1、133.3 函数的最大(小)值与导数提出问题如图为 y f(x)， x a， b的图象问题 1：观察 a， b上函数 y f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值提示： f(x1)， f(x3)为函数的极大值， f(x2)， f(x4)为函数的极小值问题 2：结合图象判断，函数 y f(x)在区间 a， b上是否存在最大值、最小值？若存在，分别为多少？提示：存在 f(x)min f(a)， f(x)max f(x3)问题 3：函数 y f(x)在 a， b上的最大(小)值一定是其极值吗？提示：不一定，也可能是区间端点的函数值问题 4：怎样确定函数 f(x)在 a， b上的最小值和最大值？提示：
2、比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值导入新知1函数 f(x)在闭区间 a， b上的最值如果在区间 a， b上函数 y f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在 a， b上一定有最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得2求函数 y f(x)在 a， b上的最值的步骤(1)求函数 y f(x)在( a， b)内的极值；(2)将函数 y f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值化解疑难理解函数最值时，需注意以下几点(1)函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部区间上对函数值的比较，具有相对性；
3、而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最2值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值利用导数求最值例 1 求下列各函数的最值：(1)f(x) x33 x， x ，3；3(2)f(x) x2 (x0)54x解 (1) f( x)33 x23(1 x)(1 x)令 f( x)0，得 x1 或 x
4、1，当 x变化时， f( x)， f(x)变化情况如下表：x 3 ( ，1)3 1 (1,1) 1 (1,3) 3f( x) 0 0 f(x) 0 单调递减 2 单调递增 2 单调递减 18所以 x1 和 x1 是函数在 ，3上的两个极值点，且 f(1)2， f(1)2.3又因为 f(x)在区间端点处的取值为 f( )0， f(3)18，3所以 f(x)max2， f(x)min18.(2)f( x)2 x ，令 f( x)0 得 x3.54x2当 x变化时， f( x)， f(x)变化情况如下表：x (，3) 3 (3,0)f( x) 0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增所以当 x3 时
5、， f(x)取得极小值，也就是最小值，故 f(x)的最小值为 f(3)27，无最大值类题通法求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数为 0的点，无须判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值活学活用3求函数 f(x) x34 x4 在0,3上的极值及最大值与最小值13解： f( x) x24( x2)( x2)，令 f( x)0，解得 x12(舍去)， x22.当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2,3) 3f( x) 0 f(x) 4 单调递减 极
6、小值43 单调递增1函数 f(x) x34 x4 在0,3上有极小值且 f(x)极小值 .13 43函数的最大值为 4，最小值为 .43含参数的函数最值问题例 2 已知函数 f(x)2 x36 x2 a在2,2上有最小值37，求 a的值，并求f(x)在2,2上的最大值解 f( x)6 x212 x6 x(x2)，令 f( x)0，得 x0 或 x2.又 f(0) a， f(2) a8， f(2) a40.f(0) f(2) f(2)，当 x2 时， f(x)min a4037，得 a3.当 x0 时， f(x)max3.类题通法已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点
7、处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决活学活用若 f(x) ax36 ax2 b， x1,2的最大值是 3，最小值是29，求 a， b的值解： f( x)3 ax212 ax3 a(x24 x)令 f( x)0，得 x0 或 x4. x1,2， x0.4由题意知 a0.(1)若 a0，则 f( x)， f(x)随 x变化的情况如下表：x (1,0) 0 (0,2)f( x) 0 f(x) 单调递增 极大值 3 单调递减当 x0 时， f(x)取最大值 f(0) b3.又 f(2)8 a24 a316 a3，f(1)7 a3 f(2
