1、13.2 复数的四则运算（一）学习目标 1.掌握复数代数形式的加减运算.2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.3.理解共轭复数的概念及应用知识点一 复数的加减法已知复数 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)思考 1 多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？思考 2 复数的加法满足交换律和结合律吗？1复数的加法、减法法则(1)条件： z1 a bi， z2 c di(其中 a， b， c， d 均为实数)(2)加法法则： z1 z2_，减法法则： z1 z2_.2运算律(1)交换律： z1 z2_.(2)结合律：( z1 z2) z3_.知识点二 复
2、数的乘法思考 如何规定两个复数相乘？1复数的乘法法则设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)， z1z2( a bi)(c di)_.2乘法运算律对于任意 z1， z2， z3C，有2交换律 z1z2_结合律 (z1z2)z3_乘法对加法的分配律 z1(z2 z3)_知识点三 共轭复数思考 复数 z1 a bi 与 z2 a bi(a， bR)有什么关系？试求 z1z2的积1定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数，即复数 z a bi 的共轭复数是_.z2关系：若 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则 z1， z2互为共轭复数_3当复数 z a
3、 bi 的虚部 b0 时， z ，也就是说实数的共轭复数仍是它本身z类型一 复数的加减法运算例 1 已知 z1(3 x y)( y4 x)i， z2(4 y2 x)(5 x3 y)i(x， yR)设 z z1 z2且 z132i，求 z1， z2.反思与感悟 (1)复数的加减法可以推广到多个复数连续加减(2)把 i 看成一个字母，复数的加减法可以类比多项式的合并同类项跟踪训练 1 (1)计算：(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0112 012i)3(2)已知复数 z 满足 z13i52i，求 z.类型二 复数的乘法运算例 2 (1)若复数( m2i)(1 mi)是实数，则实数 m_
4、.(2)若(1i)(2i) a bi，其中 a， bR，i 为虚数单位，则 a b_.反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把 i 看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为1，进行最后结果的化简第(2)题利用复数相等条件求 a， b.(2)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算混合运算的顺序与实数的运算顺序一样跟踪训练 2 (1)已知复数 z148i， z269i，则复数( z1 z2)i 的实部与虚部分别为_(2)( i)( i)(1i)_.12 32 32 12类型三 共轭复数例 3 复数 z 满足 z 2i z42i，求复数 z 的共轭复数z4反思与感悟
5、 (1)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键(2)有关复数 z 及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：设 z a bi，则 z a2 b2， zR z .z z跟踪训练 3 若把例题中复数 z 满足的条件改为“3 z( 2)i2 (1 z)i”，试求复数z zz.1若复数 z11i， z23i，则 z1z2_.2复数 z1i， 为 z 的共轭复数，则 z z1_.z z3设复数 z1 x2i， z23 yi(x， yR)，若 z1 z256i，则 z1 z2_.4计算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(12i)(34i)(2i)51复数的加减法中规定，两
6、复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形2复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2换成1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数3理解共轭复数的性质：(1)zR z.z(2)当 a， bR 时，有 a2 b2( a bi)(a bi)，这是虚数问题实数化的一个重要依据6答案精析问题导学知识点一思考 1 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即( a bi)(c di)( ac)( bd)i.思考 2 满足1(2)( a c)( b d)i ( a c)( b d)i2(1) z2
7、z1 (2) z1( z2 z3)知识点二思考 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把 i2换成1，然后把实部与虚部分别合并1( ac bd)( ad bc)i2 z2z1 z1(z2z3) z1z2 z1z3知识点三思考 两复数实部相等，虚部互为相反数； z1z2 a2 b2，积为实数1 a bi2 a c 且 b d.题型探究例 1 解 z z1 z2(3 x y)( y4 x)i(4 y2 x)(5 x3 y)i(3 x y)(4 y2 x)( y4 x)(5 x3 y)i(5 x3 y)( x4 y)i，又 z1 z2132i，(5 x3 y)
8、( x4 y)i132i.Error!解得Error! z1(321)(142)i59i，z24(1)22523(1)i87i.跟踪训练 1 解 (1)原式(12342 0092 0102 011)(23452 0112 012)i1 0061 007i.(2)由 z13i52i，得z(52i)(13i)(51)(23)i4i.7例 2 (1)1 (2)4解析 (1)( m2i)(1 mi) m2 m( m31)i，又( m21)(1 mi)是实数， m310，则 m1.(2) a bi(1i)(2i)13i， a1， b3. a b4.跟踪训练 2 (1)1，2 (2) i3 12 1 32
9、解析 (1)由题意得， z1 z22i，则( z1 z2)i(2i)i2ii 212i，( z1 z2)i 的实部是 1，虚部是2.(2)原式( )( )i(1i)34 34 34 14( i)(1i)32 12( )( )i32 12 12 32 i.3 12 1 32例 3 解 设 z x yi(x， yR)，则 x yi.z z 2i z42i，z x2 y22i( x yi)42i，因此( x2 y22 y)2 xi42i，得Error!Error!或Error! z13i 或 z1i.因此 z 的共轭复数 13i 或 1i.z z跟踪训练 3 解 设 z a bi(a， bR)，则
10、a bi.z3 z( 2)i2 (1 z)i，z z3( a bi)( a2 bi)i2( a bi)(1 a bi)i，3 a b(3 b a2)i2 a b(2 b a1)i，Error!解得 a0 且 b ，故所求的复数 z .15 i5达标检测8142i解析 z1z2(1i)(3i)42i.2i解析 z1i， 1i，z z (1i)(1i)2，z z z12(1i)1i.z3110i解析 z1 z2 x2i(3 yi)( x3)(2 y)i，( x3)(2 y)i56i( x， yR)，由复数相等定义，得 x2，且 y8， z1 z222i(38i)110i.4解 (1)原式1i 2(1)i1i.(2)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i.
