 GLIP-2001 来验证第三章设计的 LQR 控制器是否成功，借助该软件利
28、用计算机实现直线一级倒立摆的实物系统的控制，给出实物系统稳定时和受干扰时各状态变量的响应曲线，以表明设计的控制器对实物系统的控制是否有效。第五章为总结与展望，对论文所做的工作进行总结，指出进一步工作的重点和方向。9第二章 直线倒立摆系统数学模型建立系统建模可以分为两种：实验建模和机理建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入输出关系。这里面包括输出信号的精确检测、输入信号的设计选取、数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部
29、的输入状态关系。对于倒立摆系统，由于是不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。本章将应用 Newton 法建立直线一级倒立摆的动力学模型，利用分析力学方法中的 Lagrange 方程推导直线二级倒立摆的数学模型。2.1 直线一级倒立摆系统数学模型2.1.1 直线一级倒立摆系统状态方程推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图 2-1 所示。我们不妨做如下表 2-1 假设：表 2-1 直线一级倒立摆相关假设量字母 代表的对象M
30、小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车的位置10XF摆杆 l图 2-1 直线一级倒立摆模型摆杆与垂直向上方向的夹角摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图 2-2 是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图 2-2 示方向。FPNFxxbP mg N图 2-2 矢量正方向根据小车水平方向受的合力，可以列出以下方程：（2-1）N-xbFM根据摆杆水平方向的受力情况可以得到下面的等
31、式：11（2-2）)sin(2lxdtmN即：（2-3）sicos2llx把式（2-3 ）代入式（2-1 ）中，就得到系统的第一个运动方程：（2-4）FmllbmMin)( 2为了推导系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直向上的合力进行分析，可以得到下面方程：（2-5）)cos(2ldtgP（2-6）in2mll力矩平衡方程如下：（2-7）INlPlcossi注意：此方程中力矩的方向，由于故等式前面有负号。,ini,cos,合并这两个方程，约去 P 和 N，得到第二个运动方程：（2-8）cossi)(2xmlglmlI 设 （是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设 与 1（单位是 弧度）相比很小
32、，即 1，即可以进行近似处理：。0)(,sin,1co2dt用 u 来代表被控对象的输入力 F，线性化后两个运动方程如下：（2-9）umlxbMglI)(2对式（2-9）进行拉普拉斯变换，得到（2-10）)()()()( 22 sUlsbXsmgllI注意：推导传递函数时假设初始条件为 0.由于输出为角度 ，求解方程组的第一个方程，可以得到：12（2-11）)()()2sgmlIsX或 （2-12）glslIs2)()如果令 ，则有：xv（2-13）mgllISV-s)()2把式（2-13 ）代入式（2-10）的第二个方程，得到：（2-14）)()()()()()()( 2222 sUlslI
33、bsgmlIM 整理后得到传递函数：（2-15）sqbmglsqlMsqlIbsmlU23242)()()(其中 )()(22llImMq设系统状态空间方程为：（2-16）DCXyBuA方程组对 解代数方程，得到解如下：,x（2-17） uMmlIMmlIglxMmlIb lIlIlI 222 2222 )()()( )()()( 整理后得到系统状态方程：13uMmlIlIxMmlIglmlMIbllIx 2222222 )(00)()(0 1)(1 （2-18）uxxy010由（2-9 ）的第一个方程为： xmlglI2)(对于质量均匀分布的摆杆有： 31于是可以得到： xlglm)(2化简
34、得到：（2-19）l43设 则有：xuxX,（2-20）uxxyulxlg01043014301另外，也可以利用 Matlab 中 tf2ss 命令对（2-13）式进行转化，求的上诉状态方程。142.1.2 系统物理参数实际系统的模型参数如下表 2-2 所示：表 2-2 直线一级倒立摆模型相关参数字母 代表的对象 实际数据M 小车质量 1.096Kgm 摆杆质量 0.109Kgb 小车摩擦系数 0.1N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mI 摆杆惯量 0.0034kg*m*m2.1.3 实际系统模型把表 2-2 中的参数代入，可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函
