1、0一级倒立摆的极点配置及仿真摘要倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统，是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例，一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的。本文主要研究的是一级倒立摆，首先应用动力学方程建立一级倒立摆的非线性数学模型，采用小偏差线性化的方法在平衡点附近局部线性化得到线性化的数学模型。然后通过输入单位阶跃信号分析系统的开环稳定性，由线性化得到的状态方程判断系统的能控性和能观性，结合系统的稳定性条件、调整时间以及超调量找到合适的极点，运用极点的配置方法（Matlab的acker函数）算出状态反馈增益矩阵K
2、，运用状态空间分析方法，采用状态反馈为倒立摆系统建立稳定的控制律，并判断加入反馈矩阵K后的能观性和能控性是否改变。最后应用Matlab 中的Simulink建立相应框图，得到输出变量水平位置和角度随时间的变化曲线，验证加入反馈矩阵K 后一级倒立摆系统的稳定性。关键词：一级倒立摆 状态反馈极点配置 Matlab Simulink1目录1、一级倒立摆系统简介 .32、一级倒立摆系统的数学模型 42.1、数学模型的建立 .42.2、运动分析 52.2.1、沿水平方向运动（直线运动） 52.2.2、绕轴线的转动（旋转运动） .63、状态空间极点配置 93.1、系统开环稳定性分析 .93.2、开环系统的
3、能控性分析 103.3、开环系统的能观性分析 113.4、系统极点配置 133.5、闭环系统的能控性和能观性分析 164、一级倒立摆系统 Matlab 仿真 .174.1、系统开环 Simulink 搭建及仿真 174.2、系统极点配置后的 Simulink 仿真 .195、 总结 236、 参考文献 2421、一级倒立摆系统简介倒立摆系统是一种很常见的又和人们的生活密切相关的系统，它深刻揭示了自然界一种基本规律，即自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。倒立摆系统是一个非线性，强耦合，多变量和自然不稳定的系统。它是由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆杆组成的。在导轨
4、一端装有用来测量小车位移的电位计，摆体与小车之间由轴承连接，并在连接处安置电位器用来测量摆的角度。小车可沿一笔直的有界轨道向左或向右运动，同时摆可在垂直平面内自由运动。直流电机通过传送带拖动小车的运动，从而使倒立摆稳定竖立在垂直位置。图 1一级倒立摆装置简图由图1中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆体组成。导轨的一端固定有位置传感器，通过与之共轴的轮盘转动可以测量出沿导轨由图中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆运动的小车位移；小车通过轴承连接摆体，并在小车与摆体的连接处固定有共轴角度3传感器，用以测量摆体的角度信号；并通过微分电路得到
5、相应的速度和角速度信号；导轨的另一端固定有直流永磁力矩电机，直流电机通过传送带驱动小车沿导轨运动，在小车沿导轨左右运动的过程中将力传送到摆杆以实现整个系统的平衡。倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行式倒立摆、和球平衡式倒立摆；倒立摆的级数可以是一级，二级，乃至更多级。控制方法也是多种，可以通过模糊控制，智能控制，PID控制，LQR控制等来实现倒立摆的动态平衡，本文介绍的是状态反馈极点配置方法来实现一级倒立摆的控制。2、一级倒立摆系统的数学模型2.1、数学模型的建立一级倒立摆系统示意图如下图所示，系统由小车、小球和轻质杆组成。倒摆通过转动关节安装驱动小车上，杆子的一端固定在小车上，另一端可以自
6、由地左右倒下。通过对小车施加一定的外部驱动力，使倒摆保持一定的姿势。4图 2 一级倒立摆系统示意图一级倒立摆系统所用到的各变量的取值及其意义如下表 1 所示：表 1 各变量的取值及其意义变量符号 变量意义 变量取值M 小车质量 2.0kgm小球的质量 0.1kgl 倒摆的杆长 0.5mg重力加速度 9.81m/s2(t) 倒摆偏离垂直方向的角 度 角度 随时间变化u(t) 小车受到的水平方向 的驱动力 驱动力 u 随时间变化2.2、运动分析假设轨道是光滑的，忽略摆杆的质量，系统所受的外力包括小球受到的重力和小车水平方向的驱动力 u。 x(t)和 (t)分别表示小车的水平坐标和倒摆偏离垂直方向的
