1、第四章 流体的积分关系式及其应用,4.1 无粘性流体运动方程的进一步简化,L-（兰姆-葛罗米柯）方程,考虑无粘、正压流体在有势力作用下，,其中， 力势函数，重力场中,证：等熵方程,L-（兰姆-葛罗米柯）方程,方程变为:,无粘性、正压流体、体力有势,4.2 拉格朗日积分,对无粘、正压流体在有势力作用下，若整个流场流动无旋，即,则存在速度势函数，使,又,因梯度是对空间坐标的导数，故上式括号内函数仅依赖于时间t，积分得：,拉格朗日积分,由于时间坐标与空间坐标是彼此独立的自变量，求时间的偏导数和梯度的顺序可交换,对不可压重流体或均质流体,对无粘、绝热不可压缩流体,拉格朗日积分常用于求解不定常问题（无旋
2、流场）。,L积分用于无粘、正压流体在有势力作用下非定常、无旋流动,在同一时刻，对全流场为同一常数，即方程适用于全流场的任何点,4.3 伯努利（D.Bernouli 17001782）积分,对无粘、正压流体在有势力作用下，若流动是定常的，即,变为,两边点乘流线微元dr(与v同向），即上式向流线投影。且考虑,得：,积分得：,伯努力积分,伯努利方程的限制条件： (1) 无粘性流体；(2) 正压流体； (3)有势力；(4)定常流动流体；(5) 沿流线成立。,对无粘、绝热不可压缩流体,对不可压重流体或均质流体,上式是水力学中最重要的关系式之一，实质上是沿同一流线各点的机械能守恒的数学表达式。工程上常写成
3、：,其中,单位质量流体的动能（速度水头）。流体静止时为0。,单位质量流体的势能（位置水头）。,单位质量流体的压力能（压强水头）。,测压管水头,总水头,*对于不同的流线伯努利积分常数一般不相同；,*在定常流条件下沿流线积分就是沿迹线积分；,*伯努利方程中的p为点压，也可用表压（相对压强）。,伯努利积分,1、伯努利方程的几何意义,伯努利方程表明重力作用下不可压缩无粘流体定常流动过程中，沿同一流线，流体的速度头、位置头、压强头可互相转化，但总水头为一常数（水平线）。,*伯努力积分在全流场成立的情况有：,无旋、定常流；,当无穷远均匀来流绕流物体时，C对每一根流线都相同；,伯努利积分,2、能量意义,伯努
4、利方程也表明重力作用下不可压缩无粘流体定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。,*当元流的过流断面面积趋于0时，元流便是流线。所以上式也适用于元流。对元流任意两断面的中心点或一条流线上的任意两点1与2，上式可改写为：,拉格朗日积分与伯努利积分的联系与区别:,与伯努利积分相比较，拉格朗日积分对非定常无旋流动的全流场成立，但对不同时刻有不同的积分常数，而伯努利积分对定常有旋或无旋流动沿流线成立，但对不同的流线有不同的积分常数。,该公式表明对任何时刻和对流场中的任何点，左边各项之和为同一常数。,如果流动既是无旋的又是定常的，则方程简化为,例题：（ 皮托管
5、）皮托管是一种测定空间点流速的仪器。如图，若要测定管流液体中A点的流速v，可由测压管测出该点的测压管液柱高度 ，并在A点下游相距很近的地方放一根测速管。测速管是弯成直角而两端开口的细管，一端的出口置于与A点相距很近的B点处，并正对来流，另一端向上。在B点处由于测速管的阻滞，流速为0，动能全部转化为压能，测速管中液面升高为 。B点称为滞止点或驻点。,应用理想流体定常流沿流线的伯努利方程于A、B两点，并AB连线所在平面作为基准面，则有,静压+动压,总压,对于实际液体在应用上式计算A点流速时，需考虑液体粘性对液体运动的阻滞作用，以及皮托管放入流场后对流动的干扰，应使用修正系数 ，对该式的计算结果加以
6、修正。一般 小于1，即式中 为流速系数，其值一般由试验率定。,得,即,例： 已知平面流场的速度分布为,点A(1，1)、点B(2，2)为流场中不在同一流线上的两点，试问在以上两种速度分布中，能否求出A、B两点压差，若能，压差为多少。,解： 以上两种流场均为定常场。先求(1), 为不可压流场, 为有旋流场,*因为有旋不能用拉格朗日积分，且A、B不在同一流线上，也不能用伯努力积分，所以不能求出两点压差。,已知平面流场的速度分布为, 为不可压流场, 为无旋流场,可用拉格朗日积分，且考虑定常条件,为流体密度。,点A(1，1)、点B(2，2)为流场中不在同一流线上的两点，试问在以上两种速度分布中，能否求出