8、)，当 x2 时， f(x)取最小值，16 a329， a2.(2)若 a0)(1)求 f(x)的最小值 h(t)；(2)若 h(t)0)，当 x t时， f(x)取最小值 f( t) t3 t1，即 h(t) t3 t1.(2)令 g(t) h(t)(2 t m) t33 t1 m，由 g( t)3 t230，得 t1 或 t1(不符合题意，舍去)当 t变化时， g( t)， g(t)的变化情况如下表：t (0,1) 1 (1,2)g( t) 0 g(t) 单调递增 极大值 1 m 单调递减 g(t)在(0,2)内有最大值 g(1)1 m.5h(t)0)在 x1 处取得极值3 c，6其中 a
9、， b， c为常数若对任意 x0，不等式 f(x)2 c2恒成立，求 c的取值范围解题流程活学活用已知函数 f (x) ax4ln x bx4 c(x0)在 x1 处取得极值3 c，其中 a， b， c为常数若对 x0，方程 f(x)2 c2有解，求 c的取值范围解：由题意知 f(1)3 c，因此 b c3 c，从而 b3.对 f(x)求导，得 f( x)4 ax3ln x ax4 4 bx3 x3(4aln x a4 b)1x由题意，知 f(1)0，因此 a4 b0，解得 a12.由 f( x)48 x3ln x(x0)，令 f( x)0，解得 x1.当 0 x1 时， f( x)0，7此时
10、 f(x)为减函数；当 x1 时， f( x)0，此时 f(x)为增函数所以 f(x)在 x1 处取得极小值 f(1)3 c，此极小值也是最小值所以函数 f(x)的值域为3 c，)若对 x0，方程 f(x)2 c2有解，则2 c2属于函数 f(x)的值域，所以2 c23 c，即 2c2 c30，解得1 c ，32所以 c的取值范围为 . 1，32随堂即时演练1函数 f(x) x33 x(|x|1)( )A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值解析：选 D f( x)3 x233( x1)( x1)，当 x(1,1)时， f( x)0，所以f(x
11、)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值2函数 y xsin x， x 的最大值是( )2， A1 B. 12C D1解析：选 C 在 上 y1cos x0，所以 y xsin x为增函数，当2， x 时， ymax.3函数 y 在0,2上的最大值为_xex8解析： y ，exx ex x ex 2 1 xex令 y0，得 x10,2f(1) ， f(0)0， f(2) ，1e 2e2 f(x)max f(1) .1e答案：1e4已知函数 y x22 x3 在区间 a,2上的最大值为 ，则 a_.154解析： y2 x2，令 y0，得 x1，函数在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递
12、减若 a1，则最大为 f(a) a22 a3 ，154解之得 a ；12(a 32舍 去 )若 a1，则最大为 f(1)1234 .154答案：125已知 a为实数， f(x)( x24)( x a)(1)求导数 f( x)；(2)若 f(1)0，求 f(x)在2,2上的最大值和最小值解：(1)由原式得 f(x) x3 ax24 x4 a， f( x)3 x22 ax4.(2)由 f(1)0，得 a ，12此时有 f(x)( x24) ，(x12)f( x)3 x2 x4.由 f( x)0，得 x 或 x1.43又 f ， f(1) ， f(2)0， f(2)0， f(x)在2,2上的最大值为
13、 ，(43) 5027 92 92最小值为 .5027课时达标检测一、选择题91下列说法正确的是( )A函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值、一个最小值，但若有极值，则可有多个极值解析：选 D 由极值与最值的区别知选 D.2函数 f(x)2 xcos x在(，)上( )A无最值 B有极值C有最大值 D有最小值解析：选 A f( x)2sin x0 恒成立，所以 f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无
14、最值3函数 f(x)2 ， x(0,5的最小值为( )x1xA2 B3C. D2 174 2 12解析：选 B 由 f( x) 0，得 x1，1x 1x2 x32 1x2且 x(0,1)时， f( x)0； x(1,5时， f( x)0， x1 时 f(x)最小，最小值为 f(1)3.4函数 f(x) x3 x2 x a在区间0,2上的最大值是 3，则 a的值为( )A3 B1C2 D1解析：选 B f( x)3 x22 x1，令 f( x)0，解得 x (舍去)或 x1.又 f(0)13 a， f(1) a1， f(2) a2，则 f(2)最大，即 a23，所以 a1.5已知函数 f(x)，
15、 g(x)均为 a， b上的可导函数，在 a， b上连续且 f( x)1或 x0；当1 x1时， f( x)0. f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增 f(x)min f(1)13 a2 a n.又 f(0) a， f(3)18 a， f(0)f(3)， f(x)max f(3)18 a m， m n18 a(2 a)20.答案：208已知函数 f(x) 2ln x，若当 a0 时， f(x)2 恒成立，则实数 a的取值范围ax2是_解析：由 f(x) 2ln x，ax2得 f( x) ，2 x2 ax3又函数 f(x)的定义域为(0，)，且 a0，令 f( x)0，得 x (舍去)或 x .a a当 0 x 时， f( x)0；当 x 时， f( x)0.a a故 x 是函数 f(x)的极小值点，也是最小值点，a