35、数：（2-24）26705.01.)(ssX摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：（2-25）26705.01)(ssV摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：（2-26）30942.16.27083.)(3 sssU以外界作用力作为输入的系统状态方程：（2-27）uxxyuxx 010356.20817.825.72356. 10093.81.以小车加速度作为输入的系统状态方程：15（2-28）uxxyuxx0103014.29012.2 直线一级倒立摆系统能控性与能观性分析能控性与能观性是现代控制理论中两个重要的基本概念，它是卡尔曼在1960 年首先提出来的。在现代控制理论中，分析和设计一
36、个控制系统时，必修研究这个系统的能空性和能观性。状态方程描述了输入 u（t）引起状态 x（t）的变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的输出 y（t）的变化。能空性和能观性正是分别分析 u（t ）对状态 x（t）的控制能力以及 y（t）对状态 x（t）的反应能力。显然，这两个概念是与状态空间表达式对系统分段内部描述相对应的。设线性时变系统的状态方程为 )()()(tuBtxAt式中，x（t）n 维状态向量u（t）r 维输入向量A（t）n*n 系统矩阵B（t） n*r 输入矩阵（1）状态的能控性是指系统的输入能否控制状态的变化。若存在输入信号 u（t），能在有限时间 内，将系统从任意非零初始0
37、tf状态 转移到终端状态 ，那么，称该系统的状态在时刻是完全能控)(0tx0)(fx的，或简称系统是能控的。否则，系统就是不完全能控的，或简称不能控。若系统在任意一个初始时刻是能控的，则称系统是一致完全能控的。对于此倒立摆经过上面的数学建模已经得到： DuCXyBA系统状态完全能控的条件为：当且仅当向量组 是线性无关BAn1,.16的，或 n*n 维矩阵 的秩为 n。:.:1BAn系统的输出可控性的条件为：当且仅当 的:1:.:2DBCAABCn秩等于输出向量 y 的维数。（2）状态的能观性是指系统状态的变化能否由系统的输出反应出来。如果对初始时刻 的任意初始状态 ，在有限观测时间 ，能够根0
38、t )(0tx0tf据输出 y（t）在 内的测量值，唯一的确定系统在 时刻的初始状态 ，,f 0t )(0tx则称此系统的状态时完全能观测的，或简称系统是能观测的。对于此倒立摆经过上面的数学建模已经得到： DuCXyBA系统状态完全能观的条件为：当且仅当 n*m 维矩阵的 的秩;.1nCA等于 n。应用以上原理对系统进行能控性、能观性分析，（2-29）0130104.2910DCBA代入上式，并在 Matlab 中计算：cona=B A*B A2*B A3*B;cona2=C*B C*A*B C*A2*B C*A3*B;rank(cona)rank(cona2)或可以利用计算能控性矩阵的 ct
39、rb 命令和计算能观性的矩阵 obsv 命令来计算。Uc=ctrb(A,B);17Vo=obsv(A,C);rank(Uc)rank(Vo)可以得到：ans =4ans =2可以看出，系统的状态能控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完全能控性矩阵的秩等于系统输出向量 y 的维数，所以系统能控。并且系统的能观性矩阵的秩等于系统的状态变量的行数，故系统能观。因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。2.3 本章小结本章主要介绍了应用 Newton 法建立直线一级倒立摆系统的动力学模型，推导该系统的运动方程，求出直线一级倒立摆系统传递函数模型及空间状态方程模型，并进一步对系统的稳定性、能
40、控性及能观性进行分析，得出直线一级倒立摆系统是线性不稳定、完全能控、完全能观系统结论。利用 Matlab 求出系统的状态空间方程的参数矩阵，并进一步对系统的稳定性、能控性和能观性进行分析。18第三章 直线倒立摆系统 LQR 控制器设计与仿真 3.1 线性二次最优控制 LQR 基本原理及分析线性二次控制的 LQR 基本原理为，由系统方程：（3-1）BuAX确定下列最佳控制向量的矩阵 K;（3-2）)(*)(txKt使得性能指标达到最小值：（3-3）dtRuQXJ0*)(式中 Q-正定（或正半定）厄米特或实对称阵R-为正定厄米特或实对称阵 BuAXKXu图 3-1 最优控制 LQR 控制原理图方程
41、右端第二项是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵 Q 和 R 确定了误差和能量损耗的相对重要性。并且假设控制向量 u(t)是无约束的。对线性系统：（3-4）CXYBuA根据期望性能指标选取 Q 和 R，利用 Matlab 命令 lqr 就可以得到反馈矩阵K 的值。（3-5）),(BAlqrK改变矩阵 Q 的值，可以得到不同的响应效果，Q 的值越大(在一定范围之内)，系统抵抗干扰的能力越强，调整时间越短。但是 Q 不能过大。193.2 直线一级倒立摆系统 LQR 控制器设计与仿真在第二章我们已经得到了直线一级倒立摆系统的比较精确的动力学模型，下面将对直线型一级倒立摆系统应用 LQR 法设计与调节控