7、A、B两点压差，若能，压差为多少。,例 毕托测速管,已知: 设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为,U 形管中 液体密度m .,求： 用液位差h表示流速v。,(a),AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿流线AO段列伯努利方程,端点O,v0 = 0,称为驻点(或滞止点),p0称为驻点压强.由于zA = z0, 可得,(b),静压,总压,动压,例 毕托静压测速管,称为动压强,p0称为总压强。,AB的位置差可忽略,(c),因vB=v,由上式 pB = p 在U形管内列静力学关系式,考虑流体粘性及管体对流场的扰动，引入毕托管系数k 。由(d)式可得,(d),C,ha,hb,【例】有一
8、贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。【解】 当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程,当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本 方程求出值则 代入到上式（m/s）所以管内流量,(m3/s),例 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应,已知: 图示一敞口贮水箱,孔与液面的垂直距离为h(淹深).设水位保持不变.,求： (1)出流速度v，,(2)出流流量Q。,从自由液面上任选一点1画一条流线到小孔2，并列伯努利方程,(a),小
9、孔出流：托里拆里公式及缩颈效应,液面的速度可近似取为零v1= 0，液面和孔口外均为大气压强p1= p2= 0(表压)，由(a)式可得,(b),(2)在小孔出口,发生缩颈效应.设缩颈处的截面积为A e,缩颈系数,(c),小孔出流量,(d),小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应,收缩系数与孔口边缘状况有关：,实际孔口出流还应乘上一修正系数 k 1,(e),上式中k= k,称为流量修正系数，由实验测定。,内伸管= 0.5,流线型圆弧边=1.0.,锐角边= 0.61,3、总流伯努利方程,实际流体定常元流伯努利方程,实际流体具有粘性，因此流动过程中会有能量损失（如发热、发声等）。设元流中单位重量流体由1-1
10、断面流到2-2断面的能量损失为 ，根据能量守恒定律可以写出实际流体元流伯努利方程为：,实际流体定常总流伯努利方程,实际工程的管道或渠道中的流动，都是有限断面的总流。因此，应将元流的伯努利方程推广到总流中去。经处理后，可得重力作用下不可压缩实际流体定常总流伯努利方程：,* 为总流从11至22断面流动中，单位质量流体的平均能量损失，对水而言称水头损失(或管道摩阻损失)。,*若以平均流速计算单位时间内通过过流断面的流体动能，则,为动能修正系数。,*需要将过流断面取在渐变流过流断面上。因渐变流过流断面上流体压强按静压强规律分布，即,*Z为过流断面形心高度。,动能修正系数定义为用真实速度计算的动能与平均
11、流速计算动能的比值。以补偿分布不均匀性。,*由实际流体总流伯努利方程表明实际流体在流动过程中单位重量流体总机械能沿程减少。,*应用总流伯努利方程时要满足以下限制条件：,列伯努利方程的过流断面上的流动必须是渐变流；,与断面流速分布有关，因而受流态影响。在渐变流情况下，可取1。,流体上作用的质量力只有重力；,流动定常；,流体不可压缩；,无其它形式能量输入输出；无总流的分出流入。,管道粘性损失,其中：,计算式：,沿程损失,局部损失,其中为沿程损失系数，由实验测得。d为管径（或当量直径）。,计算式：,其中为局部损失系数，由实验测得。,由于流体流层间或流体与管壁间摩擦引起的能量损失。,因粘性流体流经管道