7、角度。由此分析可知一级倒立摆有两个运动自由度：一个是沿水平方向运动（直线运动）；另一个是绕轴线的转动（旋转运动）。2.2.1、沿水平方向运动（直线运动）通过受力分析，由牛顿第二运动定律，系统的运动满足下面的方程：XYFyFxGx水平方向受到的合外力竖直方向受到的合外力5图 3 倒立摆系统水平方向受力分析图X 轴方向：uxdtmxtMG22小球的重心坐标满足：cosinlyxG将小球的重心坐标代入式得：ulxdtmxtM)sin(22联立式得： ullx.2 )(cos)(sin)( 2.2.2、绕轴线的转动（旋转运动）),(GyxXYFyFxGxL6图 4 倒立摆系统转动受力分析图小球的力矩平
8、衡方程： lmglFlyx )sin()sin()cos( 式中 xF、 y分别为： 22 2.2 )(sin)(cos )(co)(in llmydtFllxtdGyx将式代入式整理得： sincos mglx最后得到倒立摆系统的动力学方程为： 2. sincos )(cos)(i)( mglxmullM显然该系统为明显的非线性系统。但是对小车施加驱动力的目的是要保持小球在垂直方向的姿态，因此，我们关注的是小球在垂直方向附近的动态行为变化，为此将系统在该参考位置（ 0）附近进行线性化处理。2.3、模型转化(微分方程状态方程) 7由倒摆系统的动力学模型式，取如下状态变量：1Z 12Zx3 .3
9、.4Zx可得到倒摆系统的状态方程： 12121412 2112 cosin)(sin)(cos)sincoin)(coszmMgzluz ll zzguzxdtzt2.4、状态方程的线性化采用 Jacobian 矩阵线性化模型，最终得到系统的线性化状态方程为： uMlzMmgldtz 100)(10假定系统的输出为倒摆的角度和小车的 x 轴坐标，则系统的输出方程为：010xCZxy 83、状态空间极点配置3.1、系统开环稳定性分析由状态方程的标准形式： XABuYCD结合表 1 中各变量的值可得：04905.161.200A5.01B1C0D上面已经得到系统的状态方程式，对其进行阶跃响应分析，
10、在MATLAB 指令区中键入以下命令：A=0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0 ;B=0 ;-1; 0;0.5 ;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0;9step(A,B,C,D);图 5 系统稳定性仿真图可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置(x)和摆杆角度()都是发散的。即系统是不稳定的。3.2、开环系统的能控性分析采用状态反馈对系统进行任意配置极点的充要条件是系统完全能控，因此本小节对所建立的系统状态方程运用 Matlab 进行能控性的分析。系统的能控性是指系统的输入能否控制状态的变化。对于 n 阶线性定常系统： )()()(.
11、 tDutCxtyBAx10能控性矩阵为 BABUnc 12.当 rankUc=n 时，系统状态完全能控，否则系统不能控。在 Matlab中，可利用 ctrb()函数直接求出能控性矩阵，从而确定系统的状态能控性，它的调用格式为：Uc=ctrb(A,B)。在 MATLAB 指令区中键入以下命令：A=0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0 ;B=0 ;-1; 0;0.5 ;Uc=ctrb(A,B);n=4;if(n=rank(Uc)disp(系统能控 )End其结果为：系统能控。可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完
12、全可控性矩阵的秩等于系统输出向量 y 的维数，所以系统可控，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。3.3、开环系统的能观性分析控制系统大多数采用反馈控制形式。在现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态组合而成。但并非所有的系统的状态变量在物理上能侧取到，于是提出能否通过对输出的测量获得全部状态变量的信息，这便是系统的观测问题。对于 n 阶线性定常系统：11)()()(. tDutCxtyBAx能观测性矩阵为： 1ncCAV当 rankVc=n 时，系统的状态完全能观测，否则系统状态不能观测。在 Matlab 中，可利用 obsv()函数直接求出能观性矩阵，从而确定系统的状态能观测性，它的
13、调用格式为：Vc=obsv(A,C)。在 MATLAB 指令区中键入以下命令：A=0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0 ;C=1 0 0 0;0 0 1 0;Vc=obsv(A,C);n=4;if(n=rank(Vc)disp(系统能观 )End其结果为：系统能观。系统的状态完全能观性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完全能控性矩阵的秩等于系统输出向量 y 的维数，所以系统能观。3.4、系统极点配置下面采用极点配置的方法计算反馈矩阵。1、检验系统可控性由上节的系统可控性分析可以得到，系统的状态完全可控性矩阵12的秩等于系统的状态维数 4，