42、制器，控制摆杆保持竖直向上平衡的同时，跟踪小车的位置。前面已经得到了直线一级倒立摆系统的系统状态方程（2-28）： uxxyuxx0103014.2901应用线性反馈控制器，小车的输入信号是阶跃信号，四个状态量 分,x别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出 包括小车,y位置和摆杆角度。设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。假设全状态反馈可以实现（四个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量 K 。在 Matlab 中得到最优控制器对应的 K。lqr 函数允许你选择两个参数R 和 Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量
43、的权重。最简单的情况是假设 。当然，也可以通过改变 Q 矩阵中的非零元素来调节控制C*,1器来得到期望的响应。（3-6）01*Q其中， 代表小车位置的权重，而 是摆杆的权重，输入的权重 R 是1, 3,1。下面来求矩阵 K，Matlab 语句为 K=lqr（A,B,Q,R ）。在 Matlab 中编程计算 :令 求得 K=-1 -1.7855 25.422 4.68491,31,Q得到仿真结果如下：20图 3-2 当 仿真结果图1,31,Q从图中可以看出，小车的位置、小车的加速度和摆杆角度、摆杆角速度达不到稳定状态，所以需调整 Q 的参数，令 求得20,31,K=-31.623 -20.151
44、 72.718 13.155可得仿真图：图 3-3 仿真结果图20,13, Q从仿真图上可以看出，小车的位置、小车的速度、摆杆的角度、摆杆的角速度可以在 2s 左右同时达到稳定状态，可以看出达到了稳定效果。在 Simulink 中建立直线一级倒立摆的模型如下图所示：21图 3-4 Simulink 中直线一级倒立摆的模型“LQR Controller”为一封装好的模块，单击鼠标右键，选择“Look under mask”打开其结构如下：图 3-5 LQR Controller 内部结构双击“Matrix gain K”即可输入控制参数：22图 3-6 LQR 参数设置框其中双击 Linear1
45、Stage 模块可以将前面已经建立起来的系统状态方程输入进去，如下图所示：图 3-7 直线一级倒立摆系统状态方程输入框在全部数据输入完毕后，再点击 执行仿真，得到如下仿真结果：图 3-8 当 Simulink 仿真结果图1,31,Q23LQR 控制的阶跃响应如上图所示， 其中黄色曲线为小车的位置曲线， 紫色为小车的速度曲线，红色为摆杆角度曲线，青绿色为摆杆角速度曲线，从图中可以看出，闭环控制系统响应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，我们可以通过增大控制量来缩短稳定时间和上升时间。 可以发现，Q 矩阵中，增加 使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的1,Q角度变化减小。这里取 =1000，
46、=200,1, 3,则 K=-31.623 -20.151 72.718 13.155 输入参数，运行得到响应曲线如下：图 3-9 当 Simulink 仿真结果图20,13, Q从 Simulink 图上可以看出，小车的位置、小车的速度、摆杆的角度、摆杆的角速度可以在 2s 左右同时达到稳定状态，可以看出达到了稳定效果。从图中可以看出，系统响应时间有明显的改善，增大 和 ，系统的响1,Q3,应还会更快，但是对于实际离散控制系统，过大的控制量会引起系统振荡。3.3 本章小结本章主要是简单介绍线性二次型最优控制 LQR 控制原理，设计 LQR 控制器。借助固高 Matlab 实时控制软件，得出直
47、线一级、倒立摆 LQR 控制 Simulink 仿真图，通过改变 Simulink 的 LQR 模块及状态空间模块中的参数，观察仿真，选取合适的控制参数从而得到最好的控制效果。并对实验结果做出了分析。24第四章 直线倒立摆的实物稳定控制4.1 直线一级倒立摆 LQR 实物稳定控制本次倒立摆实时控制是基于固高倒立摆 Matlab Simulink 实时控制系统上进行的。下面是建立的直线一级倒立摆 LQR 实时控制模块，图 4-1 一级倒立摆实物控制程序块其中“LQR Controller”为 LQR 控制器模块， “Real Control”为实时控制模块，可以将 “Real Control”模
48、块打开 LQR 控制器参数设置窗口，将第三章仿真的结果填入下表，进行实物控制图 4-2 一级倒立摆 LQR 控制参数设置框25经过实物检验后发现，这一组数据不能顺利控制住一级倒立摆，估计倒立摆滑轨摩擦因素导致的，经过调试得到下面的一组数据可以很好的控制一级倒立摆装置。图 4-3 一级倒立摆 LQR 控制参数设置框在“LQR Controller”模块上点击鼠标右键选择“Look under mask”打开模型如下：图 4-4 LQR 控制器内部结构将“Real Control”模块打开实时控制模块如下图：26图 4-5 实时控制模块内部结构其中“Pendulum”模块为倒立摆系统输入输出模块，输入为小车的速度“Vel”和“ Acc”，输出为小车的位置“Pos ”和摆杆的角度“Angle” 。将“Pendulum”模块打开其内部结构：图 4-6 “Pendulum”模块内部结构其中“Set Carts Acc and