12、中各种局部障碍（如阀、弯头、变截面通道）时，管内局部范围产生涡旋，流体微团间发生碰撞引起的能量损失。,例 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程,已知: 文德利管如图所示,求： 管内流量Q,由一维平均流动伯努利方程，得,移项整理可得,(a),(b),文德利流量计：一维平均流动伯努利方程,A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，,(3),(5)位于等压面上,p3= p5，由压强公式,将上(b) 式代入(d)式可得,(b),(c),移项可得,(d),可得,(e),文德利流量计：一维平均流动伯努利方程,(e),由连续性方程,代入(e)式,整理后可得大管的平均流速为,上式中,称为
13、流速系数，文德利管的流量公式为,离心泵装置示意图,【例】 有一离心水泵装置如图所示。已知该泵的输水量 Qv=60m3/h ，吸水管内径d=150mm，吸水管路的总水头损失,hw=0.5mH2O，水泵入口22处，真空表读数为450mmHg，若吸水池的面积足够大，试求此时泵的吸水高度Hg为多少?,【解】 选取吸水池液面l1和泵进口截面22这两个缓变流截面列伯努利方程，并以11为基准面，则得,将V2和p2代入上式可得,为泵吸水口截面22处的绝对压强，其值为,因为吸水池面积足够大，故 V1=0 。并且,解：求虹吸管出口速度。取1-1为基准面，对1，2面用伯努力方程：,例：液体由虹吸管流出，保持h1不变
14、，改变h ，当h 足够大时流动将中断，试确定h 的最大值。已知液体的饱和压强（蒸汽压强）为pv，不考虑流体的粘性影响。,*只要保持虹吸管出口和自由面的高度差h1不变，改变虹吸管最高点的高度h对出口速度没有影响。,以2-2为基准面，对2，3面用伯努力方程：,应用连续性方程：,且当p3=pv时，液体开始汽化，在最高点形成气泡，从而隔断液体的流动，此时h达最大值。则上式变为：,4、沿程有分流或汇流时实际流体总流伯努利方程,可分别列出断面1、2及断面1、3之间伯努利方程 （其中每项为单位重量流体能量）,在分流时，,总能量守恒的伯努利方程,将上面方程1乘以 ，方程2乘以 ，相加得总流的伯努利方程式：,也
15、可分别列出1、3及2、3的伯努利方程，同理可得总能量守恒的伯努利方程：,在汇流时，,5、沿程有机械能输入或输出时的总流伯努利方程,沿总流两过流断面间若装有水泵、风机或水轮机等装置，流体流经时会有能量交换（流体流经水泵或风机时将获得能量，流经水轮机时将失去能量）。,设流体获得或失去能量头为 ,则总流伯努利方程为：,式中 为单位重量流体得（失）的能量，获得能量为正，失去能量为负。,解：取图示控制体，忽略密度变化及重力（气体），对1，2 断面用总流伯努利方程,又连续性方程,同理可得,例:小型风机如图。空气密度 =1.23kg/m3，质量流量Qm=0.1kg/min，风机入口d1=60mm、1=2 ，
16、流动为层流；出口d2=30mm 2=1.08 ，流动为紊流。如流过风机后压强升高 p=0.1kpa，风机有效功率为0.14w，试计算管道损失。 按速度均布， 按实际速度分布。, 按速度均布：, 按实际速度分布：,*两相比较，误差不大。,#对固定的控制体，积分形式的连续性方程 可化为：,上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控制体内流体质量随时间的减少率。,4.4 连续性方程及其应用,(3.7.2a),这是对有限控制体积成立的积分形式的连续性方程,其中为密度，d与dA分别为体积元与矢量面积元，CV与CS分别代表控制体积和它的表面，v为相对于控制体积的流体速度矢量， vdA可转化为一标量，它的符