14、系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量的维数 2，所以系统可控。2、计算特征值 综合指标为：输出超调量 ；超调时间 ； 系统频%5pstp5.0宽 ； 跟踪误差 （对阶跃）， （对速度）。10b0pe2.ve确定希望的极点：显然,希望的极点 n=3,选其中一对为主导极点和 ,另一个为远极点, 并且认为系统的性能主要是由主导极点决定1s2的,远极点只有微小的影响。根据二阶系统的关系式，先定出主导极点。21ep 21npt)4(*22nb式中 和 为此二阶系统的阻尼比和自振频率。n可以导出：由 可得 从而有21ep%,5,14.32于是选，70.21.70由 得：stp5.5.02112nn
15、970.5n由 和已选的 的结果比较可取10b,102n得13。这样便定出了主导极点为：10n22,11njs远极点应选择得使它的实部大于 5 倍的主极点的实部，现取 Re=5Re ，因此根据要求，并留有一定的裕量（设调整时间为 234s2秒），我们选取期望的闭环极点：1,234isu其中 u1=-35，u2=-35 ，u3=-7.07-7.07j ，u4=-7.07+7.07j，u1，u2 是一对具有的主导极点，u3 ，u4 位于主导极点的左侧，因此其影210n响较小所以，可满足快速性和阻尼的要求。同理，取 ，将 带入 得到 ，远极点应选择得5.0stp5.04n使它的实部大于 5 倍的主极
16、点的实部，现取 Re =5Re ，得到另3x2一组期望的闭环极点：)4,321(1ixs其中 x1=-10，x2=-10，x3=-2-2 j，x4=-2+2 j，x1，x2 是一对具有的主导极点，x3，x4 位于主导极点的左侧，因此其影响5.04n较小所以，可满足快速性和阻尼的要求。其中主导极点决定系统的性能,远极点只有微小的影响，根据系统的综合指标关系式可以先定出主导极点，远极点应选择得使它的实部大于 5 倍的主极点的实部。3、计算反馈矩阵 K通过 Maltalb 的控制系统工具箱中的单变量系统极点配置14函 acker(),该函数的调用格式为：K=acker(A,b,P)式中，P 为给定极
17、点；K 为状态反馈矩阵。当取极点为：u1=-35，u2=-35，u3=-7.07-7.07j，u4=-7.07+7.07j在 MATLAB 指令区中键入以下命令：A=0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0 ;B=0 ;-1; 0;0.5 ;P=-35;-35;-7.07-7.07*j;-7.07+7.07*j;k=acker(A,B,P)得到 的结果为：1K= -8577 -1324 -12483 -24791K所以，反馈控制输入为： 43211 79483857zzzu同理，当取极点为：x1=-10，x2=-10，x3=-2-2 j，x4=-2+
18、2 j在 MATLAB 指令区中键入以下命令：A=0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0 ;B=0 ;-1; 0;0.5 ;P=-10;-10;-2-2*sqrt(3)*j;-2+2*sqrt(3)*j;k=acker(A,B,P)得到 的结果为：2K= -298.1504 -60.6972 -163.0989 -73.39452所以，反馈控制输入为： 43212 95.708.1697.6054.98 zzzzzKu 15这是一个调节器系统。期望的角 总为零，且期望的小车的位置 x 也总为零。因此，参考输入为零。3.5、闭环系统的能控性和能观性分
19、析引入状态反馈矩阵 K 构成闭环后，可能使传递函数发生零极点相消而破坏系统的能控性与能观性，因此本节分析加入反馈矩阵 k后的闭环系统的能控性和能观性是否发生改变。在 MATLAB 指令区中键入以下命令：%引入反馈矩阵 的能控能观判断%1KA=0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0 ;B=0 ;-1; 0;0.5 ;C=1 0 0 0;0 0 1 0;k = -8577 -1324 -12483 -2479;a=A+B*k;Uc=ctrb(a,B);Vc=obsv(a,C);n=4;if(n=rank(Uc)if(n=rank(Vc)disp(系统即