17、号由v相对dA的方向确定，通常取质量流出控制体积表面为正，流入为负，与控制体表面相切时为零。,如果流体运动时控制体有N个表面区被流体穿过，则(3.7.2a)式左边第二项对整个控制体表面的积分简化为N个控制体表面区的积分。,存在两类可以直接积分的情况，一类是表面区的流体密度与速度分布和表面区的形状大小都已知的，另一类是表面区的流体密度与速度可以近似地看成为均匀分布的和表面区的形状大小是给定的,对均质不可压缩流体，密度为常数,.沿流管的定常流动,.沿流管的不可压缩流动,例 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程,已知:所有管截面均为圆形,d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm,
18、d4=0.8cm, d5=2.0cm,平均流量分别为Q1=6 l/min, Q 3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q 5= 0.78Q1,求：Q2 及各管的平均速度,解：取图中虚线所示控制体，有多个出入口。血液按不可压缩流体处理,可得,Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5,Q2 = Q 1(Q 3 + Q 4 + Q 5）= Q 1(0.07+0.04+0.78) Q 1= 0.11Q1= 0.66 l / min,各管的平均速度为,例 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程,将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，坐标系固定在匀速运动的控制体上，只要将速度
19、改成相对速度vr,对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时,#运动的控制体,上式中 ，vr 分别为出入口截面上的平均密度和平均相对速度。,对固定控制体的流体动量方程为,v为绝对速度。,上式表明: 作用在固定控制体上的合外力从控制面上净流出的动量流量,4.5 动量定理及其应用,定常流动时,（3.7.4a）,对有限控制体积成立的 积分形式的动量方程,流体动量方程的三个 坐标轴方向的分量方程,动量从表面净流出也是分两类,沿流管的定常流动,通常取1=2=1 。由一维定常流动连续性方程,可得一维定常流动动量方程,CS = 流管侧面 + A1 + A2,具有多个一维出入口的控制体,注意：(1) 控制体
20、的选取,(2) 或 代表流出平均速度矢量，,或 代表流入平均速度矢量。,(3),和 在坐标轴上投影式的正负与坐标系选择有关。,(4) 包含所有外力.,动量定理投影式：,解题步骤：, 建立坐标系，合理选择控制面。,常见简单封闭曲面；已知边界条件；出、入口；物面。,分析控制体所受到的力及动量的变化 ，计算方程中各项。,根据问题特性（如定常、无粘）简化方程；利用基本方程（如伯努利方程、连续性方程、作用反作用定律）求出积分式中被积函数中的物理量。动量变化流出或流进, 速度投影有正负。, 整理、求解。,例 主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程,已知: 图示人主动脉弓,所有管截面均为圆形,d1=2.5cm
21、, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm,平均流量分别为Q1=6 l/min, Q2= 0.11Q1, Q 3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q 5= 0.78Q1 ， 设血液的密度为=1055 kg/m3,解：,求：从控制体净流出的动量流量,(mV)y=Q1 (0.11V2 cos16+ 0.07V3 cos6+ 0.04 V4 cos23-0.78V5-V1 ),= - 0.039 N,(mV) x =Q1 (0.11V2 sin16+ 0.07V3 sin6+ 0.04V4 sin23),建立坐标系oxy 如图所示净流出控制体的动量流
22、量的x、y坐标分量为,= -110 4 N,c,例 ： 已知矩形平板闸下出流， B=6m, H=5m, hc=1m, Q=30m3/s 不计水头损失。,P0,Pc,H,R,hc,0,0,x,c,z,0,求: 水流对闸门推力。,解: 利用连续性方程,有,设闸门对水流作用力为 R , 则X方向的动量方程为,P0,Pc,H,R,0,0,x,c,c,z,0,代入数据, 得,水流对闸门的作用力, 利用牛顿第三定律, 有,方向向右。,例: 如图所示，已知V0 ， A0 ， ， 求： 叶片对流体的作用力 Fx ， Fy 。,列y方向动量方程,解： 建立坐标系，合理选择控制面列x方向动量方程,定常时,#对作匀
23、速运动控制体,有多个一维出入口时,为作用在控制体上的合外力,坐标系固定在匀速运动的控制体上，Vr是相对速度，动量定理公式为：,例: 如图所示，已知V0 ， A0 ， ， u ， 求：叶片对流体的作用力为 Fx ， Fy 。,解： 采用固结于叶片上的运动坐标系, 则在此动坐标系上观察到的流动是定常的 。,取控制体如图, 此控制体进出口截面上的速度应为相对速度 (V0 u), 过流截面为A0 , 应用动量方程有,射流对叶片所作功的功率：,4.6 动量矩定理及其应用,动量矩方程表达运动流体动量矩的变化率与所受外力矩之间的关系。由前面推导可知：动量方程矢量式为：,任取一点o为参考点， 为体积内质点到该
24、点的矢径，对动量定理取矩有：,其中 为作用在流体上的总力矩，包括表面力、质量力产生的力矩及转轴产生的转矩 等。,*动量矩定理既适用于无粘流体，也适用于粘性流体。,*动量矩定理常用于定常流动情况。,*假设流体是无粘的，流动是定常的，忽略由于表面力和对称质量力所产生的力矩，则动量矩方程简化为：,表示单位时间内流出、流进控制面的流体对某固定点的动量矩之差，等于作用在流体上的所有外力对同一点力矩的矢量和。,*动量矩定理的应用主要是在流体机械中流体的运动。,流体机械：原动机（涡轮类）从动机（泵、风机）：离心式、轴流 式和混合式,图 扬矿泵的整体结构图,扬矿泵采用筒装式整体结构，泵与电机联接后装入到泵外筒
25、体中。泵为节段式多级泵，空间导叶承受泵压力及泵与电机的重量，泵外筒体承受外加静载荷及动载荷。泵的两端为带有法兰的过渡段与泵联接，过渡段的另一端带有与扬矿管相同的卡环以实现扬矿泵与扬矿硬管的串接。,两级扬矿模型泵的制造,为叶轮作用在流体上的总力矩，,现将动量矩方程应用到旋转叶轮机械在叶轮通道内的流体上，以离心泵叶轮为例。如图，流体从叶轮的内圈入口流入，经叶轮流道于外圈出口流出。进出口半径分别为r1、r2 ，叶轮以一定角速度旋转。假设流体是无粘的，流动是均匀、定常的，叶轮内的流动是轴对称的。则可列出水泵叶轮的动量矩方程为：,水泵叶轮的动量矩方程为：,叶轮的旋转方向?,为绝对速度与牵连速度之间的夹角
26、。,其中,对转轴的动量矩方程又可用标量形式表示为：,其中，,分别为流体在进、出口截面处的绝对速度沿叶轮切向的分量（与叶片牵连速度或叶轮转动方向同向时为正）；,通过进口或出口截面的质量流量；,分别为 至转轴的距离。,与叶轮转向相同时为正（如泵、风扇、鼓风机、压缩机等向流体注入能量的从动机），反之为负（如涡轮机等从流体中吸取能量的流体机械）。,叶轮对流体所作的功率为：,其中：,为叶轮出口与入口处的牵连速度。,为叶轮出口与入口处流体绝对速度在圆周切线 方向的投影速度。,叶轮对单位重量流体所作的功（或单位重量流体通过叶轮后获得的能量，即增加的能量头）为：,这是旋转涡轮机械的基本方程式。,对有限控制体积成立的积分形式的能量方程为 （3.7.10a）p141）,转轴功,粘性力功,为单位质量流体储存能,为外界输入控制体的传热；,为外界对控制体所做机械功,一维定常流形式：,4.7 能量方程及其应用,质量力功,积分形式的基本方程,本章结束,