20、能控又能观)endEnd%引入反馈矩阵 的能控能观判断%2KA=0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0 ;B=0 ;-1; 0;0.5 ;C=1 0 0 0;0 0 1 0;k = -298.1504 -60.6972 -163.0989 -73.3945;a=A+B*k;Uc=ctrb(a,B);Vc=obsv(a,C);n=4;if(n=rank(Uc)if(n=rank(Vc)disp(系统即能控又能观)16endEnd其结果为：系统即能控又能观。说明加入反馈矩阵 k1、k2 后并没有破坏原系统的能控性和能观性。4、一级倒立摆系统 Matla
21、b 仿真4.1、系统开环 Simulink 搭建及仿真首先点击 Simulink Library Browser，点击 File 新建 model，打开Simulink 模型编辑窗口，如图 6：图 6 Smulink 打开画面在模型编辑窗口上建立一级倒立摆的系统开环模型如图 7：17图 7 系统开环模型搭建点击 Scope 和 Scope1，可以看到两输出变量位置(x) 和角度( )随时间的变化，如图 8 和图 9：图 8 系统开环下角度的变化18图 9 系统开环下位置的变化由图 8 和图 9 可以看出系统开环下角度和位置随时间变化都是发散的，所以系统的开环不稳定的。4.2、系统极点配置后的
22、Simulink 仿真用 Matlab 的 Simulink 搭建倒立摆系统，并加上通过极点配置方法计算的反馈矩阵 K，在倒立摆的开环系统下加上反馈增益。检验在配置极点后系统是否达到所设定的指标。由系统的状态方程可以得到： uzzz5.049.061.2143119可由系统的状态方程得到系统的框图，如图 10图 10 系统的框图在原开环系统的基础上加上反馈增益 如图 11：1K图 11 加上反馈增益 的系统框图1K20点击 Scope 和 Scope1，可以看到两输出变量位置(x) 和角度( )随时间的变化，如图 12 和图 13：图 12 反馈矩阵为 系统角度的变化1K图 13 反馈矩阵为
23、系统位置的变化1K由图 12 可以看出一阶倒立摆系统的角度 在 1s 时受到外部干扰后，系统在 2s 左右又重新回到 0 的平衡位置，调整时间为 1s 左右。21由图 13 可以看出一阶倒立摆系统的水平位置在 1s 时受到外部干扰后，系统在 1.5s 之内基本上可以由 x=0 稳定到新的平衡位置 x=-0.7。调整时间为 1s 左右。同理，在 Simulink 下仿真，加上由另一组得到的反馈矩阵 后的2K两输出变量位置(x)和角度（ ）随时间的变化，如图 14 和图 15：图 14 反馈矩阵为 系统角度的变化2K22图 15 反馈矩阵为 系统位置的变化2K由图 14 可以看出一阶倒立摆系统的角
24、度 在 1s 时受到外部干扰后，系统在 4s 左右又重新回到 0 的平衡位置，调整时间为 3s 左右。由图 13 可以看出一阶倒立摆系统的水平位置在 1s 时受到外部干扰后，系统在 4s 时基本上可以由 x=0 稳定到新的平衡位置 x=-6。调整时间为 3s 左右。综上所述，由于选择了不同的 和 ，从而得到了两组不同的n主导极点，对于第一组极点的 取的为 0.707, 取的为 10，而第二组极点 取的为 0.5， 取的为 4。不同的 导致两组的超调量不同，由n图 12 和图 14 可以看出后者的超调量明显大于前者。不同的 和 导n致调整时间的不同，由图 13 和图 15 可以看出前者的超调时间
25、 为st1s，后者的超调时间 为 3s。st系统的调整时间和超调量都达到了提前所设的指标，可知通过23通过反馈重新配置系统的极点，能达到所期望的性能，系统由开环的不稳定通过极点的配置，增加状态反馈矩阵后达到稳定。5、总结传统的非线性系统分析方法需要非线性系统的精确模型，而实际中存在的大量复杂的多变量非线性系统则表现为参数的不确定性和结构的不确定性。本文用现代控制理论的极点配置方法对直线一级倒立摆控制进行了分析，通过不同的 、 得到两组不同的主n导极点并分别用 Simulink 进行了倒立摆的系统仿真，其仿真结果达到了期望的指标。通过这次大作业，将在现代控制理论中所学到的状态空间表达式的建立、系
26、统稳定性分析、系统能控性的判定和极点配置的方法以及状态反馈的建立运用到一级倒立摆的模型中，让我更加理解所学的知识，对所学的知识有了更深刻的认识，对 MATLAB 的应用更加熟练，加强了我运用知识解决问题的能力。6、参考文献1刘豹 唐万生 现代控制理论（第三版）北京：机械工业出版社，20062夏德钤 翁贻方 自动控制理论（第 4 版）.北京：机械工业出版社，2012243李国勇 程永强 计算机仿真技术与 CAD基于 MATLAB 的控制系统（第三版）.北京：电子工业出版社， 20124易杰 俞斌 倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计J. 电子测试.2008.85李国辉 基于 simulink 的单级倒立摆仿真J. 大连交通大学学报.2008.2
